Soluciones del 2016 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2016 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

El partido de tenis profesional más largo jamás jugado duró en total $11$ horas y $5$ minutos. ¿Cuántos minutos fueron?

The longest professional tennis match ever played lasted a total of $11$ hours and $5$ minutes. How many minutes was this?

$605$

$655$

$665$

$1005$

$1105$

Conceptos:conversión de unidades

Nivel de dificultad: 370

Solución en video:

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Solución escrita:

Una hora tiene $60$ minutos, así que el tiempo total es $60 \cdot 11 + 5 = 665$ minutos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are $60$ minutes in an hour, so the total time is $60 \cdot 11 + 5 = 665$ minutes.

Thus, C is the correct answer.

2.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB=6$ y $AD=8.$ El punto $M$ es el punto medio de $\overline{AD}.$ ¿Cuál es el área del $\triangle AMC$ ?

In rectangle $ABCD,$ $AB=6$ and $AD=8.$ Point $M$ is the midpoint of $\overline{AD}.$ What is the area of $\triangle AMC?$

$12$

$15$

$18$

$20$

$24$

Conceptos:área del triángulo punto medio

Nivel de dificultad: 450

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Solución escrita:

A partir del diagrama, podemos ver que la base del $\triangle AMC$ es $4$ y la altura es $6.$ Por lo tanto, el área es $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

From the diagram, we can see that the base of $\triangle AMC$ is $4$ and the altitude is $6.$ The area is therefore $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12.$

Thus, A is the correct answer.

3.

Cuatro estudiantes hacen un examen. Tres de sus puntajes son $70, 80$ y $90.$ Si el promedio de sus cuatro puntajes es $70,$ ¿cuál es el puntaje restante?

Four students take an exam. Three of their scores are $70, 80,$ and $90.$ If the average of their four scores is $70,$ then what is the remaining score?

$40$

$50$

$55$

$60$

$70$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 450

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Solución escrita:

A partir del promedio, podemos calcular que la suma de los puntajes es $4 \cdot 70 = 280.$ Esto significa que el puntaje restante es $280 - 70 - 80 - 90 = 40.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

From the average, we can calculate the sum of the scores to be $4 \cdot 70 = 280.$ This means that the remaining score is $280 - 70 - 80 - 90 = 40.$

Thus, A is the correct answer.

4.

Cuando Cheenu era niño podía correr $15$ millas en $3$ horas y $30$ minutos. Ahora que es anciano puede caminar $10$ millas en $4$ horas. ¿Cuántos minutos más le toma caminar una milla ahora en comparación con cuando era niño?

When Cheenu was a boy he could run $15$ miles in $3$ hours and $30$ minutes. As an old man he can now walk $10$ miles in $4$ hours. How many minutes longer does it take for him to walk a mile now compared to when he was a boy?

$6$

$10$

$15$

$18$

$30$

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 720

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Solución escrita:

Para comparar mejor los ritmos, podemos convertir su velocidad a minutos por milla.

De niño corría $15$ millas en $3 \cdot 60 + 30 = 210$ minutos, lo que significa que corría a un ritmo de $210 / 15 = 14$ minutos por milla.

De adulto, puede caminar $10$ millas en $4 \cdot 60 = 240$ minutos, lo que significa que camina a un ritmo de $240 / 10 = 24$ minutos por milla.

Restando los dos, obtenemos que le toma $10$ minutos más caminar una milla de adulto.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

To better compare the rates, we can change his speed into minutes per mile.

As a boy he ran $15$ miles in $3 \cdot 60 + 30 = 210$ minutes, which means that he ran at a pace of $210 / 15 = 14$ minutes per mile.

As an adult, he can walk $10$ miles in $4 \cdot 60 = 240$ minutes, which means he walks at a pace of $240 / 10 = 24$ minutes per mile.

Subtracting the two, we get that he takes $10$ more minutes to walk a mile as an adult.

Thus, B is the correct answer.

5.

El número $N$ es un número de dos dígitos con las siguientes propiedades:

$\quad$ • Cuando $N$ se divide entre $9,$ el residuo es $1.$

$\quad$ • Cuando $N$ se divide entre $10,$ el residuo es $3.$

¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $11$ ?

