Question

El diámetro $ACE$ está dividido en $C$ en la razón $2:3.$ Los dos semicírculos, $ABC$ y $CDE,$ dividen la región circular en una región superior (sombreada) y una región inferior. La razón entre el área de la región superior y la de la región inferior es

Diameter $ACE$ is divided at $C$ in the ratio $2:3.$ The two semicircles, $ABC$ and $CDE,$ divide the circular region into an upper (shaded) region and a lower region. The ratio of the area of the upper region to that of the lower region is

$2:3$

$1:1$

$3:2$

$9:4$

$5:2$

Solución:

Elige $AE=10$ de modo que $AC=4$ y $CE=6.$ El semicírculo grande tiene radio $5,$ así que su área es $\frac{25\pi}{2}.$

El semicírculo sobre $AC$ tiene radio $2$ y área $2\pi,$ mientras que el semicírculo sobre $CE$ tiene radio $3$ y área $\frac{9\pi}{2}.$

La región superior sombreada tiene área $\frac{25\pi}{2}-2\pi+\frac{9\pi}{2}=15\pi.$

El círculo completo tiene área $25\pi,$ así que la región inferior tiene área $25\pi-15\pi=10\pi.$

La razón buscada es $15\pi:10\pi=3:2.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Choose $AE=10$ so that $AC=4$ and $CE=6.$ The large semicircle has radius $5,$ so its area is $\frac{25\pi}{2}.$

The semicircle on $AC$ has radius $2$ and area $2\pi,$ while the semicircle on $CE$ has radius $3$ and area $\frac{9\pi}{2}.$

The upper shaded region has area $\frac{25\pi}{2}-2\pi+\frac{9\pi}{2}=15\pi.$

The whole circle has area $25\pi,$ so the lower region has area $25\pi-15\pi=10\pi.$

The desired ratio is $15\pi:10\pi=3:2.$

Thus, C is the correct answer.

1997 AMC 8 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años