Question

Alice tiene $24$ manzanas. ¿De cuántas maneras puede repartirlas con Becky y Chris de modo que cada una de las tres personas tenga al menos dos manzanas?

Alice has $24$ apples. In how many ways can she share them with Becky and Chris so that each of the three people has at least two apples?

$105$

$114$

$190$

$210$

$380$

Solución en video:

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Solución escrita:

Asignemos a todos $2$ manzanas. Esto nos deja con $24 - 3 \cdot 2 = 18$ manzanas.

Luego, queremos resolver $a + b + c = 18,$ donde $a, b, c$ son las manzanas adicionales dadas a Alice, Becky y Chris.

Nota que todas estas son no negativas, ya que la única condición que necesitábamos ya está satisfecha.

Podemos usar el método de estrellas y barras para obtener el número de soluciones como $\binom{18 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{20}{2} = 190.$

Así, la respuesta correcta es C.

Let us assign everybody $2$ apples. This leaves us with $24 - 3 \cdot 2 = 18$ apples.

Then, we want to solve $a + b + c = 18,$ where $a, b, c$ are the additional apples given to Alice, Becky, and Chris.

Note that these are all nonnegative, since we already satisfied the only condition we needed to.

We can use stars and bars to get the number of solutions as $\binom{18 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{20}{2} = 190.$

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 8 Problema 25

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 25 en otros años