Question

Un día, Beverage Barn vendió $252$ latas de refresco a $100$ clientes, y cada cliente compró al menos una lata de refresco. ¿Cuál es la mediana máxima posible del número de latas de refresco compradas por cliente ese día?

One day the Beverage Barn sold $252$ cans of soda to $100$ customers, and every customer bought at least one can of soda. What is the maximum possible median number of cans of soda bought per customer on that day?

$2.5$

$3.0$

$3.5$

$4.0$

$4.5$

Solución:

Ordena las $100$ compras de menor a mayor. La mediana es el promedio de las entradas número $50$ y $51$ . Para maximizarla, haz que las primeras $49$ entradas sean lo más pequeñas posible, así que ponlas todas iguales a $1$ .

Si la entrada número $50$ fuera al menos $4$ , entonces el total sería al menos $49+51\cdot4=253$ , demasiadas latas. Así que la entrada número $50$ es a lo sumo $3$ .

Este máximo es alcanzable: usa $49$ entradas iguales a $1$ , la entrada número $50$ igual a $3$ y las últimas $50$ entradas iguales a $4$ . El total es $49+3+50\cdot4=252$ , y la mediana es $(3+4)/2=3.5$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Order the $100$ purchases from least to greatest. The median is the average of the $50$ th and $51$ st entries. To maximize it, make the first $49$ entries as small as possible, so set them all equal to $1$ .

If the $50$ th entry were at least $4$ , then the total would be at least $49+51\cdot4=253$ , too many cans. So the $50$ th entry is at most $3$ .

This maximum is attainable: use $49$ entries equal to $1$ , the $50$ th entry equal to $3$ , and the final $50$ entries equal to $4$ . The total is $49+3+50\cdot4=252$ , and the median is $(3+4)/2=3.5$ .

Thus, C is the correct answer.

2014 AMC 8 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años