2016 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

El partido de tenis profesional más largo jamás jugado duró en total $11$ horas y $5$ minutos. ¿Cuántos minutos fueron?

The longest professional tennis match ever played lasted a total of $11$ hours and $5$ minutes. How many minutes was this?

$605$

$655$

$665$

$1005$

$1105$

Respuesta: C

Conceptos:conversión de unidades

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Primero convierte las horas a minutos.

Convert the hours to minutes first.

Pista grande:

Suma los $5$ minutos adicionales después de multiplicar $11$ por $60$ .

Add the extra $5$ minutes after multiplying $11$ by $60$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Una hora tiene $60$ minutos, así que el tiempo total es $60 \cdot 11 + 5 = 665$ minutos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are $60$ minutes in an hour, so the total time is $60 \cdot 11 + 5 = 665$ minutes.

Thus, C is the correct answer.

2.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB=6$ y $AD=8.$ El punto $M$ es el punto medio de $\overline{AD}.$ ¿Cuál es el área del $\triangle AMC$ ?

In rectangle $ABCD,$ $AB=6$ and $AD=8.$ Point $M$ is the midpoint of $\overline{AD}.$ What is the area of $\triangle AMC?$

$12$

$15$

$18$

$20$

$24$

Respuesta: A

Conceptos:área del triángulo punto medio

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Como $M$ es el punto medio de $\overline{AD}$ , halla $AM$ .

Since $M$ is the midpoint of $\overline{AD}$ , find $AM$ .

Pista grande:

Usa $AM$ como base y el lado vertical del rectángulo como altura.

Use $AM$ as the base and the rectangle’s vertical side length as the height.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $M$ es el punto medio de $\overline{AD},$ la base $AM$ mide $4.$ La altura desde $C$ hasta $\overline{AM}$ mide $AB=6.$ Por lo tanto, el área es $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since $M$ is the midpoint of $\overline{AD},$ the base $AM$ has length $4.$ The altitude from $C$ to $\overline{AM}$ has length $AB=6.$ The area is therefore $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12.$

Thus, A is the correct answer.

3.

Cuatro estudiantes hacen un examen. Tres de sus puntajes son $70,$ $80,$ y $90.$ Si el promedio de sus cuatro puntajes es $70,$ ¿cuál es el puntaje restante?

Four students take an exam. Three of their scores are $70,$ $80,$ and $90.$ If the average of their four scores is $70,$ then what is the remaining score?

$40$

$50$

$55$

$60$

$70$

Respuesta: A

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Primero halla el puntaje total necesario para un promedio de $70$ .

First find the total score needed for an average of $70$ .

Pista grande:

Resta los tres puntajes conocidos del total necesario.

Subtract the three known scores from the needed total.

Solución en video:

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Solución escrita:

A partir del promedio, podemos calcular que la suma de los puntajes es $4 \cdot 70 = 280.$ Esto significa que el puntaje restante es $280 - 70 - 80 - 90 = 40.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

From the average, we can calculate the sum of the scores to be $4 \cdot 70 = 280.$ This means that the remaining score is $280 - 70 - 80 - 90 = 40.$

Thus, A is the correct answer.

4.

Cuando Cheenu era niño podía correr $15$ millas en $3$ horas y $30$ minutos. Ahora que es anciano puede caminar $10$ millas en $4$ horas. ¿Cuántos minutos más le toma caminar una milla ahora en comparación con cuando era niño?

When Cheenu was a boy he could run $15$ miles in $3$ hours and $30$ minutes. As an old man he can now walk $10$ miles in $4$ hours. How many minutes longer does it take for him to walk a mile now compared to when he was a boy?

$6$

$10$

$15$

$18$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Compara los dos ritmos en minutos por milla.

Compare the two paces in minutes per mile.

Pista grande:

Convierte $3$ horas $30$ minutos a minutos antes de dividir entre $15$ .

Convert $3$ hours $30$ minutes to minutes before dividing by $15$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Para comparar mejor los ritmos, podemos convertir su velocidad a minutos por milla.

De niño corría $15$ millas en $3 \cdot 60 + 30 = 210$ minutos, lo que significa que corría a un ritmo de $\frac{210}{15} = 14$ minutos por milla.

De adulto, puede caminar $10$ millas en $4 \cdot 60 = 240$ minutos, lo que significa que camina a un ritmo de $\frac{240}{10} = 24$ minutos por milla.

Restando los dos, obtenemos que le toma $10$ minutos más caminar una milla de adulto.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

To better compare the rates, we can change his speed into minutes per mile.

