Question

Un tablero rectangular de 8 columnas tiene casillas numeradas empezando en la esquina superior izquierda y avanzando de izquierda a derecha, de modo que la fila uno se numera del 1 al 8, la fila dos del 9 al 16, y así sucesivamente. Un estudiante sombrea la casilla 1, luego se salta una casilla y sombrea la casilla 3, se salta dos casillas y sombrea la casilla 6, se salta 3 casillas y sombrea la casilla 10, y continúa de esta manera hasta que haya al menos una casilla sombreada en cada columna.

¿Cuál es el número de la casilla sombreada que logra este resultado por primera vez?

A rectangular board of 8 columns has squares numbered beginning in the upper left corner and moving left to right so row one is numbered 1 through 8, row two is 9 through 16, and so on. A student shades square 1, then skips one square and shades square 3, skips two squares and shades square 6, skips 3 squares and shades square 10, and continues in this way until there is at least one shaded square in each column.

What is the number of the shaded square that first achieves this result?

$36$

$64$

$78$

$91$

$120$

Solución:

Las casillas sombreadas son los números triangulares $1,3,6,10,15,\ldots$ . Las columnas corresponden a los residuos módulo $8$ , donde el residuo $0$ representa la octava columna.

Los números triangulares hasta $105$ tienen residuos $1,3,6,2,7,5,4,4,5,7,2,6,3,1$ , así que el residuo de la octava columna aún no ha aparecido.

El siguiente número triangular es $120$ , y $120\equiv0\pmod8$ . Esta es la primera vez que cada columna tiene una casilla sombreada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The shaded squares are the triangular numbers $1,3,6,10,15,\ldots$ . Columns correspond to residues modulo $8$ , with residue $0$ representing the eighth column.

The triangular numbers through $105$ have residues $1,3,6,2,7,5,4,4,5,7,2,6,3,1$ , so the eighth-column residue has not appeared yet.

The next triangular number is $120$ , and $120\equiv0\pmod8$ . This is the first time every column has a shaded square.

Thus, the correct answer is E .

1998 AMC 8 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años