Question

Un cuadrado con longitud de lado $2$ y un círculo comparten el mismo centro. El área total de las regiones que están dentro del círculo y fuera del cuadrado es igual al área total de las regiones que están fuera del círculo y dentro del cuadrado. ¿Cuál es el radio del círculo?

A square with side length $2$ and a circle share the same center. The total area of the regions that are inside the circle and outside the square is equal to the total area of the regions that are outside the circle and inside the square. What is the radius of the circle?

$\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$

$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{3}$

$\sqrt{\pi}$

Solución:

Sea $S$ el área común dentro tanto del cuadrado como del círculo. El problema dice que el área solo del círculo es igual al área solo del cuadrado.

Sumar $S$ a ambas áreas iguales muestra que el área total del círculo es igual al área total del cuadrado.

El área del cuadrado es $2^2=4$ , así que $\pi r^2=4$ . Por lo tanto $r=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $S$ be the common area inside both the square and circle. The problem says the circle-only area equals the square-only area.

Adding $S$ to both equal areas shows that the total area of the circle equals the total area of the square.

The square area is $2^2=4$ , so $\pi r^2=4$ . Hence $r=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ .

Thus, A is the correct answer.

2005 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años