2007 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

Los padres de Theresa han aceptado comprarle boletos para ver a su banda favorita si dedica un promedio de $10$ horas por semana a ayudar en casa durante $6$ semanas. Durante las primeras $5$ semanas ayuda en casa $8,$ $11,$ $7,$ $12$ y $10$ horas. ¿Cuántas horas debe trabajar la última semana para ganarse los boletos?

Theresa's parents have agreed to buy her tickets to see her favorite band if she spends an average of $10$ hours per week helping around the house for $6$ weeks. For the first $5$ weeks she helps around the house for $8,$ $11,$ $7,$ $12$ and $10$ hours. How many hours must she work for the final week to earn the tickets?

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Respuesta: D

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Durante las primeras $5$ semanas, Theresa trabaja un total de $8+11+7+12+10=48$ horas.

Prometió trabajar $10\cdot 6=60$ horas en total.

Esto significa que debe trabajar $60-48=12$ horas la última semana para ganarse los boletos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

During the first $5$ weeks, Theresa works for a total of $8+11+7+12+10=48$ hours.

She promised to work $10\cdot 6=60$ hours in all.

This means that she has to work $60-48=12$ hours during the final week to earn the tickets.

Thus, D is the correct answer.

2.

Se encuestó a $650$ estudiantes sobre sus preferencias de pasta. Las opciones eran lasaña, manicotti, ravioli y espagueti. Los resultados de la encuesta se muestran en el gráfico de barras. ¿Cuál es la razón entre el número de estudiantes que prefirieron el espagueti y el número de estudiantes que prefirieron el manicotti?

$650$ students were surveyed about their pasta preferences. The choices were lasagna, manicotti, ravioli and spaghetti. The results of the survey are displayed in the bar graph. What is the ratio of the number of students who preferred spaghetti to the number of students who preferred manicotti?

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{5}{2}$

Respuesta: E

Conceptos:interpretación de datos y gráficas razón y proporción

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Hay $250$ estudiantes que prefirieron el espagueti y $100$ que prefirieron el manicotti.

Entonces, la razón es $\dfrac{250}{100} = \dfrac{5}{2}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

There are $250$ students who preferred spaghetti and $100$ that preferred manicotti.

The ratio is therefore $\dfrac{250}{100} = \dfrac{5}{2}.$

Thus, E is the correct answer.

3.

¿Cuál es la suma de los dos factores primos más pequeños de $250$ ?

What is the sum of the two smallest prime factors of $250?$

$2$

$5$

$7$

$10$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:factorización en primos

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Podemos factorizar $250$ en primos para obtener $250 = 2 \cdot 5^3.$ De aquí, vemos que $250$ solo tiene dos factores primos: $2$ y $5.$ La suma de estos es $7.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can prime factorize $250$ to get $250 = 2 \cdot 5^3.$ From this, we can see that $250$ only has two prime factors: $2$ and $5.$ The sum of these is $7.$

Thus, C is the correct answer.

4.

Una casa embrujada tiene seis ventanas. ¿De cuántas maneras puede Georgie el Fantasma entrar en la casa por una ventana y salir por una ventana diferente?

A haunted house has six windows. In how many ways can Georgie the Ghost enter the house by one window and leave by a different window?

$12$

$15$

$18$

$30$

$36$

Respuesta: D

Conceptos:principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Georgie tiene $6$ opciones para la ventana por la que entra. Sin embargo, solo tiene $5$ opciones para la salida, ya que debe ser diferente de la entrada.

Así, el número total de caminos es $6 \cdot 5 = 30.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Georgie has $6$ options for which window he enters through. He, however, only has $5$ options for the exit since it must be different from the entrance.

The total number of paths is therefore $6 \cdot 5 = 30.$

Thus, D is the correct answer.

5.

Chandler quiere comprar una bicicleta de montaña de $\$500$ . Por su cumpleaños, sus abuelos le envían $\$50$ , su tía le envía $\$35$ y su primo le da $\$15$ . Gana $\$16$ por semana con su reparto de periódicos. Usará todo su dinero de cumpleaños y todo el dinero que gane con su reparto de periódicos. ¿En cuántas semanas podrá comprar la bicicleta de montaña?

Chandler wants to buy a $\$500$ mountain bike. For his birthday, his grandparents send him $\$50$ , his aunt sends him $\$35$ and his cousin gives him $\$15$ . He earns $\$16$ per week for his paper route. He will use all of his birthday money and all of the money he earns from his paper route. In how many weeks will he be able to buy the mountain bike?

$24$

$25$

$26$

$27$

$28$

Respuesta: B

Conceptos:dinero

Nivel de dificultad: 770

Solución:

El total de dinero de cumpleaños que recibe Chandler es $50+35+15=100$ dólares. Por lo tanto, todavía necesita $500-100=400$ dólares.

Esto se puede ganar en $400\div 16=25$ semanas con su reparto de periódicos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The total amount of birthday money Chandler gets is $50+35+15=100$ dollars. Therefore, he still needs $500-100=400$ dollars.

