Soluciones del 2017 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2017 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?

Which of the following values is largest?

$2+0+1+7$

$2 \times 0 +1+7$

$2+0 \times 1 + 7$

$2+0+1 \times 7$

$2 \times 0 \times 1 \times 7$

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 370

Solución en video:

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Solución escrita:

La opción (A) se evalúa a $10.$

La opción (B) se evalúa a $0 + 1 + 7 = 8.$

La opción (C) se evalúa a $2 + 0 + 7 = 9.$

La opción (D) se evalúa a $2 + 0 + 7 = 9.$

La opción (E) se evalúa a $0.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Option (A) evaluates to $10.$

Option (B) evaluates to $0 + 1 + 7 = 8.$

Option (C) evaluates to $2 + 0 + 7 = 9.$

Option (D) evaluates to $2 + 0 + 7 = 9.$

Option (E) evaluates to $0.$

Thus, A is the correct answer.

2.

Alicia, Brenda y Colby fueron los candidatos en una reciente elección para presidente estudiantil. El gráfico circular de abajo muestra cómo se distribuyeron los votos entre los tres candidatos. Si Brenda recibió $36$ votos, ¿cuántos votos se emitieron en total?

Alicia, Brenda, and Colby were the candidates in a recent election for student president. The pie chart below shows how the votes were distributed among the three candidates. If Brenda received $36$ votes, then how many votes were cast all together?

$70$

$84$

$100$

$106$

$120$

Conceptos:porcentaje interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 450

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Solución escrita:

Si $36$ votos son el $30\%$ del total de votos, entonces el $10\%$ del total de votos son $12$ votos. El número total de votos sería entonces $10 \cdot 12 = 120.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

If $36$ votes is $30\%$ of the total votes, then $10\%$ of the total votes is $12$ votes. The number of total votes would then be $10 \cdot 12 = 120.$

Thus, E is the correct answer.

3.

¿Cuál es el valor de la expresión $\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}$ ?

What is the value of the expression $\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$8$

$8\sqrt{2}$

$16$

Conceptos:radical

Nivel de dificultad: 560

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Solución escrita:

Esta expresión se puede reducir de la siguiente manera: $\begin{align*} \sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}} &= \sqrt{16\sqrt{16}} \\ &= \sqrt{64}\\ &= 8 \end{align*}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

This expression can be reduced as follows: $\begin{align*} \sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}} &= \sqrt{16\sqrt{16}} \\ &= \sqrt{64}\\ &= 8 \end{align*}$

Thus, C is the correct answer.

4.

Cuando $0.000315$ se multiplica por $7,928,564$ , ¿a cuál de los siguientes se acerca más el producto?

When $0.000315$ is multiplied by $7,928,564$ the product is closest to which of the following?

$210$

$240$

$2,100$

$2,400$

$24,000$

Conceptos:estimación

Nivel de dificultad: 720

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Solución escrita:

Podemos aproximar el producto como $\begin{align*} (3 \cdot 10^{-4})(8 \cdot 10^6) &= 24 \cdot 10^2 \\ &= 2400. \end{align*}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can approximate the product as $\begin{align*} (3 \cdot 10^{-4})(8 \cdot 10^6) &= 24 \cdot 10^2 \\ &= 2400. \end{align*}$

Thus, D is the correct answer.

5.

¿Cuál es el valor de la expresión $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8}?$

What is the value of the expression $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8}?$

$1020$

$1120$

$1220$

$2240$

$3360$

Conceptos:factorial

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Observando el denominador por separado, $1 + 2 + 3 + \cdots + 8 = 36,$ así que la respuesta buscada es $\begin{gather*} \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{36} = \\ 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8 = 1120. \end{gather*}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Looking at the denominator independently, $1 + 2 + 3 + \cdots + 8 = 36,$ so the desired answer is $\begin{gather*} \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{36} = \\ 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8 = 1120. \end{gather*}$

Thus, B is the correct answer.

6.

Si las medidas en grados de los ángulos de un triángulo están en la razón $3:3:4,$ ¿cuál es la medida en grados del ángulo mayor del triángulo?

If the degree measures of the angles of a triangle are in the ratio $3:3:4,$ what is the degree measure of the largest angle of the triangle?

