Question

Los dígitos $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ se usan cada uno una vez para escribir un número de cinco dígitos $PQRST.$ El número de tres dígitos $PQR$ es divisible entre $4,$ el número de tres dígitos $QRS$ es divisible entre $5,$ y el número de tres dígitos $RST$ es divisible entre $3.$ ¿Cuánto vale $P$ ?

The digits $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ are each used once to write a five-digit number $PQRST.$ The three-digit number $PQR$ is divisible by $4,$ the three-digit number $QRS$ is divisible by $5,$ and the three-digit number $RST$ is divisible by $3.$ What is $P?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $QRS$ es divisible entre $5,$ sabemos que $S = 5.$

Como $PQR$ es divisible entre $4,$ $QR$ es igual a $12, 24,$ o $32.$

Si $QR=12,$ entonces $R=2,$ así que $RST=25T$ no puede ser divisible entre $3$ usando los dígitos restantes. Si $QR=32,$ entonces $R=2$ de nuevo, dando el mismo obstáculo. Así, $QR=24,$ y entonces $RST=45T.$ Entre los dígitos restantes, solo $T=3$ hace que $453$ sea divisible entre $3$ .

Por lo tanto, $PQRST = 12453.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since $QRS$ is divisible by $5,$ we know that $S = 5.$

Since $PQR$ is divisible by $4,$ $QR$ equals either $12, 24,$ or $32.$

If $QR=12,$ then $R=2,$ so $RST=25T$ cannot be divisible by $3$ using the remaining digits. If $QR=32,$ then $R=2$ again, giving the same obstacle. Thus $QR=24,$ and then $RST=45T.$ Among the remaining digits, only $T=3$ makes $453$ divisible by $3$ .

Therefore, $PQRST = 12453.$

Thus, A is the correct answer.

2016 AMC 8 Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años