As a boy he ran $15$ miles in $3 \cdot 60 + 30 = 210$ minutes, which means that he ran at a pace of $\frac{210}{15} = 14$ minutes per mile.

As an adult, he can walk $10$ miles in $4 \cdot 60 = 240$ minutes, which means he walks at a pace of $\frac{240}{10} = 24$ minutes per mile.

Subtracting the two, we get that he takes $10$ more minutes to walk a mile as an adult.

Thus, B is the correct answer.

5.

El número $N$ es un número de dos dígitos con las siguientes propiedades:

La primera condición dice que al dividir $N$ entre $9,$ el residuo es $1.$ La segunda dice que al dividir $N$ entre $10,$ el residuo es $3.$

¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $11$ ?

The number $N$ is a two-digit number with the following properties:

When $N$ is divided by $9,$ the remainder is $1.$
When $N$ is divided by $10,$ the remainder is $3.$

What is the remainder when $N$ is divided by $11?$

$0$

$2$

$4$

$5$

$7$

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

El residuo al dividir entre $10$ te dice la cifra de las unidades de $N$ .

The remainder when divided by $10$ tells you the units digit of $N$ .

Pista grande:

Enumera los números de dos dígitos que terminan en $3$ y prueba la condición módulo $9$ .

List the two-digit numbers ending in $3$ and test the condition modulo $9$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

La segunda condición indica que $N$ termina en $3$ , así que las posibilidades son $13,$ $23,$ $33,$ $43,$ $53,$ $63,$ $73,$ $83,$ y $93.$ De ellas, solo $73$ deja residuo $1$ al dividirse entre $9$ , pues la suma de sus dígitos es $10$ . Finalmente, $73=6\cdot11+7$ , de modo que el residuo pedido es $7$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The second condition says that $N$ ends in $3$ , so the possibilities are $13,$ $23,$ $33,$ $43,$ $53,$ $63,$ $73,$ $83,$ $93.$ Of these, only $73$ leaves remainder $1$ when divided by $9$ , because its digit sum is $10$ . Finally, $73=6\cdot11+7$ , so the requested remainder is $7$ .

Thus, E is the correct answer.

6.

La siguiente gráfica de barras representa la longitud (en letras) de los nombres de $19$ personas. ¿Cuál es la longitud mediana de estos nombres?

The following bar graph represents the length (in letters) of the names of $19$ people. What is the median length of these names?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: B

Conceptos:mediana (datos)interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Con $19$ nombres, la mediana es el $10$ o valor después de ordenarlos.

With $19$ names, the median is the $10$ th value after sorting.

Pista grande:

Cuenta las frecuencias acumuladas desde los nombres más cortos hacia arriba.

Count cumulative frequencies from the shortest names upward.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como hay $19$ personas, cada una con una longitud de nombre correspondiente, la longitud central será la décima. Contando desde la izquierda, el décimo valor al que llegamos es $4.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since there are $19$ people, each with one corresponding name length, the middle length will be the tenth one. Counting from the left side, the tenth value that we arrive upon is $4.$

Thus, B is the correct answer.

7.

¿Cuál de los siguientes números no es un cuadrado perfecto?

Which of the following numbers is not a perfect square?

$1^{2016}$

$2^{2017}$

$3^{2018}$

$4^{2019}$

$5^{2020}$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrado perfecto exponente

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Los exponentes pares producen automáticamente cuadrados perfectos.

Even exponents automatically make perfect squares.

Pista grande:

Recuerda también que una base que es un cuadrado perfecto elevada a cualquier potencia entera positiva sigue siendo un cuadrado.

Also remember that a perfect-square base raised to any positive integer power stays a square.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como cualquier número con exponente par es un cuadrado perfecto, podemos eliminar A, C y E. Además, un número cuadrado elevado a cualquier potencia sigue siendo un número cuadrado, lo que descarta D.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since any number with an even exponent is a perfect square, we can eliminate A, C, and E. Also, a square number to any power remains a square number, so that rules out D.

Thus, B is the correct answer.

8.

Halla el valor de la expresión $\begin{gathered} 100 - 98 + 96 - 94 + 92 - 90 \\ {}+ \cdots + 8 - 6 + 4 - 2. \end{gathered}$

Find the value of the expression $\begin{gathered} 100 - 98 + 96 - 94 + 92 - 90 \\ {}+ \cdots + 8 - 6 + 4 - 2. \end{gathered}$

$20$

$40$

$50$

$80$

$100$

Respuesta: C

Conceptos:emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Agrupa la expresión en pares de términos consecutivos.

Group the expression into pairs of consecutive terms.