$18$

$36$

$60$

$72$

$90$

Conceptos:suma de ángulos razón y proporción

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Podemos hacer que los tres ángulos sean iguales a $3x, 3x,$ y $4x.$ Entonces sabemos que su suma es igual a $180.$ A partir de esto podemos plantear $3x + 3x + 4x = 180,$ y al resolverlo obtenemos $10x = 180$ y $x = 18.$

El ángulo mayor es $4x = 72.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can let the three angles be equal to $3x, 3x,$ and $4x.$ Then we know that their sum equals $180.$ From this we can set $3x + 3x + 4x = 180,$ and solving this, we get $10x = 180$ and $x = 18.$

The largest angle is $4x = 72.$

Thus, D is the correct answer.

7.

Sea $Z$ un entero positivo de 6 dígitos, como 247247, cuyos primeros tres dígitos son iguales a sus últimos tres dígitos tomados en el mismo orden. ¿Cuál de los siguientes números debe ser también un factor de $Z$ ?

Let $Z$ be a 6-digit positive integer, such as 247247, whose first three digits are the same as its last three digits taken in the same order. Which of the following numbers must also be a factor of $Z?$

$11$

$19$

$101$

$111$

$1111$

Conceptos:factorización en primos valor posicional

Nivel de dificultad: 940

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Solución escrita:

Podemos hacer que $Z$ tenga la forma $abcabc.$ Entonces obtenemos que $\begin{align*} Z = 1001 \cdot abc = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot abc. \end{align*}$ Esto significa que $11$ es un factor de $Z.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We can let $Z$ have the form $abcabc.$ Then, we get that $\begin{align*} Z = 1001 \cdot abc = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot abc. \end{align*}$ This means that $11$ is a factor of $Z.$

Thus, A is the correct answer.

8.

Malcolm quiere visitar a Isabella hoy después de la escuela y conoce la calle donde vive, pero no sabe su número de casa. Ella le dice: "Mi número de casa tiene dos dígitos, y exactamente tres de las siguientes cuatro afirmaciones sobre él son verdaderas."

(1) Es primo.

(2) Es par.

(3) Es divisible por 7.

(4) Uno de sus dígitos es 9.

Esta información le permite a Malcolm determinar el número de casa de Isabella. ¿Cuál es su dígito de las unidades?

Malcolm wants to visit Isabella after school today and knows the street where she lives but doesn't know her house number. She tells him, "My house number has two digits, and exactly three of the following four statements about it are true."

(1) It is prime.

(2) It is even.

(3) It is divisible by 7.

(4) One of its digits is 9.

This information allows Malcolm to determine Isabella's house number. What is its units digit?

$4$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:deducción lógica divisibilidad

Nivel de dificultad: 1240

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Solución escrita:

Las afirmaciones (1) y (2) no pueden ser ambas verdaderas, porque el único primo par no tiene dos dígitos. Las afirmaciones (1) y (3) tampoco pueden ser ambas verdaderas, porque un número de dos dígitos divisible por $7$ no sería primo. Como solo una afirmación es falsa, la afirmación (1) debe ser falsa, mientras que las afirmaciones (2), (3) y (4) son verdaderas.

El número de casa es divisible por $2$ y $7,$ así que es divisible por $14.$ Entre los múltiplos de dos dígitos de $14,$ el único con un dígito $9$ es $98.$ Por lo tanto, el dígito de las unidades es $8.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Statements (1) and (2) cannot both be true, because the only even prime is not two-digit. Statements (1) and (3) also cannot both be true, because a two-digit number divisible by $7$ would not be prime. Since only one statement is false, statement (1) must be false, while statements (2), (3), and (4) are true.

The house number is divisible by $2$ and $7,$ so it is divisible by $14.$ Among the two-digit multiples of $14,$ the only one with a digit of $9$ is $98.$ Therefore, the units digit is $8.$

Thus, D is the correct answer.

9.

Todas las canicas de Marcy son azules, rojas, verdes o amarillas. Un tercio de sus canicas son azules, un cuarto de ellas son rojas y seis de ellas son verdes. ¿Cuál es el menor número de canicas amarillas que Marcy podría tener?

All of Marcy's marbles are blue, red, green, or yellow. One third of her marbles are blue, one fourth of them are red, and six of them are green. What is the smallest number of yellow marbles that Marcy could have?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:fracción mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

Si el número de canicas es divisible tanto por $3$ como por $4,$ entonces el número debe ser divisible por $12.$ Si probamos $12,$ obtenemos que hay $4$ canicas azules y $3$ canicas rojas. Esto deja un máximo de $5$ canicas verdes, lo cual no es posible.

