Question

Un círculo con radio $1$ está inscrito en un cuadrado y circunscrito a otro cuadrado como se muestra. ¿Cuál fracción está más cerca de la razón del área sombreada del círculo al área sombreada entre los dos cuadrados?

A circle with radius $1$ is inscribed in a square and circumscribed about another square as shown. Which fraction is closest to the ratio of the circle's shaded area to the shaded area between the two squares?

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$\dfrac{5}{2}$

Solución:

El área sombreada del círculo es igual al área del círculo menos el área del cuadrado más pequeño. La longitud del lado del cuadrado interior se puede calcular usando el teorema de Pitágoras para obtener $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

Por lo tanto, el área del cuadrado interior es $\sqrt{2}^2 = 2.$ El área sombreada del círculo es entonces $1^2\pi - 2 = \pi - 2.$

El área del cuadrado exterior es $2^2 = 4,$ así que el área sombreada entre los dos cuadrados es $4 - 2 = 2.$

La fracción buscada es $\dfrac{\pi - 2}{2} \approx \dfrac{3.14 - 2}{2} \approx \dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The circle's shaded area is equal to the area of the circle minus the area of the smaller square. The side length of the inner square can be calculated using the Pythagorean Theorem to get $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

Therefore, the area of the inner square is $\sqrt{2}^2 = 2.$ The circle's shaded area is then $1^2\pi - 2 = \pi - 2.$

The area of the outside square is $2^2 = 4,$ so the shaded area between the two squares is $4 - 2 = 2.$

The desired fraction is $\dfrac{\pi - 2}{2} \approx \dfrac{3.14 - 2}{2} \approx \dfrac{1}{2}.$

Thus, A is the correct answer.

2011 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años