The number $N$ is a two-digit number with the following properties:

$\quad$ • When $N$ is divided by $9,$ the remainder is $1.$

$\quad$ • When $N$ is divided by $10,$ the remainder is $3.$

What is the remainder when $N$ is divided by $11?$

$0$

$2$

$4$

$5$

$7$

Conceptos:aritmética modular enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 940

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Solución escrita:

Los números de dos dígitos que dejan residuo $1$ al dividir entre $9$ son: $\begin{align*}&10, 19, 28, 37, 46,\\& 55, 64, 73, 82, 91.\end{align*}$ Los números de dos dígitos que dejan residuo $3$ al dividir entre $10$ son: $\begin{align*}&13, 23, 33, 43, 53,\\& 63, 73, 83, 93.\end{align*}$ Entre estos números, $73$ es el único común. El residuo de $73$ al dividir entre $11$ es $7.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The two-digit numbers that leave a remainder of $1$ when divided by $9$ are: $\begin{align*}&10, 19, 28, 37, 46,\\& 55, 64, 73, 82, 91.\end{align*}$ The two-digit numbers that leave a remainder of $3$ when divided by $10$ are: $\begin{align*}&13, 23, 33, 43, 53,\\& 63, 73, 83, 93.\end{align*}$ Among these numbers, $73$ is the only common number. The remainder of $73$ when divided by $11$ is $7.$

Thus, E is the correct answer.

6.

La siguiente gráfica de barras representa la longitud (en letras) de los nombres de 19 personas. ¿Cuál es la longitud mediana de estos nombres?

The following bar graph represents the length (in letters) of the names of 19 people. What is the median length of these names?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:mediana (datos)interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Como hay $19$ personas, cada una con una longitud de nombre correspondiente, la longitud central será la décima. Contando desde la izquierda, el décimo valor al que llegamos es $4.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since there are $19$ people, each with one corresponding name length, the middle length will be the tenth one. Counting from the left side, the tenth value that we arrive upon is $4.$

Thus, B is the correct answer.

7.

¿Cuál de los siguientes números no es un cuadrado perfecto?

Which of the following numbers is not a perfect square?

$1^{2016}$

$2^{2017}$

$3^{2018}$

$4^{2019}$

$5^{2020}$

Conceptos:cuadrado perfecto exponente

Nivel de dificultad: 870

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Solución escrita:

Como cualquier número con exponente par es un cuadrado perfecto, podemos eliminar A, C y E. Además, un número cuadrado elevado a cualquier potencia sigue siendo un número cuadrado, lo que descarta D.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since any number with an even exponent is a perfect square, we can eliminate A, C, and E. Also, a square number to any power remains a square number, so that rules out D.

Thus, B is the correct answer.

8.

Halla el valor de la expresión $\begin{gathered} 100 - 98 + 96 - 94 + 92 - 90 \\ {}+ \cdots + 8 - 6 + 4 - 2. \end{gathered}$

Find the value of the expression $\begin{gathered} 100 - 98 + 96 - 94 + 92 - 90 \\ {}+ \cdots + 8 - 6 + 4 - 2. \end{gathered}$

$20$

$40$

$50$

$80$

$100$

Conceptos:emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 900

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Solución escrita:

Podemos agrupar la suma de la siguiente manera: $\begin{gathered} (100 - 98) + (96 - 94) \\ {}+ \cdots + (4 - 2). \end{gathered}$ Observa que cada par vale $2$ y hay $25$ pares. Por lo tanto, la suma total es $2 \cdot 25 = 50.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can group the sum as follows: $\begin{gathered} (100 - 98) + (96 - 94) \\ {}+ \cdots + (4 - 2). \end{gathered}$ Note that each pair evaluates to $2$ and there are $25$ pairs. Therefore, the total sum is $2 \cdot 25 = 50.$

Thus, C is the correct answer.

9.

¿Cuál es la suma de los distintos divisores primos enteros de $2016$ ?

What is the sum of the distinct prime integer divisors of $2016?$

$9$

$12$

$16$

$49$

$63$

Conceptos:factorización en primos

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

Podemos factorizar $2016$ en primos como $2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.$ Esto muestra que los divisores primos de $2016$ son $2, 3$ y $7.$ La suma de estos es $12,$ así que B es la respuesta correcta.

We can prime factorize $2016$ as $2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.$ This shows that the prime divisors of $2016$ are $2, 3,$ and $7.$ The sum of these is $12,$ so B is the correct answer.