Si hay $24$ canicas, entonces hay $8$ canicas azules y $6$ canicas rojas. Para hallar el número de canicas amarillas, obtenemos $24 - 8 - 6 - 6 = 4.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If the number of marbles is divisible by both $3$ and $4,$ then the number must be divisible by $12.$ If we test $12,$ we get that there are $4$ blue marbles and $3$ red marbles. This leaves a maximum of $5$ green marbles, which is not possible.

If there are $24$ marbles, then there are $8$ blue marbles and $6$ red marbles. To find the number of yellow marbles, we get $24 - 8 - 6 - 6 = 4.$

Thus, D is the correct answer.

10.

Una caja contiene cinco tarjetas, numeradas 1, 2, 3, 4 y 5. Se seleccionan al azar tres tarjetas de la caja, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 sea el mayor valor seleccionado?

A box contains five cards, numbered 1, 2, 3, 4, and 5. Three cards are selected randomly without replacement from the box. What is the probability that 4 is the largest value selected?

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

El número de maneras de elegir $3$ tarjetas de $5$ es ${5 \choose 3} = 10.$ Si $4$ es el mayor valor seleccionado, entonces las otras dos tarjetas deben elegirse de $\{1, 2, 3\}.$ Hay ${3 \choose 2} = 3$ maneras de hacer esto. La probabilidad es entonces $\dfrac{3}{10}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The number of ways to choose $3$ cards from $5$ is ${5 \choose 3} = 10.$ If $4$ is the largest value selected, then the other two cards have to be chosen from $\{1, 2, 3\}.$ There are ${3 \choose 2} = 3$ ways to do this. The probability is then $\dfrac{3}{10}.$

Thus, C is the correct answer.

11.

Un piso con forma de cuadrado está cubierto con baldosas cuadradas congruentes. Si el número total de baldosas que están sobre las dos diagonales es $37,$ ¿cuántas baldosas cubren el piso?

A square-shaped floor is covered with congruent square tiles. If the total number of tiles that lie on the two diagonals is $37,$ how many tiles cover the floor?

$148$

$324$

$361$

$1296$

$1369$

Conceptos:diagonal cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1140

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Solución escrita:

$37$ baldosas en ambas diagonales implican que hay $19$ baldosas en cada diagonal, ya que una baldosa se traslapa en el medio. El número total de baldosas sería entonces $19^2 = 361$ ya que el número de baldosas en cada fila es igual al número de baldosas en una diagonal.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

$37$ tiles on both diagonals imply that there are $19$ tiles on each diagonal, since one tile overlaps in the middle. The total number of tiles would then be $19^2 = 361$ since the number of tiles in each row is equal to the number of tiles in one diagonal.

Thus, C is the correct answer.

12.

¿Entre cuál de los siguientes pares de números se encuentra el menor entero positivo mayor que 1 que deja residuo 1 al dividirse entre 4, 5 y 6?

The smallest positive integer greater than 1 that leaves a remainder of 1 when divided by 4, 5, and 6 lies between which of the following pairs of numbers?

$2$ y $19$

$2$ and $19$

$20$ y $39$

$20$ and $39$

$40$ y $59$

$40$ and $59$

$60$ y $79$

$60$ and $79$

$80$ y $124$

$80$ and $124$

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

Si un número deja residuo $1$ al dividirse entre $4,$ $5,$ y $6,$ entonces es uno más que el mínimo común múltiplo de estos números. El mínimo común múltiplo es $60,$ así que el menor entero positivo de este tipo es $60 + 1 = 61.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If a number leaves a remainder of $1$ when divided by $4,$ $5,$ and $6,$ then it is one more than the least common multiple of these numbers. The least common multiple is $60,$ so the smallest such positive integer is $60 + 1 = 61.$

Thus, D is the correct answer.

13.

Peter, Emma y Kyler jugaron ajedrez entre sí. Peter ganó 4 partidas y perdió 2 partidas. Emma ganó 3 partidas y perdió 3 partidas. Si Kyler perdió 3 partidas, ¿cuántas partidas ganó?

Peter, Emma, and Kyler played chess with each other. Peter won 4 games and lost 2 games. Emma won 3 games and lost 3 games. If Kyler lost 3 games, how many games did he win?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

Como no hay empates, el número de victorias debe ser igual al número de derrotas. El número de derrotas es $2 + 3 + 3 = 8,$ así que el número de partidas que ganó Kyler es $8 - 4 - 3 = 1.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since there are no ties, the number of wins has to equal the number of losses. The number of losses is $2 + 3 + 3 = 8,$ so the number of games Kyler won is $8 - 4 - 3 = 1.$

Thus, B is the correct answer.

