Soluciones del 2001 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La clase de taller de Casey está haciendo un trofeo de golf. Él tiene que pintar $300$ hoyuelos en una pelota de golf. Si le toma $2$ segundos pintar un hoyuelo, ¿cuántos minutos necesitará para terminar su trabajo?

Casey’s shop class is making a golf trophy. He has to paint $300$ dimples on a golf ball. If it takes him $2$ seconds to paint one dimple, how many minutes will he need to do his job?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Primero convierte el tiempo total de pintado a segundos

Convert the total painting time to seconds first

Pista grande:

Hay $60$ segundos en un minuto

There are $60$ seconds in one minute

Solución:

A Casey le tomará $2\cdot300=600$ segundos hacer el trabajo. Como $60$ segundos forman un minuto, esto son $600\div60=10$ minutos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

It will take Casey $2\cdot300=600$ seconds to do the job. Since $60$ seconds make one minute, this is $600\div60=10$ minutes.

Thus, D is the correct answer.

2.

Estoy pensando en dos números enteros. Su producto es $24$ y su suma es $11.$ ¿Cuál es el número mayor?

I’m thinking of two whole numbers. Their product is $24$ and their sum is $11.$ What is the larger number?

$3$

$4$

$6$

$8$

$12$

Conceptos:factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Enumera los pares de factores de $24$

List the factor pairs of $24$

Pista grande:

Encuentra el par cuya suma es $11$

Find the pair whose sum is $11$

Solución:

Los pares de factores de $24$ son $(1,24),$ $(2,12),$ $(3,8),$ y $(4,6)$ .

El único par con suma $11$ es $(3,8)$ , así que el número mayor es $8$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The factor pairs of $24$ are $(1,24),$ $(2,12),$ $(3,8),$ and $(4,6)$ .

The only pair with sum $11$ is $(3,8)$ , so the larger number is $8$ .

Thus, D is the correct answer.

3.

Granny Smith tiene $\$63.$ Elberta tiene $\$2$ más que Anjou y Anjou tiene un tercio de lo que tiene Granny Smith. ¿Cuántos dólares tiene Elberta?

Granny Smith has $\$63.$ Elberta has $\$2$ more than Anjou and Anjou has one-third as much as Granny Smith. How many dollars does Elberta have?

$17$

$18$

$19$

$21$

$23$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Encuentra un tercio del dinero de Granny Smith

Find one-third of Granny Smith’s money

Pista grande:

Elberta tiene $\$2$ más que Anjou

Elberta has $\$2$ more than Anjou

Solución:

Anjou tiene $\$63\div3=\$21$ . Elberta tiene $\$2$ más que Anjou, así que Elberta tiene $\$21+\$2=\$23$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Anjou has $\$63\div3=\$21$ . Elberta has $\$2$ more than Anjou, so Elberta has $\$21+\$2=\$23$ .

Thus, E is the correct answer.

4.

Los dígitos $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $9$ se usan cada uno una vez para formar el menor número de cinco cifras par posible. El dígito en la posición de las decenas es

The digits $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $9$ are each used once to form the smallest possible even five-digit number. The digit in the tens place is

$1$

$2$

$3$

$4$

$9$

Conceptos:valor posicional optimización

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

El número debe terminar en $2$ o $4$

The number must end in $2$ or $4$

Pista grande:

Haz que los dígitos anteriores sean lo más pequeños posible

Make the earlier digits as small as possible

Solución:

La cifra de las unidades debe ser $2$ o $4$ . Si es $2$ , al ordenar las cifras restantes para obtener el menor número posible se obtiene $13492$ . Si es $4$ , la menor disposición es $12394$ , que es menor. Por tanto, el menor número par es $12394$ , cuya cifra de las decenas es $9$ .

Así, E es la respuesta correcta.

The units digit must be $2$ or $4$ . If it is $2$ , arranging the remaining digits as small as possible gives $13492$ . If it is $4$ , the smallest arrangement is $12394$ , which is smaller. Therefore the smallest even number is $12394$ , whose tens digit is $9$ .

Thus, E is the correct answer.

5.

En una noche oscura y tormentosa, Snoopy vio de repente un relámpago. Diez segundos después escuchó el sonido del trueno. La velocidad del sonido es $1088$ pies por segundo y una milla es $5280$ pies. Estima, redondeando a la media milla más cercana, a qué distancia estaba Snoopy del relámpago.

On a dark and stormy night Snoopy suddenly saw a flash of lightning. Ten seconds later he heard the sound of thunder. The speed of sound is $1088$ feet per second and one mile is $5280$ feet. Estimate, to the nearest half-mile, how far Snoopy was from the flash of lightning.

$1$

$1\frac{1}{2}$

$2$

$2\frac{1}{2}$

$3$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo estimación conversión de unidades

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Usa distancia igual a velocidad por tiempo

Use distance equals rate times time

Pista grande:

Compara la distancia con $2$ millas

Compare the distance with $2$ miles

Solución:

En $10$ segundos, el trueno pudo recorrer $10 \cdot 1088 = 10880$ pies.