Pista grande:

Cuenta cuántos pares de la forma $n-(n-2)$ aparecen.

Count how many pairs of the form $n-(n-2)$ appear.

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos agrupar la suma de la siguiente manera: $\begin{gathered} (100 - 98) + (96 - 94) \\ {}+ \cdots + (4 - 2). \end{gathered}$ Cada par vale $2$ y hay $25$ pares. Por lo tanto, la suma total es $2 \cdot 25 = 50.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can group the sum as follows: $\begin{gathered} (100 - 98) + (96 - 94) \\ {}+ \cdots + (4 - 2). \end{gathered}$ Note that each pair evaluates to $2$ and there are $25$ pairs. Therefore, the total sum is $2 \cdot 25 = 50.$

Thus, C is the correct answer.

9.

¿Cuál es la suma de los distintos divisores primos enteros de $2016$ ?

What is the sum of the distinct prime integer divisors of $2016?$

$9$

$12$

$16$

$49$

$63$

Respuesta: B

Conceptos:factorización en primos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Factoriza $2016$ en primos.

Factor $2016$ into primes.

Pista grande:

La palabra “distintos” significa contar cada divisor primo solo una vez.

The word “distinct” means to count each prime divisor only once.

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos factorizar $2016$ en primos como $2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.$ Esto muestra que los divisores primos de $2016$ son $2,$ $3,$ y $7.$ La suma de estos es $12,$ así que B es la respuesta correcta.

We can prime factorize $2016$ as $2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.$ This shows that the prime divisors of $2016$ are $2,$ $3,$ and $7.$ The sum of these is $12,$ so B is the correct answer.

10.

Supón que $a \ast b$ significa $3a - b.$ ¿Cuál es el valor de $x$ si $2 \ast (5 \ast x) = 1?$

Suppose that $a \ast b$ means $3a - b.$ What is the value of $x$ if $2 \ast (5 \ast x) = 1?$

$\dfrac{1}{10}$

$2$

$\dfrac{10}{3}$

$10$

$14$

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Empieza por simplificar la operación interior $5\ast x$ .

Start by simplifying the inner operation $5\ast x$ .

Pista grande:

Aplica la definición $a\ast b=3a-b$ dos veces, de adentro hacia afuera.

Apply the definition $a\ast b=3a-b$ twice, from the inside out.

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, $5\ast x=15-x$ . Al aplicar de nuevo la operación se obtiene $\begin{aligned} 2\ast(15-x)&=6-(15-x)\\ &=x-9. \end{aligned}$ Por lo tanto, $x-9=1$ , y así $x=10$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

First, $5\ast x=15-x$ . Applying the operation again gives $\begin{aligned} 2\ast(15-x)&=6-(15-x)\\ &=x-9. \end{aligned}$ Thus $x-9=1$ , so $x=10$ .

Thus, D is the correct answer.

11.

Determina cuántos números de dos dígitos satisfacen la siguiente propiedad:

Cuando el número se suma al número obtenido invirtiendo sus dígitos, la suma es $132.$

Determine how many two-digit numbers satisfy the following property:

When the number is added to the number obtained by reversing its digits, the sum is $132.$

$5$

$7$

$9$

$11$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos valor posicional

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Escribe el número de dos dígitos como $10a+b$ .

Write the two-digit number as $10a+b$ .

Pista grande:

Al sumar el número invertido se obtiene $11(a+b)$ .

Adding the reversed number gives $11(a+b)$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $a$ la cifra de las decenas y $b$ la cifra de las unidades. Al sumar el número y el que se obtiene invirtiendo sus cifras, $\begin{aligned} (10a+b)+(10b+a)&=132\\ 11(a+b)&=132, \end{aligned}$ así que $a+b=12$ . Los pares de cifras válidos son $(3,9),$ $(4,8),$ $(5,7),$ $(6,6),$ $(7,5),$ $(8,4),$ y $(9,3),$ que producen $7$ números.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $a$ be the tens digit and $b$ the units digit. Adding the number and its reversal gives $\begin{aligned} (10a+b)+(10b+a)&=132\\ 11(a+b)&=132, \end{aligned}$ so $a+b=12$ . The valid digit pairs are $(3,9),$ $(4,8),$ $(5,7),$ $(6,6),$ $(7,5),$ $(8,4),$ $(9,3),$ giving $7$ numbers.

Thus, B is the correct answer.

12.

La escuela secundaria Jefferson tiene la misma cantidad de niños y niñas. Tres cuartas partes de las niñas y dos tercios de los niños fueron a una excursión. ¿Qué fracción de los estudiantes en la excursión eran niñas?

