Question

Barry escribió $6$ números diferentes, uno en cada lado de $3$ tarjetas, y colocó las tarjetas sobre una mesa, como se muestra. Las sumas de los dos números de cada una de las tres tarjetas son iguales. Los tres números de los lados ocultos son números primos. ¿Cuál es el promedio de los números primos ocultos?

Barry wrote $6$ different numbers, one on each side of $3$ cards, and laid the cards on a table, as shown. The sums of the two numbers on each of the three cards are equal. The three numbers on the hidden sides are prime numbers. What is the average of the hidden prime numbers?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Solución:

La suma común debe ser impar. Si la suma común fuera par, entonces los números ocultos detrás de $44$ y $38$ tendrían ambos que ser primos pares, pero solo hay un primo par.

Así, el primo oculto detrás del número visible impar $59$ debe ser $2$ , lo que hace que la suma común sea $59+2=61$ .

Los otros dos primos ocultos son $61-44=17$ y $61-38=23$ .

El promedio de los primos ocultos es $\dfrac{2+17+23}{3}=14$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The common sum must be odd. If the common sum were even, then the hidden numbers behind $44$ and $38$ would both have to be even primes, but there is only one even prime.

So the prime hidden behind the odd visible number $59$ must be $2$ , making the common sum $59+2=61$ .

The other two hidden primes are $61-44=17$ and $61-38=23$ .

The average of the hidden primes is $\dfrac{2+17+23}{3}=14$ .

Thus, B is the correct answer.

2006 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años