Question

La señora Sanders tiene tres nietos, que la llaman con regularidad. Uno la llama cada tres días, uno la llama cada cuatro días y uno la llama cada cinco días. Los tres la llamaron el 31 de diciembre de 2016. ¿En cuántos días del año siguiente no recibió ninguna llamada de sus nietos?

Mrs. Sanders has three grandchildren, who call her regularly. One calls her every three days, one calls her every four days, and one calls her every five days. All three called her on December 31, 2016. On how many days during the next year did she not receive a phone call from any of her grandchildren?

$78$

$80$

$144$

$146$

$152$

Solución en video:

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Solución escrita:

En un período de $60$ días, el primer nieto llama $20$ veces, el segundo nieto llama $15$ veces y el tercer nieto llama $12$ veces. Sin embargo, $20 + 15 + 12 = 47$ cuenta de más. El primer y el segundo nieto llaman el mismo día $60 / 12 = 5$ veces. El primer y el tercer nieto llaman el mismo día $60 / 15 = 4$ veces. El segundo y el tercer nieto llaman el mismo día $60 / 20 = 3$ veces. Restando estos de $47$ obtenemos $47 - 5 - 4 - 3 = 35.$

El día $60$ se suma tres veces y se resta tres veces, así que necesitamos volver a sumarlo. Esto significa que por cada $60$ días, la señora Sanders recibe una llamada $36$ días, lo que significa que no recibe llamada en $24$ días. Hay $6$ períodos de $60$ días, y no hay llamadas en el día $361$ ni en el $362$ , lo que resulta en $24 \cdot 6 + 2 = 146$ días totales sin llamadas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

In a $60$ -day period, the first child calls $20$ times, the second child calls $15$ times, and the third child calls $12$ times. $20 + 15 + 12 = 47$ overcounts, however. The first and second children call on the same day $60 / 12 = 5$ times. The first and third children call on the same day $60 / 15 = 4$ times. The second and third children call on the same day $60 / 20 = 3$ times. Subtracting these from $47$ yields $47 - 5 - 4 - 3 = 35.$

The $60$ th day is added in thrice and subtracted out thrice, so we need to add it back in. This means that for every $60$ days, Mrs. Sanders receives a call $36$ days, which means that she does not receive a call on $24$ days. There are $6$ $60$ -day periods, and there are no calls on the $361$ st or $362$ nd day, which results in $24 \cdot 6 + 2 = 146$ total days with no phone calls.

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 8 Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años