Jefferson Middle School has the same number of boys and girls. Three-fourths of the girls and two-thirds of the boys went on a field trip. What fraction of the students on the field trip were girls?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{17}$

$\dfrac{7}{13}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{14}{15}$

Respuesta: B

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Elige una cantidad igual y conveniente de niños y niñas.

Choose a convenient equal number of boys and girls.

Pista grande:

Usar $12$ niños y $12$ niñas hace que ambas fracciones sean números enteros.

Using $12$ boys and $12$ girls makes both fractions whole numbers.

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que hay $12$ niñas y $12$ niños. Entonces van a la excursión $9$ niñas y $8$ niños, de modo que la fracción de los estudiantes de la excursión que son niñas es $\dfrac{9}{9+8}=\dfrac9{17}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Suppose there are $12$ girls and $12$ boys. Then $9$ girls and $8$ boys go on the field trip, so the fraction of field-trip students who are girls is $\dfrac{9}{9+8}=\dfrac9{17}.$

Thus, B is the correct answer.

13.

Se seleccionan al azar dos números diferentes del conjunto $\{ - 2, -1, 0, 3, 4, 5\}$ y se multiplican entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea $0$ ?

Two different numbers are randomly selected from the set $\{ - 2, -1, 0, 3, 4, 5\}$ and multiplied together. What is the probability that the product is $0?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica conteo de pares

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Un producto es $0$ exactamente cuando uno de los números seleccionados es $0$ .

A product is $0$ exactly when one of the selected numbers is $0$ .

Pista grande:

Cuenta las selecciones que contienen $0$ entre todas las formas de elegir dos números diferentes.

Count selections containing $0$ out of all ways to choose two different numbers.

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $\binom62=15$ maneras de elegir dos números distintos. El producto es $0$ exactamente cuando uno de los números elegidos es $0$ , y hay $5$ opciones para el otro número. Por tanto, la probabilidad es $\dfrac5{15}=\dfrac13.$

Así, D es la respuesta correcta.

There are $\binom62=15$ ways to select two different numbers. A product is $0$ exactly when one selected number is $0$ , and there are $5$ choices for the other number. Thus the probability is $\dfrac5{15}=\dfrac13.$

Thus, D is the correct answer.

14.

El auto de Karl usa un galón de gasolina cada $35$ millas, y su tanque de gasolina contiene $14$ galones cuando está lleno.

Un día, Karl comenzó con el tanque lleno, condujo $350$ millas, compró $8$ galones de gasolina y continuó conduciendo hasta su destino. Cuando llegó, su tanque estaba a la mitad. ¿Cuántas millas condujo Karl ese día?

Karl’s car uses a gallon of gas every $35$ miles, and his gas tank holds $14$ gallons when it is full.

One day, Karl started with a full tank of gas, drove $350$ miles, bought $8$ gallons of gas, and continued driving to his destination. When he arrived, his gas tank was half full. How many miles did Karl drive that day?

$525$

$560$

$595$

$665$

$735$

Respuesta: A

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Al principio, sigue los galones de gasolina en lugar de las millas.

Track gallons of gas rather than miles at first.

Pista grande:

Después del recorrido de $350$ millas y la recarga, compara la nueva cantidad de gasolina con medio tanque.

After the $350$ -mile drive and the refill, compare the new amount of gas to half a tank.

Solución en video:

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Solución escrita:

Si Karl condujo $350$ millas, entonces usó $\frac{350}{35}$ galones de gasolina.

Cuando compró más gasolina, agregó $8$ galones a los $14 - 10 = 4$ galones restantes, alcanzando un total de $12$ galones.

Si su tanque estaba a la mitad cuando llegó, usó $12 - 7 = 5$ galones, lo que equivale a $5 \cdot 35 = 175$ millas.

Por lo tanto, recorrió una distancia total de $350+175=525$ millas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

If Karl drove $350$ miles, then he used $\frac{350}{35}$ gallons of gas.

When he bought more gas, he added $8$ gallons to $14 - 10 = 4$ gallons, attaining a total of $12$ gallons.

If his tank was half full when he arrived, he used $12 - 7 = 5$ gallons, which equates to $5 \cdot 35 = 175$ miles.

Therefore, he traveled a total distance of $350+175=525$ miles.

Thus, A is the correct answer.

15.

¿Cuál es la mayor potencia de $2$ que es divisor de $13^4 - 11^4$ ?