14.

Chloe y Zoe son ambas estudiantes de la clase de matemáticas de la señora Demeanor. Anoche cada una resolvió sola la mitad de los problemas de su tarea y luego resolvieron juntas la otra mitad. Chloe respondió correctamente solo el $80\%$ de los problemas que resolvió sola, pero en total el $88\%$ de sus respuestas fueron correctas. Zoe respondió correctamente el $90\%$ de los problemas que resolvió sola. ¿Cuál fue el porcentaje total de respuestas correctas de Zoe?

Chloe and Zoe are both students in Ms. Demeanor's math class. Last night they each solved half of the problems in their homework assignment alone and then solved the other half together. Chloe had correct answers to only $80\%$ of the problems she solved alone, but overall $88\%$ of her answers were correct. Zoe had correct answers to $90\%$ of the problems she solved alone. What was Zoe's overall percentage of correct answers?

$89$

$92$

$93$

$96$

$98$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1370

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Solución escrita:

Como la respuesta es la misma sin importar el número de problemas, podemos suponer que había $100$ problemas en la tarea. El $80\%$ de $50$ es $40,$ así que Chloe respondió correctamente $40$ preguntas sola. El $88\%$ de $100$ es $88,$ así que Chloe respondió correctamente $88$ preguntas en total. Esto significa que Chloe respondió $88 - 40 = 48$ junto con Zoe.

El $90\%$ de $50$ es $45,$ así que Zoe respondió correctamente $45$ preguntas por sí misma. Sabemos que respondió correctamente $48$ preguntas con Chloe, así que respondió correctamente $45 + 48 = 93$ en total. Esto significa que su porcentaje total es $93\%.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since the answer is the same regardless of the number of problems, we can assume that there were $100$ problems on the assignment. $80\%$ of $50$ is $40,$ so Chloe answered $40$ questions correctly alone. $88\%$ of $100$ is $88,$ so Chloe answered $88$ questions correctly in total. This means that Chloe answered $88 - 40 = 48$ together with Zoe.

$90\%$ of $50$ is $45,$ so Zoe answered $45$ questions correctly by herself. We know that she answered $48$ questions correctly with Chloe, so she answered $45 + 48 = 93$ correctly in total. This means that her overall percentage is $93\%.$

Thus, C is the correct answer.

15.

En el arreglo de letras y números de abajo, ¿por cuántos caminos diferentes se puede deletrear AMC8? Comenzando en la A del medio, un camino solo permite movimientos de una letra a una letra adyacente (arriba, abajo, izquierda o derecha, pero no en diagonal). Un ejemplo de tal camino está trazado en la imagen.

In the arrangement of letters and numerals below, by how many different paths can one spell AMC8? Beginning at the A in the middle, a path only allows moves from one letter to an adjacent (above, below, left, or right, but not diagonal) letter. One example of such a path is traced in the picture.

$8$

$9$

$12$

$24$

$36$

Conceptos:principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1220

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Solución escrita:

Comenzando desde $A,$ hay $4$ maneras de llegar a una $M.$ Desde cada $M,$ hay $3$ maneras de llegar a una $C.$ Desde cada $C,$ hay $2$ maneras de llegar a un $8.$ Multiplicando todas estas posibilidades, obtenemos $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Starting from $A,$ there are $4$ ways to reach an $M.$ From each $M,$ there are $3$ ways to reach a $C.$ From each $C,$ there are $2$ ways to reach an $8.$ Multiplying all these possibilities, we get $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24.$

Thus, D is the correct answer.

16.

En la figura de abajo, elige el punto $D$ sobre $\overline{BC}$ de modo que $\triangle ACD$ y $\triangle ABD$ tengan perímetros iguales. ¿Cuál es el área de $\triangle ABD$ ?