This can be earned in $400\div 16=25$ weeks through his paper route.

Thus, B is the correct answer.

6.

El costo promedio de una llamada de larga distancia en EE. UU. en $1985$ era de $41$ centavos por minuto, y el costo promedio de una llamada de larga distancia en EE. UU. en $2005$ era de $7$ centavos por minuto. Halla la disminución porcentual aproximada en el costo por minuto de una llamada de larga distancia.

The average cost of a long-distance call in the USA in $1985$ was $41$ cents per minute, and the average cost of a long-distance call in the USA in $2005$ was $7$ cents per minute. Find the approximate percent decrease in the cost per minute of a long-distance call.

$7$

$17$

$34$

$41$

$80$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje estimación

Nivel de dificultad: 940

Solución:

La disminución en el costo es $41-7=34$ centavos por minuto.

La disminución porcentual es $100\cdot\dfrac{34}{41}\%$ , que es un poco más de $80\%$ , así que la respuesta más cercana es $80$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The decrease in cost is $41-7=34$ cents per minute.

The percent decrease is $100\cdot\dfrac{34}{41}\%$ , which is a little more than $80\%$ , so the closest answer is $80$ .

Thus, E is the correct answer.

7.

La edad promedio de $5$ personas en una habitación es de $30$ años. Una persona de $18$ años sale de la habitación. ¿Cuál es la edad promedio de las cuatro personas restantes?

The average age of $5$ people in a room is $30$ years. An $18$ -year-old person leaves the room. What is the average age of the four remaining people?

$25$

$26$

$29$

$33$

$36$

Respuesta: D

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 900

Solución:

Inicialmente, la edad total de todos en la habitación es $5 \cdot 30 = 150$ años.

Después de que la persona se va, la edad total es $150 - 18 = 132.$ Con $4$ personas restantes, la edad promedio se vuelve $\dfrac{132}{4} = 33.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Initially, the total age of everyone in the room is $5 \cdot 30 = 150$ years.

After the person leaves, the total age is $150 - 18 = 132.$ With $4$ people remaining, the average age becomes $\dfrac{132}{4} = 33.$

Thus, D is the correct answer.

8.

En el trapecio $ABCD,$ $\overline{AD}$ es perpendicular a $\overline{DC},$ $AD = AB = 3,$ y $DC = 6.$ Además, $E$ está en $\overline{DC},$ y $\overline{BE}$ es paralelo a $\overline{AD}.$ Halla el área de $\triangle BEC.$

In trapezoid $ABCD,$ $\overline{AD}$ is perpendicular to $\overline{DC},$ $AD = AB = 3,$ and $DC = 6.$ In addition, $E$ is on $\overline{DC},$ and $\overline{BE}$ is parallel to $\overline{AD}.$ Find the area of $\triangle BEC.$

$3$

$4.5$

$6$

$9$

$18$

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo trapecio

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Sabemos que $EC = DC - DE$ $= 6 - 3$ $= 3.$ También sabemos que $BE = AD = 3.$ Por lo tanto, el área de $\triangle BEC$ es $\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \dfrac{9}{2}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We know that $EC = DC - DE$ $= 6 - 3$ $= 3.$ We also know that $BE = AD = 3.$ Therefore, the area of $\triangle BEC$ is $\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \dfrac{9}{2}.$

Thus, B is the correct answer.

9.

Para completar la cuadrícula de abajo, cada uno de los dígitos del $1$ al $4$ debe aparecer una vez en cada fila y una vez en cada columna. ¿Qué número ocupará la casilla inferior derecha?

To complete the grid below, each of the digits $1$ through $4$ must occur once in each row and once in each column. What number will occupy the lower right-hand square?

$1$

$2$

$3$

$4$

$\text{cannot be determined}$

Respuesta: B

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

La última casilla de la segunda fila debe ser $1$ , ya que esa fila ya contiene $2$ y $3$ , y la última columna ya contiene $4$ .

Entonces la casilla superior derecha debe ser $3$ , ya que la fila superior ya contiene $1$ y $2$ , y la última columna ya contiene $1$ y $4$ .

Esto obliga a que el $2$ esté en la casilla inferior derecha.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The last square in the second row must be $1$ , since that row already contains $2$ and $3$ , and the last column already contains $4$ .

Then the top-right square must be $3$ , since the top row already contains $1$ and $2$ , and the last column already contains $1$ and $4$ .

This forces the $2$ to be in the bottom-right square.

Thus, B is the correct answer.

10.

Para cualquier entero positivo $n,$ define $\boxed{n}$ como la suma de los factores positivos de $n.$ Por ejemplo, $\boxed{6} = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.$ Halla $\boxed{\boxed{11}}.$

For any positive integer $n,$ define $\boxed{n}$ to be the sum of the positive factors of $n.$ For example, $\boxed{6} = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.$ Find $\boxed{\boxed{11}}.$

$13$

$20$

$24$

$28$

$30$

Respuesta: D

Conceptos:suma de factores operación personalizada

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Primero, encontramos que $\boxed{11} = 1 + 11 = 12$ ya que $11$ es primo. Luego necesitamos hallar $\boxed{12}.$ Los factores de $12$ son $1, 2, 3, 4, 6, 12.$ Al sumarlos se obtiene $\boxed{12} = 28.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

First, we find that $\boxed{11} = 1 + 11 = 12$ since $11$ is prime. Then we need to find $\boxed{12}.$ The factors of $12$ are $1, 2, 3, 4, 6, 12.$ Adding these yields $\boxed{12} = 28.$

Thus, D is the correct answer.