What is the largest power of $2$ that is a divisor of $13^4 - 11^4?$

$8$

$16$

$32$

$64$

$128$

Respuesta: C

Conceptos:diferencia de cuadrados potencia de 2

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Factoriza $13^4-11^4$ como una diferencia de cuadrados.

Factor $13^4-11^4$ as a difference of squares.

Pista grande:

Después de factorizar, cuenta solo las potencias de $2$ en el producto.

After factoring, count only the powers of $2$ in the product.

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos factorizar esta expresión usando la diferencia de cuadrados.

$\begin{aligned} 13^4-11^4 &=(13^2+11^2)\\ &\qquad\cdot(13^2-11^2)\\ &=290\cdot48\\ &=32\cdot435. \end{aligned}$

Como $435$ es impar, $32$ es la mayor potencia de $2$ que divide la expresión.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can factor this expression using difference of squares.

$\begin{aligned} 13^4-11^4 &=(13^2+11^2)\\ &\qquad\cdot(13^2-11^2)\\ &=290\cdot48\\ &=32\cdot435. \end{aligned}$

Because $435$ is odd, $32$ is the largest power of $2$ that divides the expression.

Thus, C is the correct answer.

16.

Annie y Bonnie están corriendo vueltas alrededor de una pista ovalada de $400$ metros. Comenzaron juntas, pero Annie se ha adelantado, porque corre $25\%$ más rápido que Bonnie. ¿Cuántas vueltas habrá corrido Annie cuando alcance a Bonnie por primera vez?

Annie and Bonnie are running laps around a $400$ -meter oval track. They started together, but Annie has pulled ahead, because she runs $25\%$ faster than Bonnie. How many laps will Annie have run when she first passes Bonnie?

$1\dfrac{1}{4}$

$3\dfrac{1}{3}$

$4$

$5$

$25$

Respuesta: D

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Un ritmo $25\%$ más rápido significa que Annie corre $\frac{5}{4}$ de lo que corre Bonnie en el mismo tiempo.

A $25\%$ faster pace means Annie runs $\frac{5}{4}$ as far as Bonnie in the same time.

Pista grande:

Annie alcanza a Bonnie por primera vez cuando ha ganado una vuelta completa.

Annie first passes Bonnie when she has gained one full lap.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como Annie es $25\%$ más rápida que Bonnie, por cada vuelta que Bonnie termina, Annie completa $1 \dfrac{1}{4}$ vueltas. Por lo tanto, Annie gana un cuarto de vuelta cada vez que Bonnie termina una vuelta.

Con esto en mente, para que Annie alcance por completo a Bonnie, Bonnie debe terminar $4$ vueltas, lo que significa que Annie terminó $5$ vueltas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since Annie is $25\%$ faster than Bonnie, for every lap Bonnie finishes, Annie completes $1 \dfrac{1}{4}$ laps. Therefore, Annie gains a quarter lap every time Bonnie finishes a lap.

With this in mind, for Annie to completely lap Bonnie, Bonnie must finish $4$ laps, which means that Annie finished $5$ laps.

Thus, D is the correct answer.

17.

Una contraseña de cajero automático en el banco de Fred está compuesta por cuatro dígitos del $0$ al $9,$ permitiéndose dígitos repetidos. Si ninguna contraseña puede comenzar con la secuencia $9,$ $1,$ $1,$ ¿cuántas contraseñas son posibles?

An ATM password at Fred’s Bank is composed of four digits from $0$ to $9,$ with repeated digits allowable. If no password may begin with the sequence $9,$ $1,$ $1,$ then how many passwords are possible?

$30$

$7290$

$9000$

$9990$

$9999$

Respuesta: D

Conceptos:principio de multiplicación conteo complementario

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Primero cuenta todas las contraseñas de cuatro dígitos cuando se permiten ceros iniciales.

First count all four-digit passwords when leading zeroes are allowed.

Pista grande:

Luego resta las contraseñas cuyos primeros tres dígitos están forzados a ser $9,$ $1,$ $1$ .

Then subtract the passwords whose first three digits are forced to be $9,$ $1,$ $1$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

El número total de contraseñas sin condiciones es $10^4.$ La condición elimina $10$ contraseñas posibles, ya que los primeros $3$ dígitos están determinados y el último puede ser cualquiera. Por lo tanto, el número de contraseñas aceptables es $10{,}000 - 10 = 9990.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The total number of passwords with no conditions is $10^4.$ The condition removes $10$ possible passwords since the first $3$ are determined, and the last one can be anything. Therefore, the number of acceptable passwords is $10{,}000 - 10 = 9990.$

Thus, D is the correct answer.

18.