In the figure below, choose point $D$ on $\overline{BC}$ so that $\triangle ACD$ and $\triangle ABD$ have equal perimeters. What is the area of $\triangle ABD?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$\dfrac{12}{5}$

$\dfrac{5}{2}$

Conceptos:razón de áreas perímetro

Nivel de dificultad: 1420

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Solución escrita:

La única manera de dividir $\overline{BC}$ en dos partes de modo que los dos triángulos tengan el mismo perímetro es si $\overline{CD} = 3$ y $\overline{BD} = 2.$

$\triangle ACD$ y $\triangle ABD$ tienen las mismas alturas, así que sus áreas son proporcionales a sus bases. Esto significa que el área de $\triangle ABD$ es $\dfrac{2}{5}$ del área de $\triangle ABC,$ que es $\dfrac{2}{5} \cdot 3 \cdot \dfrac{4}{2} = \dfrac{12}{5}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The only way to split $\overline{BC}$ into two parts such that the two triangles have the same perimeter is if $\overline{CD} = 3$ and $\overline{BD} = 2.$

$\triangle ACD$ and $\triangle ABD$ have the same altitudes, so their areas are proportional to their bases. This means that the area of $\triangle ABD$ is $\dfrac{2}{5}$ the area of $\triangle ABC,$ which is $\dfrac{2}{5} \cdot 3 \cdot \dfrac{4}{2} = \dfrac{12}{5}.$

Thus, D is the correct answer.

17.

Empezando con algunas monedas de oro y algunos cofres del tesoro vacíos, intenté poner 9 monedas de oro en cada cofre, pero eso dejó 2 cofres vacíos. Así que en su lugar puse 6 monedas de oro en cada cofre, pero entonces me sobraron 3 monedas de oro. ¿Cuántas monedas de oro tenía?

Starting with some gold coins and some empty treasure chests, I tried to put 9 gold coins in each treasure chest, but that left 2 treasure chests empty. So instead I put 6 gold coins in each treasure chest, but then I had 3 gold coins left over. How many gold coins did I have?

$9$

$27$

$45$

$63$

$81$

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1240

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Solución escrita:

Sea $n$ el número de cofres del tesoro y $g$ el número de monedas de oro. Entonces $9(n - 2) = g$ y $6n + 3 = g.$ Al resolver este sistema se obtiene $n = 7,$ así que el número de monedas de oro es $6 \cdot 7 + 3 = 45.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $n$ be the number of treasure chests and $g$ be the number of gold coins. Then $9(n - 2) = g$ and $6n + 3 = g.$ Solving this system yields $n = 7,$ so the number of gold coins is $6 \cdot 7 + 3 = 45.$

Thus, C is the correct answer.

18.

En el cuadrilátero no convexo $ABCD$ que se muestra abajo, $\angle BCD$ es un ángulo recto, $AB=12,$ $BC=4,$ $CD=3,$ y $AD=13.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCD$ ?

In the non-convex quadrilateral $ABCD$ shown below, $\angle BCD$ is a right angle, $AB=12,$ $BC=4,$ $CD=3,$ and $AD=13.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$12$

$24$

$26$

$30$

$36$

Conceptos:Teorema de Pitágoras Terna pitagórica área

Nivel de dificultad: 1430

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Solución escrita:

Como $\angle BCD$ es un ángulo recto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras al $\triangle BCD$ para obtener que $\overline{BD} = 5.$ También obtenemos que $\angle DBA$ es recto, ya que los lados del $\triangle BDA$ forman un triple pitagórico.

Entonces el área de $ABCD$ es igual a $\begin{align*} \text{area}(\triangle &BDA) - \text{area}(\triangle BCD) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 30 - 6 \\ &= 24. \end{align*}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since $\angle BCD$ is a right angle, we can apply the Pythagorean theorem to $\triangle BCD$ to get that $\overline{BD} = 5.$ We also get that $\angle DBA$ is right since the sides of $\triangle BDA$ form a Pythagorean triple.

Then the area of $ABCD$ is equal to $\begin{align*} \text{area}(\triangle &BDA) - \text{area}(\triangle BCD) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 30 - 6 \\ &= 24. \end{align*}$

Thus, B is the correct answer.

19.

Para cualquier entero positivo $M,$ la notación $M!$ denota el producto de los enteros de $1$ a $M.$ ¿Cuál es el mayor entero $n$ para el cual $5^n$ es un factor de la suma $98!+99!+100!$ ?

