Question

En el triángulo $ABC,$ el punto $D$ divide el lado $\overline{AC}$ de modo que $AD:DC=1:2.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{BD}$ y sea $F$ el punto de intersección de la recta $BC$ y la recta $AE.$ Dado que el área de $\triangle ABC$ es $360,$ ¿cuál es el área de $\triangle EBF$ ?

In triangle $ABC,$ point $D$ divides side $\overline{AC}$ so that $AD:DC=1:2.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{BD}$ and let $F$ be the point of intersection of line $BC$ and line $AE.$ Given that the area of $\triangle ABC$ is $360,$ what is the area of $\triangle EBF?$

$24$

$30$

$32$

$36$

$40$

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $AD:DC=1:2,$ los triángulos $ABD$ y $DBC$ tienen áreas en la razón $1:2.$ Así, $[ABD]=120$ y $[DBC]=240.$

Como $E$ es el punto medio de $BD,$ los triángulos $ABE$ y $AED$ tienen cada uno área $60.$ Sea $x=[EBF].$ Entonces $[DEF]=x$ también, ya que $BE=ED$ y ambos triángulos tienen su tercer vértice sobre la recta $AF.$

El segmento $DF$ divide $\triangle DBC,$ así que $[DFC]=240-2x.$ Además, $\triangle ADF$ y $\triangle DFC$ tienen las bases $AD$ y $DC$ sobre la misma recta, por lo que sus áreas están en la razón $1:2.$

Por lo tanto $\dfrac{60+x}{240-2x}=\dfrac{1}{2}.$ Al resolver se obtiene $120+2x=240-2x,$ así que $x=30.$

Así, la respuesta correcta es B.

Since $AD:DC=1:2,$ triangles $ABD$ and $DBC$ have areas in the ratio $1:2.$ Thus $[ABD]=120$ and $[DBC]=240.$

Because $E$ is the midpoint of $BD,$ triangles $ABE$ and $AED$ each have area $60.$ Let $x=[EBF].$ Then $[DEF]=x$ as well, since $BE=ED$ and both triangles have their third vertex on line $AF.$

Segment $DF$ splits $\triangle DBC,$ so $[DFC]=240-2x.$ Also, $\triangle ADF$ and $\triangle DFC$ have bases $AD$ and $DC$ on the same line, so their areas are in the ratio $1:2.$

Therefore $\dfrac{60+x}{240-2x}=\dfrac{1}{2}.$ Solving gives $120+2x=240-2x,$ so $x=30.$

Thus, the correct answer is B.

2019 AMC 8 Problema 24

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Solución escrita:

El Problema 24 en otros años