En un encuentro de atletismo de toda la región, $216$ velocistas se inscriben en una competencia de $100$ metros planos. La pista tiene $6$ carriles, así que solo $6$ velocistas pueden competir a la vez. Al final de cada carrera, los cinco que no ganan quedan eliminados, y el ganador competirá de nuevo en una carrera posterior.

¿Cuántas carreras se necesitan para determinar al velocista campeón?

In an All-Area track meet, $216$ sprinters enter a $100$ -meter dash competition. The track has $6$ lanes, so only $6$ sprinters can compete at a time. At the end of each race, the five non-winners are eliminated, and the winner will compete again in a later race.

How many races are needed to determine the champion sprinter?

$36$

$42$

$43$

$60$

$72$

Respuesta: C

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Piensa en cuántos velocistas quedan eliminados en cada carrera.

Think about how many sprinters are eliminated in each race.

Pista grande:

Para dejar un solo campeón de entre $216$ velocistas, todos los velocistas menos uno deben ser eliminados.

To leave one champion from $216$ sprinters, all but one sprinter must be eliminated.

Solución en video:

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Solución escrita:

Observa que cada carrera elimina a $5$ personas. Para que quede un solo ganador, deben eliminarse $215$ personas. Por lo tanto, se requieren $\frac{215}{5} = 43$ carreras.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that each race eliminates $5$ people. For there to be a winner, $215$ must be eliminated. Therefore, $\frac{215}{5} = 43$ races are required to eliminate this number of people.

Thus, C is the correct answer.

19.

La suma de $25$ enteros pares consecutivos es $10{,}000.$ ¿Cuál es el mayor de estos $25$ enteros pares consecutivos?

The sum of $25$ consecutive even integers is $10{,}000.$ What is the largest of these $25$ consecutive even integers?

$360$

$388$

$412$

$416$

$424$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Para un número impar de términos consecutivos, el promedio es el término central.

For an odd number of consecutive terms, the average is the middle term.

Pista grande:

Hay $12$ enteros pares mayores que el término central.

There are $12$ even integers larger than the middle term.

Solución en video:

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Solución escrita:

El promedio de estos números es $\frac{10{,}000}{25} = 400.$ El número más grande está a $12$ números pares de distancia, lo que significa que es igual a $400 + 12 \cdot 2 = 424.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The average of these numbers is $\frac{10{,}000}{25} = 400.$ The largest number is $12$ even numbers away, which means that it equals $400 + 12 \cdot 2 = 424.$

Thus, E is the correct answer.

20.

El mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ es $12,$ y el mínimo común múltiplo de $b$ y $c$ es $15.$ ¿Cuál es el menor valor posible del mínimo común múltiplo de $a$ y $c$ ?

The least common multiple of $a$ and $b$ is $12,$ and the least common multiple of $b$ and $c$ is $15.$ What is the least possible value of the least common multiple of $a$ and $c?$

$20$

$30$

$60$

$120$

$180$

Respuesta: A

Conceptos:mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Como $b$ aparece en ambos mínimos comunes múltiplos, comienza con los posibles valores de $b$ .

Since $b$ appears in both least common multiples, start with possible values of $b$ .

Pista grande:

Intenta que $b$ absorba el factor común $3$ de $12$ y $15$ .

Try to make $b$ absorb the common factor $3$ from $12$ and $15$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Sabemos que $b$ debe dividir tanto a $12$ como a $15,$ así que debe ser igual a $1$ o $3.$

Si $b = 1,$ entonces $a = 12$ y $c = 15,$ haciendo que su mínimo común múltiplo sea $60.$ Si $b = 3,$ entonces podemos tomar $a = 4$ y $c = 5.$ El mínimo común múltiplo en este caso es $20.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know that $b$ has to divide both $12$ and $15,$ so it must equal either $1$ or $3.$

If $b = 1,$ then $a = 12$ and $c = 15,$ making their least common multiple $60.$ If $b = 3,$ then we may take $a = 4$ and $c = 5.$ The least common multiple in this scenario is $20.$

Thus, A is the correct answer.

21.

Una caja contiene $3$ fichas rojas y $2$ fichas verdes. Se extraen fichas al azar, una a la vez sin reemplazo, hasta que se extraen las $3$ rojas o hasta que se extraen ambas fichas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan las $3$ rojas?

A box contains $3$ red chips and $2$ green chips. Chips are drawn randomly, one at a time without replacement, until all $3$ of the reds are drawn or until both green chips are drawn. What is the probability that the $3$ reds are drawn?

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

El resultado que detiene el proceso está determinado por qué color aparece de último en el orden completo de las fichas.

