Question

Una región cuadrada grande está pavimentada con $n^2$ baldosas cuadradas sombreadas, cada una de $s$ pulgadas por lado. Un borde de $d$ pulgadas de ancho rodea cada baldosa. La figura de abajo muestra el caso para $n=3.$ Cuando $n=24,$ las $576$ baldosas sombreadas cubren el $64\%$ del área de la región cuadrada grande. ¿Cuál es la razón $\frac{d}{s}$ para este valor más grande de $n$ ?

A large square region is paved with $n^2$ shaded square tiles, each measuring $s$ inches on a side. A border $d$ inches wide surrounds each tile. The figure below shows the case for $n=3.$ When $n=24,$ the $576$ shaded tiles cover $64\%$ of the area of the large square region. What is the ratio $\frac{d}{s}$ for this larger value of $n?$

$\dfrac{6}{25}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{9}{16}$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Para $n=24,$ el área de las baldosas sombreadas es $24^2s^2.$ Cada lado del cuadrado grande consta de $24$ baldosas y $25$ bordes, así que su longitud de lado es $24s+25d.$

Las baldosas sombreadas cubren $64\%=\dfrac{16}{25}$ del cuadrado grande, así que $\dfrac{24^2s^2}{(24s+25d)^2}=\dfrac{16}{25}.$ Tomando raíces cuadradas positivas se obtiene $\dfrac{24s}{24s+25d}=\dfrac{4}{5}.$

Así $120s=96s+100d,$ por lo que $24s=100d$ y $\dfrac{d}{s}=\dfrac{6}{25}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For $n=24,$ the shaded tile area is $24^2s^2.$ Each side of the large square consists of $24$ tiles and $25$ borders, so its side length is $24s+25d.$

The shaded tiles cover $64\%=\dfrac{16}{25}$ of the large square, so $\dfrac{24^2s^2}{(24s+25d)^2}=\dfrac{16}{25}.$ Taking positive square roots gives $\dfrac{24s}{24s+25d}=\dfrac{4}{5}.$

Thus $120s=96s+100d,$ so $24s=100d$ and $\dfrac{d}{s}=\dfrac{6}{25}.$

Thus, the correct answer is A.

2020 AMC 8 Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años