Question

Hay $24$ números enteros de cuatro cifras que usan cada uno de los cuatro dígitos $2, 4, 5,$ y $7$ exactamente una vez. Solo uno de estos números de cuatro cifras es múltiplo de otro. ¿Cuál de los siguientes es?

There are $24$ four-digit whole numbers that use each of the four digits $2, 4, 5,$ and $7$ exactly once. Only one of these four-digit numbers is a multiple of another one. Which of the following is it?

$5724$

$7245$

$7254$

$7425$

$7542$

Solución:

Un número en el rango de $4000$ , $5000$ o $7000$ no puede multiplicarse por $2$ o más y seguir siendo una de las permutaciones de cuatro cifras dadas. Así que el número menor debe empezar con $2$ , y el número mayor debe ser su doble o su triple.

Para los dobles, solo pueden funcionar las opciones que terminan en $4$ . Pero $5724/2=2862$ y $7254/2=3627$ , y ninguno usa exactamente los dígitos $2,4,5,7$ .

Para los triples, las posibles opciones son las divisibles entre $3$ : $7245,7425,7542$ . Al dividir se obtiene $2415,2475,2514$ , y solo $2475$ usa exactamente los dígitos requeridos.

Por lo tanto $7425=3\cdot2475$ es el único múltiplo listado.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

A number in the $4000$ , $5000$ , or $7000$ range cannot be multiplied by $2$ or more and remain one of the given four-digit permutations. So the smaller number must start with $2$ , and the larger number must be either double or triple it.

For doubles, only answer choices ending in $4$ can work. But $5724/2=2862$ and $7254/2=3627$ , neither of which uses exactly the digits $2,4,5,7$ .

For triples, the possible answer choices are those divisible by $3$ : $7245,7425,7542$ . Dividing gives $2415,2475,2514$ , and only $2475$ uses exactly the required digits.

Therefore $7425=3\cdot2475$ is the unique listed multiple.

Thus, D is the correct answer.

2001 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años