The stopping result is determined by which color appears last in the full ordering of the chips.

Pista grande:

Cuenta las posiciones igualmente probables para las dos fichas verdes entre las cinco posiciones totales de fichas.

Count equally likely positions for the two green chips among the five total chip positions.

Solución en video:

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Solución escrita:

Las $3$ rojas se extraen antes que ambas fichas verdes exactamente cuando una ficha verde es la última en el orden completo. Hay $10$ maneras igualmente probables de elegir las dos posiciones de las fichas verdes, y $4$ de ellas tienen una ficha verde en la última posición.

Por lo tanto, la probabilidad deseada es $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The $3$ reds are drawn before both green chips exactly when a green chip is the last chip in the full ordering. There are $10$ equally likely ways to choose the two positions of the green chips, and $4$ of them have a green chip in the last position.

Therefore, the desired probability is $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, B is the correct answer.

22.

El rectángulo $DEFA$ de abajo es un rectángulo $3 \times 4$ con $DC=CB=BA=1.$ El área de las “alas de murciélago” (área sombreada) es

Rectangle $DEFA$ below is a $3 \times 4$ rectangle with $DC=CB=BA=1.$ The area of the “bat wings” (shaded area) is

$2$

$2 \dfrac{1}{2}$

$3$

$3 \dfrac{1}{2}$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:semejanza área del triángulo

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Usa el punto de intersección de las dos diagonales que forman las alas de murciélago.

Use the intersection point of the two diagonals that form the bat wings.

Pista grande:

Los triángulos semejantes dan la altura del pequeño triángulo recortado en la parte superior.

Similar triangles give the height of the small triangle cut off at the top.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $I$ el punto medio de $\overline{AD}$ y $G$ el punto medio de $\overline{EF}.$ Sea también $H$ la intersección de $\overline{CF}$ y $\overline{BE}.$

El área de $\triangle BCE$ es $\dfrac12\cdot1\cdot4=2.$ Por simetría, $\triangle BCH$ y $\triangle EFH$ son semejantes. Como sus bases están en razón $1 : 3$ , sus alturas también. Por tanto, $3IH = HG,$ lo que implica $IH = 1.$

Así, $[\triangle BCH]=\dfrac12\cdot1\cdot1=\dfrac12.$ Luego $[\triangle ECH]=2-\dfrac12=\dfrac32.$ Como la figura es simétrica, el área total de las alas es $2\cdot\dfrac32=3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Define $I$ to be the midpoint of $\overline{AD}$ and $G$ to be the midpoint of $\overline{EF}.$ Also define $H$ to be the intersection of $\overline{CF}$ and $\overline{BE}.$

The area of $\triangle BCE$ is $\dfrac12\cdot1\cdot4=2.$ By symmetry, we can see that $\triangle BCH$ and $\triangle EFH$ are similar. Since their bases are in a $1 : 3$ ratio, so are their altitudes. This means that $3IH = HG,$ which implies that $IH = 1.$

Therefore, $[\triangle BCH]=\dfrac12\cdot1\cdot1=\dfrac12.$ It follows that $[\triangle ECH]=2-\dfrac12=\dfrac32.$ Since the figure is symmetric, the total area of the bat wings is $2\cdot\dfrac32=3.$

Thus, C is the correct answer.

23.

Dos círculos congruentes centrados en los puntos $A$ y $B$ pasan cada uno por el centro del otro círculo. La recta que contiene a $A$ y $B$ se prolonga para intersecar a los círculos en los puntos $C$ y $D.$

Los círculos se intersecan en dos puntos, uno de los cuales es $E.$ ¿Cuál es la medida en grados del $\angle CED$ ?

Two congruent circles centered at points $A$ and $B$ each pass through the other circle’s center. The line containing both $A$ and $B$ is extended to intersect the circles at points $C$ and $D.$

The circles intersect at two points, one of which is $E.$ What is the degree measure of $\angle CED?$

$90$

$105$

$120$

$135$

$150$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero ángulo inscrito persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Los centros y uno de los puntos de intersección forman un triángulo equilátero.

The centers and one intersection point form an equilateral triangle.

Pista grande:

Usa el hecho de que los ángulos que subtienden diámetros son ángulos rectos.

