Question

Quince enteros $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\cdots,$ $a_{15}$ están ordenados en una recta numérica. Los enteros están igualmente espaciados y cumplen que

$1 \leq a_1 \leq 10,$

$13 \leq a_2 \leq 20,$

y

$241 \leq a_{15} \leq 250.$

¿Cuál es la suma de los dígitos de $a_{14}$ ?

Fifteen integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\cdots,$ $a_{15}$ are arranged in order on a number line. The integers are equally spaced and have the property that

$1 \leq a_1 \leq 10,$

$13 \leq a_2 \leq 20,$

and

$241 \leq a_{15} \leq 250.$

What is the sum of the digits of $a_{14}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética acotación a casos límite dígitos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sea $d$ la diferencia común

Let $d$ be the common difference

Pista grande:

Usa los límites más amplios posibles para $a_1$ y $a_{15}$ para forzar $d$

Use the widest possible bounds for $a_1$ and $a_{15}$ to force $d$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $d$ la diferencia común. Usando el mayor valor posible, $10$ , para $a_1$ y el menor valor posible, $241$ , para $a_{15},$ obtenemos $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Como todos los números son enteros, $d$ debe ser al menos $17.$

Usando el menor valor posible, $1$ , para $a_1$ y el mayor valor posible, $250$ , para $a_{15},$ obtenemos $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ Como todos los números son enteros, $d$ es a lo sumo $17.$ Por lo tanto, $d=17.$

Observa que $17 \cdot 14 = 238.$ Como $a_{15}$ es por lo menos $241,$ $a_1$ debe ser al menos $3.$

Por otro lado, si $a_1$ fuera mayor que $3,$ entonces $a_2=a_1+17$ sería mayor que $20,$ lo cual no está permitido.

Ahora sabemos que $a_1 = 3$ y $d = 17.$ Esto nos dice que $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Por lo tanto, la suma de los dígitos es $2 + 2 + 4 = 8.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $d$ be the common difference. Using the largest possible value $10$ for $a_1$ and the smallest possible value $241$ for $a_{15},$ we have $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Since all the numbers are integers, $d$ must be at least $17.$

Using the smallest possible value $1$ for $a_1$ and the largest possible value $250$ for $a_{15},$ we have $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ Since all the numbers are integers, $d$ is at most $17.$ Therefore, $d=17.$

Note that $17 \cdot 14 = 238.$ Since $a_{15}$ is at least $241,$ $a_1$ must be at least $3.$

On the other hand, if $a_1$ were greater than $3,$ then $a_2=a_1+17$ would be greater than $20,$ which is not allowed.

Now we know that $a_1 = 3$ and $d = 17.$ This tells us that $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Therefore, sum of the digits is $2 + 2 + 4 = 8.$

Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 25