10.

Supón que $a * b$ significa $3a - b.$ ¿Cuál es el valor de $x$ si $2 * (5 * x) = 1?$

Suppose that $a * b$ means $3a - b.$ What is the value of $x$ if $2 * (5 * x) = 1?$

$\dfrac{1}{10}$

$2$

$\dfrac{10}{3}$

$10$

$14$

Conceptos:operación personalizada ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1030

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Solución escrita:

Podemos simplificar la ecuación de la siguiente manera: $\begin{align*} 1 &= 2 * (5 * x) \\ &= 2 * (3 \cdot 5 - x) \\ &= 2 * (15 - x) \\ &= 3 \cdot 2 - (15 - x) \\ &= x - 9. \end{align*}$ Al resolver se obtiene $x = 10.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can simplify the equation as follows: $\begin{align*} 1 &= 2 * (5 * x) \\ &= 2 * (3 \cdot 5 - x) \\ &= 2 * (15 - x) \\ &= 3 \cdot 2 - (15 - x) \\ &= x - 9. \end{align*}$ Solving yields $x = 10.$

Thus, D is the correct answer.

11.

Determina cuántos números de dos dígitos satisfacen la siguiente propiedad:

Cuando el número se suma al número obtenido invirtiendo sus dígitos, la suma es $132.$

Determine how many two-digit numbers satisfy the following property:

When the number is added to the number obtained by reversing its digits, the sum is $132.$

$5$

$7$

$9$

$11$

$12$

Conceptos:dígitos valor posicional

Nivel de dificultad: 1100

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Solución escrita:

Sea $ab$ el número de dos dígitos en cuestión. Entonces, el número obtenido al invertir sus dígitos es $ba.$ Por lo tanto, para que $ab$ satisfaga la propiedad de la pregunta: $\begin{align*}10(a + b) + a + b &=132\\11(a + b)&=132\\a+b&=12.\end{align*}$ Las únicas soluciones posibles $(a,b)$ de esta ecuación, donde $a,b$ son ambos de un dígito, son: $(3,9), (4,8), (5,7), (6,6),$ $(7,5), (8,4),(9,3).$ Así, hay $7$ soluciones.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $ab$ be the two-digit number in question. Then, it follows that the number obtained by reversing its digits is $ba.$ Therefore, in order for $ab$ to satisfy the property in the question: $\begin{align*}10(a + b) + a + b &=132\\11(a + b)&=132\\a+b&=12.\end{align*}$ The only possible solutions $(a,b)$ to this equation, where $a,b$ are both one digit, are: $(3,9), (4,8), (5,7), (6,6),$ $(7,5), (8,4),(9,3).$ As such, there are $7$ solutions.

Thus, B is the correct answer.

12.

La escuela secundaria Jefferson tiene la misma cantidad de niños y niñas. Tres cuartas partes de las niñas y dos tercios de los niños fueron a una excursión. ¿Qué fracción de los estudiantes en la excursión eran niñas?

Jefferson Middle School has the same number of boys and girls. Three-fourths of the girls and two-thirds of the boys went on a field trip. What fraction of the students on the field trip were girls?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{17}$

$\dfrac{7}{13}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{14}{15}$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1170

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Solución escrita:

Para comparar más fácilmente, podemos convertir las fracciones a un mismo denominador: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ Esto muestra que la razón de niñas a niños es $9 : 8,$ lo que significa que la fracción de niñas en la excursión es $\dfrac{9}{17}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

To more easily compare, we can convert the fractions to have the same denominator: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ This shows that the ratio of girls to boys is $9 : 8,$ which means that the fraction of girls on the field trip is $\dfrac{9}{17}.$

Thus, B is the correct answer.

13.

Se seleccionan al azar dos números diferentes del conjunto $\{ - 2, -1, 0, 3, 4, 5\}$ y se multiplican entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea $0$ ?

Two different numbers are randomly selected from the set $\{ - 2, -1, 0, 3, 4, 5\}$ and multiplied together. What is the probability that the product is $0?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica conteo de pares

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

La única forma de que el producto sea $0$ es que uno de los números elegidos sea $0.$ Si el primer número elegido es $0,$ entonces hay $5$ opciones para el segundo número.

De igual manera, hay $5$ combinaciones si $0$ se eligió en segundo lugar.