Observa que $2$ millas son aproximadamente $2 \cdot 5280 = 10560$ pies, lo cual es cercano a lo que encontramos arriba.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

In $10$ seconds, the thunder was able to travel $10 \cdot 1088 = 10880$ feet.

Note that $2$ miles is about $2 \cdot 5280 = 10560$ feet, which is close to what we found above.

Thus, C is the correct answer.

6.

Seis árboles están igualmente espaciados a lo largo de un lado de un camino recto. La distancia del primer árbol al cuarto es $60$ pies. ¿Cuál es la distancia en pies entre el primer y el último árbol?

Six trees are equally spaced along one side of a straight road. The distance from the first tree to the fourth is $60$ feet. What is the distance in feet between the first and last trees?

$90$

$100$

$105$

$120$

$140$

Conceptos:conteo de postes razón y proporción

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Del primer al cuarto árbol hay tres espacios iguales

The first to fourth trees contain three equal gaps

Pista grande:

Del primero al último árbol hay cinco espacios iguales

The first to last trees contain five equal gaps

Solución:

Hay $3$ espacios entre el primer y el cuarto árbol, lo que significa que un espacio mide $60 \div 3 = 20$ pies.

Hay $5$ espacios entre el primero y el último árbol. Esto significa que están separados $5 \cdot 20 = 100$ pies.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are $3$ gaps between the first and fourth trees, which means that one gap is $60 \div 3 = 20$ feet long.

There are $5$ gaps between the first and last trees. This means that they are $5 \cdot 20 = 100$ feet apart.

Thus, B is the correct answer.

7.

Los problemas $7,$ $8,$ y $9$ tratan sobre estas cometas.

Para promover las Olimpiadas de Cometas anuales de su escuela, Genevieve hace una cometa pequeña y una cometa grande para una exhibición en el tablero de anuncios. Las cometas se parecen a la del diagrama. Para su cometa pequeña, Genevieve dibuja la cometa en una cuadrícula de una pulgada. Para la cometa grande, triplica tanto la altura como el ancho de toda la cuadrícula.

¿Cuál es el número de pulgadas cuadradas del área de la cometa pequeña?

Problems $7,$ $8,$ and $9$ are about these kites.

To promote her school’s annual Kite Olympics, Genevieve makes a small kite and a large kite for a bulletin board display. The kites look like the one in the diagram. For her small kite Genevieve draws the kite on a one-inch grid. For the large kite she triples both the height and width of the entire grid.

What is the number of square inches in the area of the small kite?

$21$

$22$

$23$

$24$

$25$

Conceptos:cometa área diagonal

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Usa las diagonales de la cometa en la cuadrícula

Use the kite diagonals on the grid

Pista grande:

El área es la mitad del producto de las diagonales

The area is half the product of the diagonals

Solución:

Recuerda que el área de una cometa es el producto de sus diagonales dividido entre $2.$

Por lo tanto, el área de la cometa pequeña es $\dfrac{6 \cdot 7}{2} = \dfrac{42}{2} = 21.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Recall that the area of a kite is the product of its diagonals divided by $2.$

Therefore, the area of the small kite is $\dfrac{6 \cdot 7}{2} = \dfrac{42}{2} = 21.$

Thus, A is the correct answer.

8.

Genevieve coloca refuerzos en su cometa grande en forma de una cruz que conecta las esquinas opuestas de la cometa. ¿Cuántas pulgadas de material de refuerzo necesita?

Genevieve puts bracing on her large kite in the form of a cross connecting opposite corners of the kite. How many inches of bracing material does she need?

$30$

$32$

$35$

$38$

$39$

Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumen diagonal

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El refuerzo es la suma de las dos diagonales

The bracing is the sum of the two diagonals

Pista grande:

Triplicar la cuadrícula triplica las longitudes de ambas diagonales

Tripling the grid triples both diagonal lengths

Solución:

La diagonal larga mide $7$ unidades, y la corta mide $6$ unidades.

En la cometa grande, una unidad son $3$ pulgadas, así que la cantidad total de material de refuerzo necesaria es $3(7 + 6) = 3 \cdot 13 = 39.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The long diagonal is $7$ units, and the short one is $6$ units.

In the large kite, one unit is $3$ inches, so the total amount of bracing material needed is $3(7 + 6) = 3 \cdot 13 = 39.$

Thus, E is the correct answer.

9.

La cometa grande se cubre con lámina de oro. La lámina se corta de una pieza rectangular que cubre exactamente toda la cuadrícula. ¿Cuántas pulgadas cuadradas de material de desperdicio se cortan de las cuatro esquinas?

The large kite is covered with gold foil. The foil is cut from a rectangular piece that just covers the entire grid. How many square inches of waste material are cut off from the four corners?