For any positive integer $M,$ the notation $M!$ denotes the product of the integers $1$ through $M.$ What is the largest integer $n$ for which $5^n$ is a factor of the sum: $98!+99!+100!$

$23$

$24$

$25$

$26$

$27$

Conceptos:factorial Fórmula de Legendre

Nivel de dificultad: 1640

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Solución escrita:

La expresión se puede factorizar de la siguiente manera:

$\begin{align*} &98! + 99! + 100! \\ &= 98! + 99 \cdot 98! + 100 \cdot 99 \cdot 98! \\ &= 98!(1 + 99 + 100 \cdot 99) \\ &= 98!(100 + 100 \cdot 99) \\ &= 98! \cdot 100 \cdot (1 + 99) \\ &= 98! \cdot 100^2 \end{align*}$

Cada $100$ posee dos factores de $5.$ El número de factores de $5$ en $98!$ es $\lfloor 98 / 5 \rfloor$ $+ \lfloor 98 / 25 \rfloor$ $= 19 + 3 = 22.$ Esto cuenta la cantidad de números divisibles por $5$ y la cantidad de números divisibles por $25$ para obtener ambos factores de $5.$ El número total de factores de $5$ es $2 + 2 + 22 = 26.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The expression can be factored as follows:

$\begin{align*} &98! + 99! + 100! \\ &= 98! + 99 \cdot 98! + 100 \cdot 99 \cdot 98! \\ &= 98!(1 + 99 + 100 \cdot 99) \\ &= 98!(100 + 100 \cdot 99) \\ &= 98! \cdot 100 \cdot (1 + 99) \\ &= 98! \cdot 100^2 \end{align*}$

Each $100$ possesses two factors of $5.$ The number of factors of $5$ in $98!$ is $\lfloor 98 / 5 \rfloor$ $+ \lfloor 98 / 25 \rfloor$ $= 19 + 3 = 22.$ This counts the number of numbers divisible by $5$ and the number of numbers divisible by $25$ to get both factors of $5.$ The total number of factors of $5$ is $2 + 2 + 22 = 26.$

Thus, D is the correct answer.

20.

Se elige al azar un entero entre $1000$ y $9999,$ inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un entero impar cuyos dígitos sean todos distintos?

An integer between $1000$ and $9999,$ inclusive, is chosen at random. What is the probability that it is an odd integer whose digits are all distinct?

$\dfrac{14}{75}$

$\dfrac{56}{225}$

$\dfrac{107}{400}$

$\dfrac{7}{25}$

$\dfrac{9}{25}$

Conceptos:probabilidad básica principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1550

Solución en video:

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Solución escrita:

Como el número es impar, el último dígito es impar, lo que da $5$ posibilidades. El dígito de los millares no puede ser cero ni el número que ya obtuvimos, así que eso da $8$ posibilidades. De manera similar, el dígito de las centenas tiene $8$ posibilidades, y el dígito de las decenas tiene $7$ posibilidades. Esto da un total de $5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 = 2240,$ lo que hace que la probabilidad sea $\dfrac{2240}{9000} = \dfrac{56}{225}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since the number is odd, the last digit is odd, giving $5$ possibilities. The thousands digit cannot be zero or the number we already got, so that gives $8$ possibilities. Similarly, the hundreds digit has $8$ possibilities, and the tens digit has $7$ possibilities. This gives a total of $5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 = 2240,$ making the probability $\dfrac{2240}{9000} = \dfrac{56}{225}.$

Thus, B is the correct answer.

21.

Supón que $a,$ $b,$ y $c$ son números reales distintos de cero, y $a+b+c=0.$ ¿Cuáles son los valores posibles de $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}?$

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are nonzero real numbers, and $a+b+c=0.$ What are the possible value(s) for $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}?$

$0$

$1$ y $-1$

$1$ and $-1$

$2$ y $-2$

$2$ and $-2$

$0$ , $2$ y $-2$

$0$ , $2$ , and $-2$

$0$ , $1$ y $-1$

$0$ , $1$ , and $-1$

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1510

Solución en video:

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Solución escrita:

Como la suma es $0,$ los números no pueden ser todos positivos o negativos. Nota también que si $x < 0,$ $\dfrac{x}{|x|} = -1,$ y si $x > 0,$ $\dfrac{x}{|x|} = 1.$

Esto da dos casos: dos son positivos y uno negativo, o viceversa. Primero el Caso I: dos son positivos y uno es negativo.