Por lo tanto, hay $10$ pares en total donde el producto es $0.$ El número total de pares es $6 \cdot 5 = 30,$ así que la probabilidad es $\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The only way for the product to be $0$ is if one of the numbers chosen is $0.$ If the first number chosen is $0,$ then there are $5$ options for the second number.

Similarly, there are $5$ combinations if $0$ was chosen second.

Therefore, there are $10$ total pairs where the product is $0.$ The total number of pairs is $6 \cdot 5 = 30,$ so the probability is $\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

14.

El auto de Karl usa un galón de gasolina cada $35$ millas, y su tanque de gasolina contiene $14$ galones cuando está lleno.

Un día, Karl comenzó con el tanque lleno, condujo $350$ millas, compró $8$ galones de gasolina y continuó conduciendo hasta su destino. Cuando llegó, su tanque estaba a la mitad. ¿Cuántas millas condujo Karl ese día?

Karl's car uses a gallon of gas every $35$ miles, and his gas tank holds $14$ gallons when it is full.

One day, Karl started with a full tank of gas, drove $350$ miles, bought $8$ gallons of gas, and continued driving to his destination. When he arrived, his gas tank was half full. How many miles did Karl drive that day?

$525$

$560$

$595$

$665$

$735$

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 1170

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Solución escrita:

Si Karl condujo $350$ millas, entonces usó $350 / 35$ galones de gasolina.

Cuando compró más gasolina, agregó $8$ galones a los $14 - 10 = 4$ galones restantes, alcanzando un total de $12$ galones.

Si su tanque estaba a la mitad cuando llegó, usó $12 - 7 = 5$ galones, lo que equivale a $5 \cdot 35 = 175$ millas.

Por lo tanto, recorrió una distancia total de $350 + 175 = 525.$ millas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

If Karl drove $350$ miles, then he used $350 / 35$ gallons of gas.

When he bought more gas, he added $8$ gallons to $14 - 10 = 4$ gallons, attaining a total of $12$ gallons.

If his tank was half full when he arrived, he used $12 - 7 = 5$ gallons, which equates to $5 \cdot 35 = 175$ miles.

Therefore, he travelled a total distance of $350 + 175 = 525.$ miles.

Thus, A is the correct answer.

15.

¿Cuál es la mayor potencia de $2$ que es divisor de $13^4 - 11^4$ ?

What is the largest power of $2$ that is a divisor of $13^4 - 11^4?$

$8$

$16$

$32$

$64$

$128$

Conceptos:diferencia de cuadrados potencia de 2

Nivel de dificultad: 1310

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Solución escrita:

Podemos factorizar esta expresión usando la diferencia de cuadrados.

$\begin{align*} (13^2 + 11^2)&(13^2 - 11^2) \\ &= 290 \cdot 48 \\ &= 32 \cdot 145 \cdot 3 \end{align*}$

Esto muestra que $32$ es la mayor potencia de $2$ que divide la expresión.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can factor this expression using difference of squares.

$\begin{align*} (13^2 + 11^2)&(13^2 - 11^2) \\ &= 290 \cdot 48 \\ &= 32 \cdot 145 \cdot 3 \end{align*}$

This shows that $32$ is the largest power of $2$ that divides the expression.

Thus, C is the correct answer.

16.

Annie y Bonnie están corriendo vueltas alrededor de una pista ovalada de $400$ metros. Comenzaron juntas, pero Annie se ha adelantado, porque corre $25\%$ más rápido que Bonnie. ¿Cuántas vueltas habrá corrido Annie cuando alcance a Bonnie por primera vez?

Annie and Bonnie are running laps around a $400$ -meter oval track. They started together, but Annie has pulled ahead, because she runs $25\%$ faster than Bonnie. How many laps will Annie have run when she first passes Bonnie?

$1\dfrac{1}{4}$

$3\dfrac{1}{3}$

$4$

$5$

$25$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1240

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Solución escrita:

Como Annie es $25\%$ más rápida que Bonnie, por cada vuelta que Bonnie termina, Annie completa $1 \dfrac{1}{4}$ vueltas. Por lo tanto, Annie gana un cuarto de vuelta cada vez que Bonnie termina una vuelta.