$63$

$72$

$180$

$189$

$264$

Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumen área cometa

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Triplicar ambas dimensiones multiplica el área por $9$

Tripling both dimensions multiplies area by $9$

Pista grande:

El área de desperdicio es igual al área de la cometa grande

The waste area equals the large kite area

Solución:

El área de toda la cuadrícula sería $3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 6 = 378.$ Por la fórmula del área de una cometa, el área de la cometa es la mitad del área de la cuadrícula, así que el material desperdiciado es $378 \div 2 = 189.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The area of the entire grid would be $3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 6 = 378.$ The area of the kite is one-half this area from the formula for the area of the kite, so the wasted material is $378 \div 2 = 189.$

Thus, D is the correct answer.

10.

Un coleccionista ofrece comprar monedas de veinticinco centavos conmemorativas de los estados por el $2000\%$ de su valor nominal. A ese precio, ¿cuánto obtendrá Bryden por sus cuatro monedas conmemorativas de los estados?

A collector offers to buy state quarters for $2000\%$ of their face value. At that rate how much will Bryden get for his four state quarters?

$\$20$

$\$50$

$\$200$

$\$500$

$\$2000$

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Cuatro monedas de veinticinco centavos tienen un valor nominal de $\$1$

Four quarters have face value $\$1$

Pista grande:

$2000\%$ significa $20$ veces el valor nominal

$2000\%$ means $20$ times face value

Solución:

Cuatro monedas conmemorativas de los estados tienen un valor nominal de $\$1$ .

Como $2000\%=20$ , el coleccionista paga $20$ veces el valor nominal, es decir, $\$20$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Four state quarters have face value $\$1$ .

Since $2000\%=20$ , the collector pays $20$ times face value, or $\$20$ .

Thus, A is the correct answer.

11.

Los puntos $A,$ $B,$ $C$ y $D$ tienen estas coordenadas: $A(3,2),$ $B(3,-2),$ $C(-3,-2)$ y $D(-3,0).$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCD$ ?

Points $A,$ $B,$ $C$ and $D$ have these coordinates: $A(3,2),$ $B(3,-2),$ $C(-3,-2)$ and $D(-3,0).$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

Conceptos:geometría analítica trapecio área

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Considera $ABCD$ como un trapecio

View $ABCD$ as a trapezoid

Pista grande:

Los lados verticales paralelos tienen longitudes $4$ y $2$

The parallel vertical sides have lengths $4$ and $2$

Solución:

Podemos ver que $ABCD$ es un trapecio ya que $\overline{DC} \parallel \overline{AB}.$

Recuerda que la fórmula del área de un trapecio es $A = \dfrac{1}{2} (b_1 + b_2) h.$

Sustituyendo $b_1 = DC = 2,$ $b_2 = AB = 4,$ y $h = CB = 6,$ obtenemos $A = \dfrac{1}{2} (2 + 4) \cdot 6$ $= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can see that $ABCD$ is a trapezoid since $\overline{DC} \parallel \overline{AB}.$

Recall that the formula for the area of a trapezoid is $A = \dfrac{1}{2} (b_1 + b_2) h.$

Plugging in $b_1 = DC = 2,$ $b_2 = AB = 4,$ and $h = CB = 6,$ we get that $A = \dfrac{1}{2} (2 + 4) \cdot 6$ $= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18.$

Thus, C is the correct answer.

12.

Si $a \otimes b = \dfrac{a + b}{a - b},$ entonces $(6 \otimes 4) \otimes 3 =$

If $a \otimes b = \dfrac{a + b}{a - b},$ then $(6 \otimes 4) \otimes 3 =$

$4$

$13$

$15$

$30$

$72$

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Primero evalúa $6\otimes4$

Evaluate $6\otimes4$ first

Pista grande:

Luego usa el resultado como la primera entrada con $3$

Then use the result as the first input with $3$

Solución:

Podemos evaluarlo de la siguiente manera $\begin{align*} (6 \otimes 4) \otimes 3 &= \dfrac{6 + 4}{6 - 4} \otimes 3 \\ &= 5 \otimes 3 \\&= \dfrac{5 + 3}{5 - 3} \\&= 4. \end{align*}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We can evaluate it as follows $\begin{align*} (6 \otimes 4) \otimes 3 &= \dfrac{6 + 4}{6 - 4} \otimes 3 \\ &= 5 \otimes 3 \\&= \dfrac{5 + 3}{5 - 3} \\&= 4. \end{align*}$

Thus, A is the correct answer.

13.

De los $36$ estudiantes de la clase de Richelle, $12$ prefieren pastel de chocolate, $8$ prefieren de manzana y $6$ prefieren de arándano. La mitad de los estudiantes restantes prefieren pastel de cereza y la otra mitad prefieren de limón. Para la gráfica circular de Richelle que muestra estos datos, ¿cuántos grados debería usar para el pastel de cereza?

