Question

Un semicírculo está inscrito en un triángulo isósceles de base $16$ y altura $15$ de modo que el diámetro del semicírculo está contenido en la base del triángulo, como se muestra. ¿Cuál es el radio del semicírculo?

A semicircle is inscribed in an isosceles triangle with base $16$ and height $15$ so that the diameter of the semicircle is contained in the base of the triangle as shown. What is the radius of the semicircle?

$4 \sqrt{3}$

$\dfrac{120}{17}$

$10$

$\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $O$ el centro del círculo, que es el punto medio de $\overline{AB}.$

Entonces obtenemos que $BC = 17$ por el teorema de Pitágoras.

Además, también podemos calcular el área del $\triangle BOC$ como: $\begin{align*}\triangle BOC &= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \\&= 60.\end{align*}$ Como el área del $\triangle BOC=60=\dfrac{1}{2} OE \cdot CB$ podemos ver que $OE = \dfrac{120}{17}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $O$ be the center of the circle, which is the midpoint of $\overline{AB}.$

We then get that $BC = 17$ via the Pythagorean theorem.

In addition, we can also calculate the area of $\triangle BOC$ as: $\begin{align*}\triangle BOC &= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \\&= 60.\end{align*}$ As the area of $\triangle BOC=60=\dfrac{1}{2} OE \cdot CB$ we can see that $OE = \dfrac{120}{17}.$

Thus, B is the correct answer.

2016 AMC 8 Problema 25

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 25 en otros años