Question

Un tablero de ajedrez consiste en cuadrados de una pulgada. Una tarjeta cuadrada, de $1.5$ pulgadas por lado, se coloca sobre el tablero de modo que cubre parte o toda el área de cada uno de $n$ cuadrados. El máximo valor posible de $n$ es

A checkerboard consists of one-inch squares. A square card, $1.5$ inches on a side, is placed on the board so that it covers part or all of the area of each of $n$ squares. The maximum possible value of $n$ is

$4$ o $5$

$4$ or $5$

$6$ o $7$

$6$ or $7$

$8$ o $9$

$8$ or $9$

$10$ o $11$

$10$ or $11$

$12$ o más

$12$ or more

Solución:

Inclina la tarjeta $45^\circ$ y céntrala en una esquina donde se encuentran cuatro cuadrados de la cuadrícula, como se muestra. Como la diagonal de la tarjeta, $\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1,$ es más larga que $2,$ cada una de las cuatro esquinas de la tarjeta pasa una línea de la cuadrícula hacia el siguiente cuadrado.

La tarjeta cubre el bloque central de $2 \times 2$ de $4$ cuadrados y perfora $2$ cuadrados más en cada uno de sus cuatro lados, dando $4 + 4 \times 2 = 12$ cuadrados.

Este es también el máximo posible. La tarjeta mide solo $1.5$ pulgadas de ancho, así que su ancho y alto totales son cada uno a lo sumo $2.1$ pulgadas; por lo tanto se encuentra dentro de un bloque de $4 \times 4$ de $16$ cuadrados. Sus cuatro esquinas puntiagudas son las únicas partes que alcanzan el borde de ese bloque, así que nunca puede alcanzar los cuatro cuadrados de las esquinas del bloque, dejando a lo sumo $12.$ Como $12$ es alcanzable, el máximo es $12,$ que cae en el rango " $12$ o más".

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Tilt the card $45^\circ$ and center it on a corner where four grid squares meet, as shown. Because the card's diagonal, $\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1,$ is longer than $2,$ each of the four corners of the card reaches past a grid line into the next square.

The card covers the central $2 \times 2$ block of $4$ squares and pokes into $2$ more squares on each of its four sides, giving $4 + 4 \times 2 = 12$ squares.

This is also the most possible. The card is only $1.5$ inches wide, so its overall width and height are each at most $2.1$ inches; it therefore lies within a $4 \times 4$ block of $16$ squares. Its four pointed corners are the only parts that reach the edge of that block, so it can never reach the four corner squares of the block, leaving at most $12.$ Since $12$ is achievable, the maximum is $12,$ which falls in the range " $12$ or more."

Thus, the correct answer is E .

1993 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años