Of the $36$ students in Richelle’s class, $12$ prefer chocolate pie, $8$ prefer apple, and $6$ prefer blueberry. Half of the remaining students prefer cherry pie and half prefer lemon. For Richelle’s pie graph showing this data, how many degrees should she use for cherry pie?

$10$

$20$

$30$

$50$

$72$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas fracción

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Encuentra cuántos estudiantes quedan después de los primeros tres pasteles

Find how many students remain after the first three pies

Pista grande:

La cereza es la mitad del grupo restante

Cherry is half of the remaining group

Solución:

El número de estudiantes que prefieren pastel de cereza o de limón es $36 - 12 - 8 - 6 = 10.$ La mitad de estos prefieren pastel de cereza, es decir, $10 \div 2 = 5.$

Entonces el número de grados para el pastel de cereza sería $360^{\circ} \cdot \dfrac{5}{36} = 5 \cdot 10^{\circ} = 50^{\circ}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The number of students that prefer cherry or lemon pie is $36 - 12 - 8 - 6 = 10.$ Half of these like cherry pie, which is $10 \div 2 = 5.$

The number of degrees for cherry pie would then be $360^{\circ} \cdot \dfrac{5}{36} = 5 \cdot 10^{\circ} = 50^{\circ}.$

Thus, D is the correct answer.

14.

Tyler ha entrado en una fila de bufé en la que elige un tipo de carne, dos verduras diferentes y un postre. Si el orden de los alimentos no importa, ¿cuántas comidas diferentes podría elegir?

Carne: res, pollo, cerdo

Verduras: frijoles horneados, maíz, papas, tomates

Postre: brownies, pastel de chocolate, pudín de chocolate, helado

Tyler has entered a buffet line in which he chooses one kind of meat, two different vegetables and one dessert. If the order of food items is not important, how many different meals might he choose?

Meat: beef, chicken, pork

Vegetables: baked beans, corn, potatoes, tomatoes

Dessert: brownies, chocolate cake, chocolate pudding, ice cream

$4$

$24$

$72$

$80$

$144$

Conceptos:combinaciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Elige las dos verduras como un par sin orden

Choose the two vegetables as an unordered pair

Pista grande:

Multiplica las opciones de carne, los pares de verduras y las opciones de postre

Multiply meat choices, vegetable pairs, and dessert choices

Solución:

Tiene $3$ opciones para la carne y $4$ opciones para el postre.

Debe elegir $2$ de las $4$ verduras. Como el orden no importa, hay $\dfrac{4\cdot3}{2}=6$ opciones de verduras.

Esto da $3\cdot6\cdot4=72$ comidas posibles.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

He has $3$ choices for the meat and $4$ choices for dessert.

He must choose $2$ of the $4$ vegetables. Since order does not matter, there are $\dfrac{4\cdot3}{2}=6$ vegetable choices.

This gives $3\cdot6\cdot4=72$ possible meals.

Thus, C is the correct answer.

15.

Homer empezó a pelar una pila de $44$ papas a una velocidad de $3$ papas por minuto. Cuatro minutos después Christen se unió a él y peló a una velocidad de $5$ papas por minuto. Cuando terminaron, ¿cuántas papas había pelado Christen?

Homer began peeling a pile of $44$ potatoes at the rate of $3$ potatoes per minute. Four minutes later Christen joined him and peeled at the rate of $5$ potatoes per minute. When they finished, how many potatoes had Christen peeled?

$20$

$24$

$32$

$33$

$40$

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Encuentra cuántas papas quedan cuando Christen empieza

Find how many potatoes remain when Christen starts

Pista grande:

Después de eso, su velocidad combinada es de $8$ por minuto

After that, their combined rate is $8$ per minute

Solución:

Homer había pelado $3 \cdot 4 = 12$ papas para cuando Christen se le unió, dejando $44 - 12 = 32$ papas.

Juntos, Homer y Christen pelan $5 + 3 = 8$ papas por minuto, tomándoles $32 \div 8 = 4$ minutos pelar el resto.

En $4$ minutos, Christen peló $4 \cdot 5 = 20$ papas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Homer had peeled $3 \cdot 4 = 12$ potatoes by the time Christen joined him, leaving $44 - 12 = 32$ potatoes.

Together, Homer and Christen peel $5 + 3 = 8$ potatoes per minute, taking them $32 \div 8 = 4$ minutes to peel the rest.

In $4$ minutes, Christen peeled $4 \cdot 5 = 20$ potatoes.

Thus, A is the correct answer.

16.

Una hoja de papel cuadrada, de $4$ pulgadas por lado, se dobla por la mitad verticalmente. Luego ambas capas se cortan por la mitad de forma paralela al doblez. Se forman tres nuevos rectángulos, uno grande y dos pequeños. ¿Cuál es la razón entre el perímetro de uno de los rectángulos pequeños y el perímetro del rectángulo grande?