Sin pérdida de generalidad, sean $a, b > 0$ y $c < 0.$ Entonces $abc < 0.$ Esto significa que $\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{b}{|b|} = 1$ y $\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{abc}{|abc|} = -1.$ Entonces $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|} = 0.$

Si dos son negativos y uno positivo, es el Caso II:

Sin pérdida de generalidad, sean $a, b < 0$ y $c > 0.$ Entonces $abc > 0.$ Esto significa que $\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{b}{|b|} = -1$ y $\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{abc}{|abc|} = 1.$ Entonces $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|} = 0.$

De cualquier manera, $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}$ es igual a $0.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since the sum is $0,$ all the numbers cannot be positive or negative. This gives two cases: two are positive and one is negative or vice versa. Also note that if $x < 0,$ $\dfrac{x}{|x|} = -1,$ and if $x > 0,$ $\dfrac{x}{|x|} = 1.$

Case I: two are positive and one is negative

WLOG, let $a, b > 0$ and $c < 0.$ Then $abc < 0.$ This means that $\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{b}{|b|} = 1$ and $\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{abc}{|abc|} = -1.$ Then $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|} = 0.$

Case II: two are negative and one is positive

WLOG, let $a, b < 0$ and $c > 0.$ Then $abc > 0.$ This means that $\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{b}{|b|} = -1$ and $\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{abc}{|abc|} = 1.$ Then $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|} = 0.$

Either way, $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}$ equals $0.$

Thus, A is the correct answer.

22.

En el triángulo rectángulo $ABC,$ $AC=12,$ $BC=5,$ y el ángulo $C$ es recto. Un semicírculo está inscrito en el triángulo como se muestra. ¿Cuál es el radio del semicírculo?

In the right triangle $ABC,$ $AC=12,$ $BC=5,$ and angle $C$ is a right angle. A semicircle is inscribed in the triangle as shown. What is the radius of the semicircle?

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{13}{5}$

$\dfrac{59}{18}$

$\dfrac{10}{3}$

$\dfrac{60}{13}$

Conceptos:recta tangente semejanza

Nivel de dificultad: 1640

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $O$ el centro del semicírculo inscrito y $D$ el punto de tangencia del semicírculo sobre $\overline{AB}.$ Entonces $BD = 5$ ya que $\overline{BD}$ y $\overline{BC}$ son tangentes al semicírculo. Entonces $AD = 8$ y $OD = r.$ $\overline{OD}$ es perpendicular a $\overline{AB}$ así que $\triangle ADO \sim \triangle BCA,$ por lo que $\dfrac{r}{8} = \dfrac{5}{12}.$ Resolviendo esto, obtenemos $r = \dfrac{10}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $O$ be the center of the inscribed semicircle and $D$ be the tangent point of the semicircle on $\overline{AB}.$ Then $BD = 5$ since $\overline{BD}$ and $\overline{BC}$ are tangents to the semicircle. Then $AD = 8$ and $OD = r.$ $\overline{OD}$ is perpendicular to $\overline{AB}$ so $\triangle ADO \sim \triangle BCA,$ so $\dfrac{r}{8} = \dfrac{5}{12}.$ Solving this, we get $r = \dfrac{10}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

23.

Cada día durante cuatro días, Linda viajó durante una hora a una velocidad tal que recorría una milla en un número entero de minutos. Cada día después del primero, su velocidad disminuía de modo que el número de minutos para recorrer una milla aumentaba en $5$ minutos respecto al día anterior. Cada uno de los cuatro días, la distancia que recorrió también fue un número entero de millas. ¿Cuál fue el número total de millas de los cuatro viajes?

Each day for four days, Linda traveled for one hour at a speed that resulted in her traveling one mile in an integer number of minutes. Each day after the first, her speed decreased so that the number of minutes to travel one mile increased by $5$ minutes over the preceding day. Each of the four days, her distance traveled was also an integer number of miles. What was the total number of miles for the four trips?

$10$

$15$

$25$

$50$

$82$

Conceptos:factor sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1610

Solución en video:

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Solución escrita:

Linda viajó $60$ minutos cada día. Como cada día se recorría una milla en un número entero de minutos, sus minutos por milla cada día deben ser un factor de $60.$ Los factores de $60$ son $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30,$ y $60.$ La única sucesión de cuatro de estos números que difieren en $5$ es $5, 10, 15,$ y $20.$ Durante los cuatro días, recorrió $\dfrac{60}{5} + \dfrac{60}{10} + \dfrac{60}{15} + \dfrac{60}{20} = 25$ millas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Linda traveled for $60$ minutes every day. Since one mile was traveled in an integer amount of minutes each day, her minutes per mile every day must be a factor of $60.$ The factors of $60$ are $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30,$ and $60.$ The only sequence of four of these numbers that differ by $5$ are $5, 10, 15,$ and $20.$ For the four days, she traveled $\dfrac{60}{5} + \dfrac{60}{10} + \dfrac{60}{15} + \dfrac{60}{20} = 25$ miles.