Use the fact that angles subtending diameters are right angles.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sabemos que $AE = EB = AB$ porque todos son radios de círculos congruentes, así que los tres puntos forman un triángulo equilátero y $\angle AEB = 60^{\circ}.$

Además, como $\overline{DB}$ y $\overline{AC}$ son diámetros, $\angle DEB=\angle AEC=90^\circ.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \angle CED &= \angle DEB+\angle AEC\\ &\qquad-\angle AEB\\ &=90^\circ+90^\circ-60^\circ\\ &=120^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We know that $AE = EB = AB$ since they are all radii of congruent circles, so they form an equilateral triangle, which means that $\angle AEB = 60^{\circ}.$

The segments $\overline{DB}$ and $\overline{AC}$ are diameters, so $\angle DEB=\angle AEC=90^\circ.$ Therefore, $\begin{aligned} \angle CED &= \angle DEB+\angle AEC\\ &\qquad-\angle AEB\\ &=90^\circ+90^\circ-60^\circ\\ &=120^\circ. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

24.

Los dígitos $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ se usan cada uno una vez para escribir un número de cinco dígitos $PQRST.$ El número de tres dígitos $PQR$ es divisible entre $4,$ el número de tres dígitos $QRS$ es divisible entre $5,$ y el número de tres dígitos $RST$ es divisible entre $3.$ ¿Cuánto vale $P$ ?

The digits $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ are each used once to write a five-digit number $PQRST.$ The three-digit number $PQR$ is divisible by $4,$ the three-digit number $QRS$ is divisible by $5,$ and the three-digit number $RST$ is divisible by $3.$ What is $P?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

La condición de divisibilidad entre $5$ determina $S$ .

The divisibility by $5$ condition determines $S$ .

Pista grande:

Una vez conocido $S$ , enumera las posibles terminaciones de dos dígitos $QR$ que hacen que $PQR$ sea divisible entre $4$ .

Once $S$ is known, list the possible two-digit endings $QR$ that make $PQR$ divisible by $4$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $QRS$ es divisible entre $5,$ sabemos que $S = 5.$

Como $PQR$ es divisible entre $4,$ $QR$ es igual a $12,$ $24,$ o $32.$

Si $QR=12,$ entonces $R=2,$ así que $RST=25T$ no puede ser divisible entre $3$ usando los dígitos restantes. Si $QR=32,$ entonces $R=2$ de nuevo, dando el mismo obstáculo. Así, $QR=24,$ y entonces $RST=45T.$ Entre los dígitos restantes, solo $T=3$ hace que $453$ sea divisible entre $3$ .

Por lo tanto, $PQRST = 12453.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since $QRS$ is divisible by $5,$ we know that $S = 5.$

Since $PQR$ is divisible by $4,$ $QR$ equals either $12,$ $24,$ or $32.$

If $QR=12,$ then $R=2,$ so $RST=25T$ cannot be divisible by $3$ using the remaining digits. If $QR=32,$ then $R=2$ again, giving the same obstacle. Thus $QR=24,$ and then $RST=45T.$ Among the remaining digits, only $T=3$ makes $453$ divisible by $3$ .

Therefore, $PQRST = 12453.$

Thus, A is the correct answer.

25.

Un semicírculo está inscrito en un triángulo isósceles de base $16$ y altura $15$ de modo que el diámetro del semicírculo está contenido en la base del triángulo, como se muestra. ¿Cuál es el radio del semicírculo?

A semicircle is inscribed in an isosceles triangle with base $16$ and height $15$ so that the diameter of the semicircle is contained in the base of the triangle as shown. What is the radius of the semicircle?

$4 \sqrt{3}$

$\dfrac{120}{17}$

$10$

$\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Dibuja el radio hasta el punto donde el semicírculo toca un lado del triángulo.

Draw the radius to the point where the semicircle touches a side of the triangle.

Pista grande:

Compara el área de la mitad derecha del triángulo usando dos bases diferentes.

Compare the area of the right half of the triangle using two different bases.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $O$ el centro del círculo, que es el punto medio de $\overline{AB}.$

Por el teorema de Pitágoras, $BC = 17.$

El área de la mitad derecha del triángulo es $[\triangle BOC]=\dfrac12\cdot8\cdot15=60.$ El radio $OE$ es perpendicular al lado tangente $BC$ , así que la misma área también es $\dfrac12\cdot OE\cdot17.$ Por lo tanto, $OE=\dfrac{120}{17}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $O$ be the center of the circle, which is the midpoint of $\overline{AB}.$

We then get that $BC = 17$ via the Pythagorean theorem.

The right half of the isosceles triangle has area $[\triangle BOC]=\dfrac12\cdot8\cdot15=60.$ The radius $OE$ is perpendicular to the tangent side $BC$ , so the same area is $\dfrac12\cdot OE\cdot17.$ Hence $OE=\dfrac{120}{17}.$

Thus, B is the correct answer.

Problemas del 2016 AMC 8

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A