A square piece of paper, $4$ inches on a side, is folded in half vertically. Both layers are then cut in half parallel to the fold. Three new rectangles are formed, a large one and two small ones. What is the ratio of the perimeter of one of the small rectangles to the perimeter of the large rectangle?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{5}{6}$

Conceptos:plegado de papel perímetro

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Después de doblar, el papel es un rectángulo $4\times2$

After folding, the paper is a $4\times2$ rectangle

Pista grande:

Los rectángulos pequeños son $4\times1$

The small rectangles are $4\times1$

Solución:

El cuadrado se dobla por la mitad para crear un rectángulo $4\times2$ .

Cortar el papel doblado por la mitad de forma paralela al doblez da dos rectángulos pequeños $4\times1$ y un rectángulo grande $4\times2$ .

La razón entre el perímetro de un rectángulo pequeño y el perímetro del rectángulo grande es $\frac{2(4+1)}{2(4+2)}=\frac{10}{12}=\frac56.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The square is folded in half to create a $4\times2$ rectangle.

Cutting the folded paper in half parallel to the fold gives two small $4\times1$ rectangles and one large $4\times2$ rectangle.

The ratio of the perimeter of a small rectangle to the perimeter of the large rectangle is $\frac{2(4+1)}{2(4+2)}=\frac{10}{12}=\frac56.$

Thus, E is the correct answer.

17.

Para el concurso ¿Quién quiere ser millonario?, los valores en dólares de cada pregunta se muestran en la siguiente tabla (donde $\text{K}=1000$ ). $\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{\#} & 1 & 2 & 3 \\ \boldsymbol{\$} & 100 & 200 & 300 \end{array}$ $\begin{array}{cccccc} 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 500 & 1\text{K} & 2\text{K} & 4\text{K} & 8\text{K} \end{array}$ $\begin{array}{ccccc} 9 & 10 & 11 & 12 \\ 16\text{K} & 32\text{K} & 64\text{K} & 125\text{K} \end{array}$ $\begin{array}{ccc} 13 & 14 & 15 \\ 250\text{K} & 500\text{K} & 1000\text{K} \end{array}$ ¿Entre qué dos preguntas es menor el aumento porcentual del valor?

For the game show Who Wants To Be a Millionaire? the dollar values of each question are shown in the following table (where $\text{K}=1000$ ). $\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{\#} & 1 & 2 & 3 \\ \boldsymbol{\$} & 100 & 200 & 300 \end{array}$ $\begin{array}{cccccc} 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 500 & 1\text{K} & 2\text{K} & 4\text{K} & 8\text{K} \end{array}$ $\begin{array}{ccccc} 9 & 10 & 11 & 12 \\ 16\text{K} & 32\text{K} & 64\text{K} & 125\text{K} \end{array}$ $\begin{array}{ccc} 13 & 14 & 15 \\ 250\text{K} & 500\text{K} & 1000\text{K} \end{array}$ Between which two questions is the percent increase of the value the smallest?

De $1$ a $2$

From $1$ to $2$

De $2$ a $3$

From $2$ to $3$

De $3$ a $4$

From $3$ to $4$

De $11$ a $12$

From $11$ to $12$

De $14$ a $15$

From $14$ to $15$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

La mayoría de los aumentos listados son duplicaciones

Most listed increases are doublings

Pista grande:

Compara los pocos aumentos que no son exactamente $100\%$

Compare the few increases that are not exactly $100\%$

Solución:

La mayoría de los aumentos listados son duplicaciones, que son aumentos del $100\%$ .

Las excepciones entre las opciones de respuesta son de $2$ a $3$ , de $3$ a $4$ , y de $11$ a $12$ .

Estos aumentos porcentuales son $\dfrac{300-200}{200}=50\%$ , $\dfrac{500-300}{300}=66\dfrac23\%$ , y $\dfrac{125000-64000}{64000}$ , que es aproximadamente $95\%$ .

El menor es de la pregunta $2$ a la pregunta $3$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Most of the listed increases are doublings, which are $100\%$ increases.

The exceptions among the answer choices are from $2$ to $3$ , from $3$ to $4$ , and from $11$ to $12$ .

These percent increases are $\dfrac{300-200}{200}=50\%$ , $\dfrac{500-300}{300}=66\dfrac23\%$ , and $\dfrac{125000-64000}{64000}$ , which is about $95\%$ .

The smallest is from question $2$ to question $3$ .

Thus, B is the correct answer.

18.

Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los dos números sea un múltiplo de $5$ ?