Con esto en mente, para que Annie alcance por completo a Bonnie, Bonnie debe terminar $4$ vueltas, lo que significa que Annie terminó $5$ vueltas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since Annie is $25\%$ faster than Bonnie, for every lap Bonnie finishes, Annie completes $1 \dfrac{1}{4}$ laps. Therefore, Annie gains a quarter lap every time Bonnie finishes a lap.

With this in mind, for Annie to completely lap Bonnie, Bonnie must finish $4$ laps, which means that Annie finished $5$ laps.

Thus, D is the correct answer.

17.

Una contraseña de cajero automático en el banco de Fred está compuesta por cuatro dígitos del $0$ al $9,$ permitiéndose dígitos repetidos. Si ninguna contraseña puede comenzar con la secuencia $9,1,1,$ ¿cuántas contraseñas son posibles?

An ATM password at Fred's Bank is composed of four digits from $0$ to $9,$ with repeated digits allowable. If no password may begin with the sequence $9,1,1,$ then how many passwords are possible?

$30$

$7290$

$9000$

$9990$

$9999$

Conceptos:principio de multiplicación conteo complementario

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

El número total de contraseñas sin condiciones es $10^4.$ La condición elimina $10$ contraseñas posibles, ya que los primeros $3$ dígitos están determinados y el último puede ser cualquiera. Por lo tanto, el número de contraseñas aceptables es $10,000 - 10 = 9990.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The total number of passwords with no conditions is $10^4.$ The condition removes $10$ possible passwords since the first $3$ are determined, and the last one can be anything. Therefore, the number of acceptable passwords is $10,000 - 10 = 9990.$

Thus, D is the correct answer.

18.

En un encuentro de atletismo de toda la región, $216$ velocistas se inscriben en una competencia de $100$ metros planos. La pista tiene $6$ carriles, así que solo $6$ velocistas pueden competir a la vez. Al final de cada carrera, los cinco que no ganan quedan eliminados, y el ganador competirá de nuevo en una carrera posterior.

¿Cuántas carreras se necesitan para determinar al velocista campeón?

In an All-Area track meet, $216$ sprinters enter a $100$ -meter dash competition. The track has $6$ lanes, so only $6$ sprinters can compete at a time. At the end of each race, the five non-winners are eliminated, and the winner will compete again in a later race.

How many races are needed to determine the champion sprinter?

$36$

$42$

$43$

$60$

$72$

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 1170

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Solución escrita:

Observa que cada carrera elimina a $5$ personas. Para que haya un ganador, deben eliminarse $215.$ Por lo tanto, se requieren $215 / 5 = 43$ carreras para eliminar a esa cantidad de personas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that each race eliminates $5$ people. For there to be a winner, $215$ must be eliminated. Therefore, $215 / 5 = 43$ races are required to eliminate this number of people.

Thus, C is the correct answer.

19.

La suma de $25$ enteros pares consecutivos es $10,000.$ ¿Cuál es el mayor de estos $25$ enteros pares consecutivos?

The sum of $25$ consecutive even integers is $10,000.$ What is the largest of these $25$ consecutive even integers?

$360$

$388$

$412$

$416$

$424$

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1100

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Solución escrita:

El promedio de estos números es $10,000 / 25 = 400.$ El número más grande está a $12$ números pares de distancia, lo que significa que es igual a $400 + 12 \cdot 2 = 424.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The average of these numbers is $10,000 / 25 = 400.$ The largest number is $12$ even numbers away, which means that it equals $400 + 12 \cdot 2 = 424.$

Thus, E is the correct answer.

20.

El mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ es $12,$ y el mínimo común múltiplo de $b$ y $c$ es $15.$ ¿Cuál es el menor valor posible del mínimo común múltiplo de $a$ y $c$ ?

The least common multiple of $a$ and $b$ is $12,$ and the least common multiple of $b$ and $c$ is $15.$ What is the least possible value of the least common multiple of $a$ and $c?$

$20$

$30$

$60$

$120$

$180$

Conceptos:mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1390

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Solución escrita:

Sabemos que $b$ debe dividir tanto a $12$ como a $15,$ así que debe ser igual a $1$ o $3.$

Si $b = 1,$ entonces $a = 12$ y $c = 15,$ haciendo que su mínimo común múltiplo sea $60.$ Si $b = 3,$ entonces podemos tomar $a = 4$ y $c = 5.$ El mínimo común múltiplo en este caso es $20.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know that $b$ has to divide both $12$ and $15,$ so it must equal either $1$ or $3.$

If $b = 1,$ then $a = 12$ and $c = 15,$ making their least common multiple $60.$ If $b = 3,$ then we may take $a = 4$ and $c = 5.$ The least common multiple in this scenario is $20.$

Thus, A is the correct answer.

