Question

Dos cuadrados de $4 \times 4$ se intersecan en ángulo recto, bisecando sus lados que se intersecan, como se muestra. El diámetro del círculo es el segmento entre los dos puntos de intersección. ¿Cuál es el área de la región sombreada que se crea al quitar el círculo de los cuadrados?

Two $4 \times 4$ squares intersect at right angles, bisecting their intersecting sides, as shown. The circle's diameter is the segment between the two points of intersection. What is the area of the shaded region created by removing the circle from the squares?

$16-4\pi$

$16-2\pi$

$28-4\pi$

$28-2\pi$

$32-2\pi$

Solución:

Los dos cuadrados de $4\times4$ tienen área total $32$ , pero su solapamiento es un cuadrado de $2\times2$ con área $4$ . Así, el área cubierta por la unión de los dos cuadrados es $32-4=28$ .

El diámetro del círculo es la diagonal de ese cuadrado de solapamiento de $2\times2$ , así que el diámetro es $2\sqrt2$ y el radio es $\sqrt2$ .

El área del círculo es $\pi(\sqrt2)^2=2\pi$ , así que el área sombreada es $28-2\pi$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The two $4\times4$ squares have total area $32$ , but their overlap is a $2\times2$ square with area $4$ . Thus the area covered by the union of the two squares is $32-4=28$ .

The circle’s diameter is the diagonal of that $2\times2$ overlap square, so the diameter is $2\sqrt2$ and the radius is $\sqrt2$ .

The circle area is $\pi(\sqrt2)^2=2\pi$ , so the shaded area is $28-2\pi$ .

Thus, D is the correct answer.

2004 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años