Two dice are thrown. What is the probability that the product of the two numbers is a multiple of $5?$

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{11}{36}$

$\dfrac{1}{3}$

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad complementaria divisibilidad

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

El producto es un múltiplo de $5$ exactamente cuando un dado muestra $5$

The product is a multiple of $5$ exactly when a die shows $5$

Pista grande:

Es más fácil contar cuando ningún dado muestra $5$

It is easier to count no die showing $5$

Solución:

La única manera de que el producto sea un múltiplo de $5$ es que al menos uno de los lanzamientos sea $5.$

Podemos hacer conteo complementario. La probabilidad de que ninguno de los lanzamientos sea $5$ es $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}.$

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos un lanzamiento sea $5$ es $1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The only way for the product to be a multiple of $5$ is if at least one of the rolls is $5.$

We can do complementary counting. The probability that neither rolls is a $5$ is $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}.$

Therefore, the probability that at least one roll is a $5$ is $1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}.$

Thus, D is the correct answer.

19.

El auto $M$ viajó a velocidad constante durante un tiempo dado. Esto se muestra con la línea punteada. El auto $N$ viajó al doble de la velocidad por la misma distancia. Si la velocidad y el tiempo del auto $N$ se muestran como una línea sólida, ¿qué gráfica ilustra esto?

Car $M$ traveled at a constant speed for a given time. This is shown by the dashed line. Car $N$ traveled at twice the speed for the same distance. If Car $N$ ’s speed and time are shown as a solid line, which graph illustrates this?

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

El doble de velocidad significa la mitad del tiempo para la misma distancia

Twice the speed means half the time for the same distance

Pista grande:

La línea sólida debe ser más alta y más corta

The solid line should be higher and shorter

Solución:

El auto $N$ viaja al doble de la velocidad del auto $M,$ así que se representa con un punto que está el doble de alto en el eje de velocidad que el auto $M.$

Como el auto $N$ recorre la misma distancia que el auto $M$ pero a mayor velocidad, tarda la mitad del tiempo en completar el viaje.

Por lo tanto, la línea que representa la velocidad del auto $N$ tiene la mitad de la longitud de la línea que representa la velocidad del auto $M$ .

Ambas líneas son horizontales porque las velocidades son constantes. Al examinar las gráficas dadas, la única que cumple estas condiciones es la gráfica D.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Car $N$ travels at twice the speed of car $M,$ so it is represented by a point that is twice as high on the speed axis as car $M.$

Since car $N$ travels at the same distance as car $M$ but at a faster speed, it takes half the time to complete the trip.

Therefore, the line representing car $N$ ’s speed is half the length of the line representing car $M$ ’s speed.

Both lines are horizontal because the speeds are constant. Examining the given graphs, the only one that meets these conditions is graph D .

Thus, D is the correct answer.

20.

Kaleana muestra su puntaje del examen a Quay, Marty y Shana, pero los demás mantienen los suyos ocultos. Quay piensa: «Al menos dos de nosotros tenemos el mismo puntaje». Marty piensa: «Yo no obtuve el puntaje más bajo». Shana piensa: «Yo no obtuve el puntaje más alto». Ordena los puntajes de menor a mayor para Marty ( $\text{M}$ ), Quay ( $\text{Q}$ ) y Shana ( $\text{S}$ ).

Kaleana shows her test score to Quay, Marty and Shana, but the others keep theirs hidden. Quay thinks, “At least two of us have the same score.” Marty thinks, “I didn’t get the lowest score.” Shana thinks, “I didn’t get the highest score.” List the scores from lowest to highest for Marty ( $\text{M}$ ), Quay ( $\text{Q}$ ) and Shana ( $\text{S}$ ).

$\text{S,Q,M}$

$\text{Q,M,S}$

$\text{Q,S,M}$

$\text{M,S,Q}$

$\text{S,M,Q}$

Conceptos:deducción lógica desigualdad

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Quay solo ve el puntaje de Kaleana

Quay only sees Kaleana’s score

Pista grande:

Usa cada afirmación de puntaje oculto en relación con Kaleana

Use each hidden-score statement relative to Kaleana

Solución:

Como Quay solo conoce el puntaje de Kaleana, obtenemos que Quay y Kaleana tienen el mismo puntaje, así que $\text{K} = \text{Q}.$

Marty sabe que su puntaje es mayor que el de Kaleana, así que $\text{M} \gt \text{K}.$ Shana sabe que su puntaje es menor que el de Kaleana, así que $\text{S} \lt \text{K}.$

Sustituyendo $\text{Q}$ por $\text{K},$ obtenemos la siguiente desigualdad: $\text{S} \lt \text{Q} \lt \text{M}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since Quay only knows Kaleana’s score, we get that Quay and Kaleana have the same score, so $\text{K} = \text{Q}.$

Marty knows that his score is higher than Kaleana’s, so $\text{M} \gt \text{K}.$ Shana knows that her score is lower than Kaleana’s, so $\text{S} \lt \text{K}.$

Substituting $\text{Q}$ for $\text{K},$ we get the following inequality: $\text{S} \lt \text{Q} \lt \text{M}.$

Thus, A is the correct answer.

21.

