Question

Un cuadrado de $2$ por $2$ se divide en cuatro cuadrados de $1$ por $1$ . Cada uno de los cuadrados pequeños se pintará de verde o de rojo. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizarse la pintura de modo que ningún cuadrado verde comparta su lado superior o derecho con algún cuadrado rojo? Puede haber tan pocos como cero o tantos como cuatro cuadrados pequeños verdes.

A $2$ by $2$ square is divided into four $1$ by $1$ squares. Each of the small squares is to be painted either green or red. In how many different ways can the painting be accomplished so that no green square shares its top or right side with any red square? There may be as few as zero or as many as four small green squares.

$4$

$6$

$7$

$8$

$16$

Solución:

La regla dice que un cuadrado verde no puede tener un cuadrado rojo en su lado superior o derecho, así que cualquier cuadrado verde obliga a que los cuadrados de arriba y a su derecha también sean verdes. Por lo tanto, los cuadrados verdes deben agruparse hacia la esquina superior derecha.

Las coloraciones válidas son: los cuatro rojos; solo el superior derecho verde; toda la fila superior verde; toda la columna derecha verde; todos verdes excepto el inferior izquierdo; y los cuatro verdes. Son $6$ coloraciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The rule says a green square cannot have a red square on its top or right side, so any green square forces the squares above and to its right to be green as well. The green squares must therefore cluster toward the top-right corner.

The valid colorings are: all four red; only the top-right green; the whole top row green; the whole right column green; all green except the bottom-left; and all four green. That is $6$ colorings.

Thus, the correct answer is B .

1994 AMC 8 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años