Question

Quince enteros $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{15}$ están ordenados en una recta numérica. Los enteros están igualmente espaciados y tienen la propiedad de que $1 \leq a_1 \leq 10,$ $13 \leq a_2 \leq 20,$ y $241 \leq a_{15} \leq 250.$

¿Cuál es la suma de los dígitos de $a_{14}$ ?

Fifteen integers $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{15}$ are arranged in order on a number line. The integers are equally spaced and have the property that $1 \leq a_1 \leq 10,$ $13 \leq a_2 \leq 20,$ and $241 \leq a_{15} \leq 250.$

What is the sum of the digits of $a_{14}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $d$ la diferencia común. Si tomamos $a_1 = 10$ y $a_{15} = 241,$ vemos que $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Como todos los números son enteros, $d$ debe ser al menos $17.$

Además, si $a_1 = 1$ y $a_{15} = 250,$ obtenemos que $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ De nuevo, como todos los números son enteros, $d$ es a lo sumo $17.$ Esto nos dice que $d$ es $17.$

Observa que $17 \cdot 14 = 238.$ Esto significa que $a_1$ debe ser al menos $3$ para que $a_{15}$ esté dentro del rango deseado.

Sin embargo, si $a_1$ es mayor que $3,$ entonces $a_2$ se vuelve mayor que $20,$ lo cual no está permitido.

Ahora sabemos que $a_1 = 3$ y $d = 17.$ Esto nos dice que $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Por lo tanto, la suma de los dígitos es $2 + 2 + 4 = 8.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $d$ be the common difference. If we let $a_1 = 10$ and $a_{15} = 241,$ we see that $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Since all the numbers are integers, $d$ must be at least $17.$

Also, if $a_1 = 1$ and $a_{15} = 250,$ we get that $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ Once again since all the numbers are integers, $d$ is at most $17.$ This tells us that $d$ is $17.$

Note that $17 \cdot 14 = 238.$ This means that $a_1$ must be at least $3$ for $a_{15}$ to be within the desired range.

If $a_1$ is greater than $3,$ however, $a_2$ becomes greater than $20,$ which is not allowed.

Now we know that $a_1 = 3$ and $d = 17.$ This tell us that $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Therefore, sum of the digits is $2 + 2 + 4 = 8.$

Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 25

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 25 en otros años