La media de un conjunto de cinco enteros positivos diferentes es $15.$ La mediana es $18.$ El máximo valor posible del mayor de estos cinco enteros es

The mean of a set of five different positive integers is $15.$ The median is $18.$ The maximum possible value of the largest of these five integers is

$19$

$24$

$32$

$35$

$40$

Conceptos:media mediana (datos)optimización

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Los cinco números suman $75$

The five numbers sum to $75$

Pista grande:

Haz que los otros cuatro números sean lo más pequeños posible

Make the other four numbers as small as possible

Solución:

La mediana del conjunto de números es el tercer número más grande, que es $18.$ Hay dos números menores que $18$ y dos números mayores que él.

La media del conjunto es $15,$ así que la suma de todos los números es $5 \cdot 15 = 75.$ Para maximizar el número más grande con esta suma, los demás números deben ser lo más pequeños posible.

Los dos números menores que $18$ deben ser positivos y distintos, así que deben ser $1$ y $2.$

El número inmediatamente después de $18$ también debe ser lo más pequeño posible, así que debe ser $19.$

Por lo tanto, el número restante, el máximo valor posible del conjunto, es $75 - 1 - 2 - 18 - 19 = 35.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The median of the set of numbers is the third largest number, which is $18.$ There are two numbers less than $18$ and two numbers greater than it.

The mean of the set is $15,$ so the sum of all the numbers is $5 \cdot 15 = 75.$ In order to maximize the largest number with this sum, the other numbers must be as small as possible.

The two numbers less than $18$ must be positive and distinct, so they must be $1$ and $2.$

The number immediately after $18$ must also be as small as possible, so it must be $19.$

Therefore, the remaining number, the maximum possible value in the set, is $75 - 1 - 2 - 18 - 19 = 35.$

Thus, D is the correct answer.

22.

En un examen de veinte preguntas, cada respuesta correcta vale $5$ puntos, cada pregunta sin responder vale $1$ punto y cada respuesta incorrecta vale $0$ puntos. ¿Cuál de los siguientes puntajes NO es posible?

On a twenty-question test, each correct answer is worth $5$ points, each unanswered question is worth $1$ point and each incorrect answer is worth $0$ points. Which of the following scores is NOT possible?

$90$

$91$

$92$

$95$

$97$

Conceptos:análisis por casos

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Revisa los puntajes cercanos a $100$

Check scores near $100$

Pista grande:

Con $19$ respuestas correctas, solo dos puntajes son posibles

With $19$ correct answers, only two scores are possible

Solución:

Con $20$ respuestas correctas, el puntaje es $100$ .

Con $19$ respuestas correctas, el puntaje es $95$ o $96$ , dependiendo de si la pregunta restante es incorrecta o sin responder.

Con $18$ respuestas correctas, las dos preguntas restantes pueden aportar $0$ , $1$ o $2$ puntos, dando $90$ , $91$ o $92$ .

Así, los puntajes listados $90,91,92,95$ son posibles, mientras que $97$ no lo es.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

With $20$ correct answers, the score is $100$ .

With $19$ correct answers, the score is either $95$ or $96$ , depending on whether the remaining question is incorrect or unanswered.

With $18$ correct answers, the remaining two questions can contribute $0$ , $1$ , or $2$ points, giving $90$ , $91$ , or $92$ .

Thus the listed scores $90,91,92,95$ are possible, while $97$ is not.

Thus, E is the correct answer.

23.

Los puntos $R,$ $S$ y $T$ son vértices de un triángulo equilátero, y los puntos $X,$ $Y$ y $Z$ son puntos medios de sus lados. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden dibujar usando tres cualesquiera de estos seis puntos como vértices?

Points $R,$ $S$ and $T$ are vertices of an equilateral triangle, and points $X,$ $Y$ and $Z$ are midpoints of its sides. How many noncongruent triangles can be drawn using any three of these six points as vertices?

$1$

$2$

$3$

$4$

$20$

Conceptos:conteo de figuras en diagramas congruencia (geometría)simetría

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Clasifica los triángulos por longitudes de lados

Classify triangles by side lengths

Pista grande:

Usa la simetría para evitar contar de nuevo los casos congruentes

Use symmetry to avoid recounting congruent cases

Solución:

Usando la longitud del lado de los triángulos equiláteros pequeños como una unidad, los posibles patrones de longitudes de lados de triángulo son:

equilátero con lados $2,2,2$ ; equilátero con lados $1,1,1$ ; isósceles pequeño con lados $1,1,\sqrt3$ ; e isósceles más grande con lados $1,\sqrt3,2$ .

Estos cuatro patrones aparecen en la figura, y la simetría muestra que todo triángulo formado por tres de los seis puntos es congruente con uno de ellos.

En total, hay $4$ triángulos no congruentes.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Using the side length of the small equilateral triangles as one unit, the possible triangle side-length patterns are:

equilateral with sides $2,2,2$ ; equilateral with sides $1,1,1$ ; small isosceles with sides $1,1,\sqrt3$ ; and larger isosceles with sides $1,\sqrt3,2$ .