Thus, C is the correct answer.

24.

La señora Sanders tiene tres nietos, que la llaman con regularidad. Uno la llama cada tres días, uno la llama cada cuatro días y uno la llama cada cinco días. Los tres la llamaron el 31 de diciembre de 2016. ¿En cuántos días del año siguiente no recibió ninguna llamada de sus nietos?

Mrs. Sanders has three grandchildren, who call her regularly. One calls her every three days, one calls her every four days, and one calls her every five days. All three called her on December 31, 2016. On how many days during the next year did she not receive a phone call from any of her grandchildren?

$78$

$80$

$144$

$146$

$152$

Conceptos:inclusión-exclusión mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1800

Solución en video:

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Solución escrita:

En un período de $60$ días, el primer nieto llama $20$ veces, el segundo nieto llama $15$ veces y el tercer nieto llama $12$ veces. Sin embargo, $20 + 15 + 12 = 47$ cuenta de más. El primer y el segundo nieto llaman el mismo día $60 / 12 = 5$ veces. El primer y el tercer nieto llaman el mismo día $60 / 15 = 4$ veces. El segundo y el tercer nieto llaman el mismo día $60 / 20 = 3$ veces. Restando estos de $47$ obtenemos $47 - 5 - 4 - 3 = 35.$

El día $60$ se suma tres veces y se resta tres veces, así que necesitamos volver a sumarlo. Esto significa que por cada $60$ días, la señora Sanders recibe una llamada $36$ días, lo que significa que no recibe llamada en $24$ días. Hay $6$ períodos de $60$ días, y no hay llamadas en el día $361$ ni en el $362$ , lo que resulta en $24 \cdot 6 + 2 = 146$ días totales sin llamadas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

In a $60$ -day period, the first child calls $20$ times, the second child calls $15$ times, and the third child calls $12$ times. $20 + 15 + 12 = 47$ overcounts, however. The first and second children call on the same day $60 / 12 = 5$ times. The first and third children call on the same day $60 / 15 = 4$ times. The second and third children call on the same day $60 / 20 = 3$ times. Subtracting these from $47$ yields $47 - 5 - 4 - 3 = 35.$

The $60$ th day is added in thrice and subtracted out thrice, so we need to add it back in. This means that for every $60$ days, Mrs. Sanders receives a call $36$ days, which means that she does not receive a call on $24$ days. There are $6$ $60$ -day periods, and there are no calls on the $361$ st or $362$ nd day, which results in $24 \cdot 6 + 2 = 146$ total days with no phone calls.

Thus, D is the correct answer.

25.

En la figura mostrada, $\overline{US}$ y $\overline{UT}$ son segmentos de recta cada uno de longitud 2, y $m\angle TUS = 60^\circ.$

Los arcos $\overset{\large\frown}{TR}$ y $\overset{\large\frown}{SR}$ son cada uno un sexto de un círculo de radio 2. ¿Cuál es el área de la región mostrada?

In the figure shown, $\overline{US}$ and $\overline{UT}$ are line segments each of length 2, and $m\angle TUS = 60^\circ.$

Arcs $\overset{\large\frown}{TR}$ and $\overset{\large\frown}{SR}$ are each one-sixth of a circle with radius 2. What is the area of the region shown?

$3\sqrt{3}-\pi$

$4\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}$

$2\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}-\dfrac{2\pi}{3}$

$4+\dfrac{4\pi}{3}$

Conceptos:triángulo equilátero sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1750

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos extender $\overline{SU}$ y $\overline{TU}$ para formar la siguiente figura.

El área de esta región es el área de un triángulo equilátero de lado $4$ menos el área de dos sextos de un círculo de radio $2.$ El área de un triángulo equilátero de lado $s$ es $\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.$ Esto significa que el área total es $\dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{3} \pi \cdot 2^2 = 4 \sqrt{3} - \dfrac{4}{3} \pi.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can extend $\overline{SU}$ and $\overline{TU}$ to form the following picture.

The area of this region is the area of an equilateral triangle with side length of $4$ minus the area of two-sixths of a circle with radius $2.$ The area for an equilateral triangle with side length $s$ is $\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.$ This means that the total area is $\dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{3} \pi \cdot 2^2 = 4 \sqrt{3} - \dfrac{4}{3} \pi.$

Thus, B is the correct answer.