21.

Una caja contiene $3$ fichas rojas y $2$ fichas verdes. Se extraen fichas al azar, una a la vez sin reemplazo, hasta que se extraen las $3$ rojas o hasta que se extraen ambas fichas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan las $3$ rojas?

A box contains $3$ red chips and $2$ green chips. Chips are drawn randomly, one at a time without replacement, until all $3$ of the reds are drawn or until both green chips are drawn. What is the probability that the $3$ reds are drawn?

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1490

Solución en video:

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Solución escrita:

Las $3$ rojas se extraen antes que ambas fichas verdes exactamente cuando una ficha verde es la última en el orden completo. Hay $10$ maneras igualmente probables de elegir las dos posiciones de las fichas verdes, y $4$ de ellas tienen una ficha verde en la última posición.

Por lo tanto, la probabilidad deseada es $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The $3$ reds are drawn before both green chips exactly when a green chip is the last chip in the full ordering. There are $10$ equally likely ways to choose the two positions of the green chips, and $4$ of them have a green chip in the last position.

Therefore, the desired probability is $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, B is the correct answer.

22.

El rectángulo $DEFA$ de abajo es un rectángulo $3 \times 4$ con $DC=CB=BA=1.$ El área de las "alas de murciélago" (área sombreada) es

Rectangle $DEFA$ below is a $3 \times 4$ rectangle with $DC=CB=BA=1.$ The area of the "bat wings" (shaded area) is

$2$

$2 \dfrac{1}{2}$

$3$

$3 \dfrac{1}{2}$

$4$

Conceptos:semejanza área del triángulo

Nivel de dificultad: 1640

Solución en video:

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Solución escrita:

Define $I$ como el punto medio de $\overline{AD}$ y $G$ como el punto medio de $\overline{EF}.$ Define también $H$ como la intersección de $\overline{CF}$ y $\overline{BE}.$

El área del $\triangle BCE$ es igual a $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2.$ Por simetría, podemos ver que $\triangle BCH$ y $\triangle EFH$ son semejantes. Como sus bases están en razón $1 : 3,$ también lo están sus alturas. Esto significa que $3IH = HG,$ lo que implica que $IH = 1.$

Por lo tanto, el área del $\begin{align*}\triangle BCH &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1\\ &= \dfrac{1}{2}.\end{align*}$ Esto implica que el área del $\begin{align*}\triangle ECH &= 2 - \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{3}{2}.\end{align*}$ Como la figura es simétrica, el área total de las alas de murciélago es $2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Define $I$ to be the midpoint of $\overline{AD}$ and $G$ to be the midpoint of $\overline{EF}.$ Also define $H$ to be the intersection of $\overline{CF}$ and $\overline{BE}.$

The area of $\triangle BCE$ equals $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2.$ By symmetry, we can see that $\triangle BCH$ and $\triangle EFH$ are similar. Since their bases are in a $1 : 3$ ratio, so are their altitudes. This means that $3IH = HG,$ which implies that $IH = 1.$

Therefore, the area of $\begin{align*}\triangle BCH &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1\\ &= \dfrac{1}{2}.\end{align*}$ This implies that the area of $\begin{align*}\triangle ECH &= 2 - \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{3}{2}.\end{align*}$ Since the figure is symmetric, the total area of the bat wings is $2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3.$

Thus, C is the correct answer.

23.

Dos círculos congruentes centrados en los puntos $A$ y $B$ pasan cada uno por el centro del otro círculo. La recta que contiene a $A$ y $B$ se prolonga para intersecar a los círculos en los puntos $C$ y $D.$

Los círculos se intersecan en dos puntos, uno de los cuales es $E.$ ¿Cuál es la medida en grados del $\angle CED$ ?