These four patterns all occur in the figure, and symmetry shows every triangle formed by three of the six points matches one of them.

Thus there are $4$ noncongruent triangles.

Thus, D is the correct answer.

24.

Cada mitad de esta figura está compuesta por $3$ triángulos rojos, $5$ triángulos azules y $8$ triángulos blancos. Cuando la mitad superior se dobla hacia abajo sobre la línea central, $2$ pares de triángulos rojos coinciden, al igual que $3$ pares de triángulos azules. Hay $2$ pares rojo-blanco. ¿Cuántos pares blancos coinciden?

Each half of this figure is composed of $3$ red triangles, $5$ blue triangles and $8$ white triangles. When the upper half is folded down over the centerline, $2$ pairs of red triangles coincide, as do $3$ pairs of blue triangles. There are $2$ red-white pairs. How many white pairs coincide?

$4$

$5$

$6$

$7$

$9$

Conceptos:plegado de papel análisis por casos

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Primero contabiliza todos los triángulos rojos

Account for all red triangles first

Pista grande:

Luego sigue cómo deben emparejarse los triángulos azules no emparejados

Then track how the unmatched blue triangles must pair

Solución:

Cada mitad tiene $3$ triángulos rojos, $5$ azules y $8$ blancos.

Los $2$ pares rojo-rojo usan $2$ triángulos rojos de cada mitad, así que el triángulo rojo restante de cada mitad se usa en los $2$ pares rojo-blanco. Así, todos los triángulos rojos quedan contabilizados.

Los $3$ pares azul-azul usan $3$ triángulos azules de cada mitad, dejando $2$ triángulos azules de cada mitad. Como no ocurren más pares azul-azul, esos $4$ triángulos azules deben emparejarse con triángulos blancos.

Así que en cada mitad, $1$ blanco se usa con rojo y $2$ blancos se usan con azul, dejando $8-3=5$ triángulos blancos para emparejar con triángulos blancos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Each half has $3$ red, $5$ blue, and $8$ white triangles.

The $2$ red-red pairs use $2$ red triangles from each half, so the remaining red triangle from each half is used in the $2$ red-white pairs. Thus all red triangles are accounted for.

The $3$ blue-blue pairs use $3$ blue triangles from each half, leaving $2$ blue triangles from each half. Since no more blue-blue pairs occur, those $4$ blue triangles must pair with white triangles.

So on each half, $1$ white is used with red and $2$ whites are used with blue, leaving $8-3=5$ white triangles to pair with white triangles.

Thus, B is the correct answer.

25.

Hay $24$ números enteros de cuatro cifras que usan cada uno de los cuatro dígitos $2,$ $4,$ $5,$ y $7$ exactamente una vez. Solo uno de estos números de cuatro cifras es múltiplo de otro. ¿Cuál de los siguientes es ese múltiplo?

There are $24$ four-digit whole numbers that use each of the four digits $2,$ $4,$ $5,$ and $7$ exactly once. Only one of these four-digit numbers is a multiple of another one. Which of the following is it?

$5724$

$7245$

$7254$

$7425$

$7542$

Conceptos:permutaciones divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Un múltiplo debe ser el doble o el triple de una permutación menor

A multiple must be twice or three times a smaller permutation

Pista grande:

Divide cada opción de respuesta entre $2$ o $3$ cuando sea posible

Divide each answer choice by $2$ or $3$ when possible

Solución:

Un número en el rango de $4000$ , $5000$ o $7000$ no puede multiplicarse por $2$ o más y seguir siendo una de las permutaciones de cuatro cifras dadas. Así que el número menor debe empezar con $2$ , y el número mayor debe ser su doble o su triple.

Para los dobles, solo pueden funcionar las opciones que terminan en $4$ . Pero $\frac{5724}{2}=2862$ y $\frac{7254}{2}=3627$ , y ninguno usa exactamente los dígitos $2,4,5,7$ .

Para los triples, las posibles opciones son las divisibles entre $3$ : $7245,7425,7542$ . Al dividir se obtiene $2415,2475,2514$ , y solo $2475$ usa exactamente los dígitos requeridos.

Por lo tanto $7425=3\cdot2475$ es el único múltiplo listado.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

A number in the $4000$ , $5000$ , or $7000$ range cannot be multiplied by $2$ or more and remain one of the given four-digit permutations. So the smaller number must start with $2$ , and the larger number must be either double or triple it.

For doubles, only answer choices ending in $4$ can work. But $\frac{5724}{2}=2862$ and $\frac{7254}{2}=3627$ , neither of which uses exactly the digits $2,4,5,7$ .

For triples, the possible answer choices are those divisible by $3$ : $7245,7425,7542$ . Dividing gives $2415,2475,2514$ , and only $2475$ uses exactly the required digits.

Therefore $7425=3\cdot2475$ is the unique listed multiple.

Thus, D is the correct answer.