Question

En el tablero de dardos que se muestra en la figura de abajo, el círculo exterior tiene radio $6$ y el círculo interior tiene radio $3.$ Tres radios dividen cada círculo en tres regiones congruentes, con los valores de puntos indicados. La probabilidad de que un dardo golpee una región dada es proporcional al área de la región. Cuando dos dardos golpean este tablero, la puntuación es la suma de los valores de puntos de las regiones golpeadas. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea impar?

On the dart board shown in the figure below, the outer circle has radius $6$ and the inner circle has radius $3.$ Three radii divide each circle into three congruent regions, with point values shown. The probability that a dart will hit a given region is proportional to the area of the region. When two darts hit this board, the score is the sum of the point values of the regions hit. What is the probability that the score is odd?

$\dfrac{17}{36}$

$\dfrac{35}{72}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{37}{72}$

$\dfrac{19}{36}$

Solución:

El área del círculo exterior es $6^2\pi = 36\pi,$ y el área del círculo interior es $3^2\pi = 9\pi.$ Por lo tanto, el área del anillo exterior es $36\pi - 9\pi = 27\pi.$

Esto significa que la probabilidad de golpear un segmento exterior es $\dfrac{9\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{4}.$ De manera similar, la probabilidad de golpear un segmento interior es $\dfrac{3\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{12}.$

Sumando sobre todas las posibilidades, la probabilidad de golpear un $1$ es $\dfrac{1}{12} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}.$ De manera similar, la probabilidad de golpear un $2$ es $2 \cdot \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}.$

La única manera de obtener una puntuación impar es golpear un $1$ y un $2.$

La probabilidad de golpear estos números en cualquier orden es $2 \cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{35}{72}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The area of the outer circle is $6^2\pi = 36\pi,$ and the area of the inner circle is $3^2\pi = 9\pi.$ Therefore, the area of the outer ring is $36\pi - 9\pi = 27\pi.$

This means that the probability of hitting an outer segment is $\dfrac{9\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{4}.$ Similarly, the probability of hitting an inner segment is $\dfrac{3\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{12}.$

Summing over all possibilities, the probability of hitting a $1$ is $\dfrac{1}{12} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}.$ Similarly, the probability of hitting a $2$ is $2 \cdot \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}.$

The only way to get an odd score is to hit one $1$ and one $2.$

The probability of hitting these numbers in either order is $2 \cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{35}{72}.$

Thus, B is the correct answer.

2007 AMC 8 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años