Two congruent circles centered at points $A$ and $B$ each pass through the other circle's center. The line containing both $A$ and $B$ is extended to intersect the circles at points $C$ and $D.$

The circles intersect at two points, one of which is $E.$ What is the degree measure of $\angle CED?$

$90$

$105$

$120$

$135$

$150$

Conceptos:triángulo equilátero ángulo inscrito persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1510

Solución en video:

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Solución escrita:

Sabemos que $AE = EB = AB$ porque todos son radios de círculos congruentes, así que forman un triángulo equilátero, lo que significa que $\angle AEB = 60^{\circ}.$

Además, como $\overline{DB}$ y $\overline{AC}$ son diámetros, $\angle DEB = \angle AEC = 90^{\circ}.$ Por lo tanto, $\begin{align*}\angle CED = \angle DEB &+ \angle AEC\\ &- \angle AEB,\end{align*}$ lo que es igual a $120^{\circ}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We know that $AE = EB = AB$ since they are all radii of congruent circles, so they form an equilateral triangle, which means that $\angle AEB = 60^{\circ}.$

Also, since $\overline{DB}$ and $\overline{AC}$ are diameters, $\angle DEB = \angle AEC = 90^{\circ}.$ Therefore, $\begin{align*}\angle CED = \angle DEB &+ \angle AEC\\ &- \angle AEB,\end{align*}$ which equals $120^{\circ}.$

Thus, C is the correct answer.

24.

Los dígitos $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ se usan cada uno una vez para escribir un número de cinco dígitos $PQRST.$ El número de tres dígitos $PQR$ es divisible entre $4,$ el número de tres dígitos $QRS$ es divisible entre $5,$ y el número de tres dígitos $RST$ es divisible entre $3.$ ¿Cuánto vale $P$ ?

The digits $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ are each used once to write a five-digit number $PQRST.$ The three-digit number $PQR$ is divisible by $4,$ the three-digit number $QRS$ is divisible by $5,$ and the three-digit number $RST$ is divisible by $3.$ What is $P?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1580

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $QRS$ es divisible entre $5,$ sabemos que $S = 5.$

Como $PQR$ es divisible entre $4,$ $QR$ es igual a $12, 24,$ o $32.$

Si $QR=12,$ entonces $R=2,$ así que $RST=25T$ no puede ser divisible entre $3$ usando los dígitos restantes. Si $QR=32,$ entonces $R=2$ de nuevo, dando el mismo obstáculo. Así, $QR=24,$ y entonces $RST=45T.$ Entre los dígitos restantes, solo $T=3$ hace que $453$ sea divisible entre $3$ .

Por lo tanto, $PQRST = 12453.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since $QRS$ is divisible by $5,$ we know that $S = 5.$

Since $PQR$ is divisible by $4,$ $QR$ equals either $12, 24,$ or $32.$

If $QR=12,$ then $R=2,$ so $RST=25T$ cannot be divisible by $3$ using the remaining digits. If $QR=32,$ then $R=2$ again, giving the same obstacle. Thus $QR=24,$ and then $RST=45T.$ Among the remaining digits, only $T=3$ makes $453$ divisible by $3$ .

Therefore, $PQRST = 12453.$

Thus, A is the correct answer.

25.

Un semicírculo está inscrito en un triángulo isósceles de base $16$ y altura $15$ de modo que el diámetro del semicírculo está contenido en la base del triángulo, como se muestra. ¿Cuál es el radio del semicírculo?

A semicircle is inscribed in an isosceles triangle with base $16$ and height $15$ so that the diameter of the semicircle is contained in the base of the triangle as shown. What is the radius of the semicircle?

$4 \sqrt{3}$

$\dfrac{120}{17}$

$10$

$\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$

Conceptos:área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1610

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $O$ el centro del círculo, que es el punto medio de $\overline{AB}.$

Entonces obtenemos que $BC = 17$ por el teorema de Pitágoras.

Además, también podemos calcular el área del $\triangle BOC$ como: $\begin{align*}\triangle BOC &= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \\&= 60.\end{align*}$ Como el área del $\triangle BOC=60=\dfrac{1}{2} OE \cdot CB$ podemos ver que $OE = \dfrac{120}{17}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $O$ be the center of the circle, which is the midpoint of $\overline{AB}.$

We then get that $BC = 17$ via the Pythagorean theorem.

In addition, we can also calculate the area of $\triangle BOC$ as: $\begin{align*}\triangle BOC &= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \\&= 60.\end{align*}$ As the area of $\triangle BOC=60=\dfrac{1}{2} OE \cdot CB$ we can see that $OE = \dfrac{120}{17}.$

Thus, B is the correct answer.