11.

Las fichas $I, II, III$ y $IV$ se trasladan de modo que una ficha coincida con cada uno de los rectángulos $A, B, C$ y $D.$ En la disposición final, los dos números en cualquier lado común a dos fichas adyacentes deben ser iguales. ¿Cuál de las fichas se traslada al rectángulo $C$ ?

Tiles $I, II, III$ and $IV$ are translated so one tile coincides with each of the rectangles $A, B, C$ and $D.$ In the final arrangement, the two numbers on any side common to two adjacent tiles must be the same. Which of the tiles is translated to Rectangle $C?$

$I$

$II$

$III$

$IV$

$\text{cannot be determined}$

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Solo la ficha $III$ tiene un $0$ en un borde, así que la ficha $III$ debe colocarse en $C$ o $D$ , donde ese borde puede quedar en el exterior.

La ficha $III$ también tiene un $5$ en su borde derecho, y ninguna otra ficha tiene un $5$ . Por lo tanto, la ficha $III$ debe colocarse en $D$ , con su $5$ en el exterior.

La única ficha que puede coincidir con el $1$ del borde izquierdo de la ficha $III$ es la ficha $IV$ , así que la ficha $IV$ se coloca en $C$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Only Tile $III$ has a $0$ on an edge, so Tile $III$ must be placed in $C$ or $D$ , where that edge can be on the outside.

Tile $III$ also has a $5$ on its right edge, and no other tile has a $5$ . Therefore Tile $III$ must be placed in $D$ , with its $5$ on the outside.

The only tile that can match the $1$ on the left edge of Tile $III$ is Tile $IV$ , so Tile $IV$ is placed in $C$ .

Thus, D is the correct answer.

12.

Un hexagrama unitario está compuesto por un hexágono regular de lado $1$ y sus $6$ extensiones triangulares equiláteras, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la razón entre el área de las extensiones y el área del hexágono original?

A unit hexagram is composed of a regular hexagon of side length $1$ and its $6$ equilateral triangular extensions, as shown in the diagram. What is the ratio of the area of the extensions to the area of the original hexagon?

$1:1$

$6:5$

$3:2$

$2:1$

$3:1$

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Observa que podemos dividir el hexágono en $6$ triángulos equiláteros congruentes de la siguiente manera.

Como cada uno de ellos comparte un lado con un triángulo exterior, todos los triángulos son congruentes. Por lo tanto, la razón de áreas es $1:1.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that we can split the hexagon into $6$ congruent equilateral triangles as follows.

Since each of them share an edge with an exterior triangle, all the triangles are congruent. Therefore, the ratio of areas is $1:1.$

Thus, A is the correct answer.

13.

Los conjuntos $A$ y $B,$ mostrados en el diagrama de Venn, tienen el mismo número de elementos. Su unión tiene $2007$ elementos y su intersección tiene $1001$ elementos. Halla el número de elementos en $A.$

Sets $A$ and $B,$ shown in the Venn diagram, have the same number of elements. Their union has $2007$ elements and their intersection has $1001$ elements. Find the number of elements in $A.$

$503$

$1006$

$1504$

$1507$

$1510$

Respuesta: C

Conceptos:Diagrama de Venn inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1290

Solución:

Sea $x$ el número de elementos en cada uno de $A$ y $B.$ Sea también $y$ el número de elementos en su intersección.

Las condiciones nos dan que $2x - y = 2007$ y $y = 1001.$ Al sustituir $y$ en la primera ecuación se obtiene $\begin{align*} 2x - 1001 &= 2007 \\ 2x &= 3008 \\ x &= 1504. \end{align*}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of elements in each $A$ and $B.$ Also let $y$ be the number of elements in their intersection.

The conditions give us that $2x - y = 2007$ and $y = 1001.$ Plugging $y$ into the first equation yields $\begin{align*} 2x - 1001 &= 2007 \\ 2x &= 3008 \\ x &= 1504. \end{align*}$

Thus, C is the correct answer.

14.

La base del $\triangle ABC$ isósceles es $24$ y su área es $60.$ ¿Cuál es la longitud de uno de los lados congruentes?

The base of isosceles $\triangle ABC$ is $24$ and its area is $60.$ What is the length of one of the congruent sides?

$5$

$8$

$13$

$14$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo isósceles área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Construye $\overline{BD}$ como la altura desde $B$ hasta $\overline{AC}.$

Entonces $60 = \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot 24,$ lo que nos da que $BD = 5.$

A partir de esto, aplicamos el teorema de Pitágoras en $\triangle ABD:$ $AB^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2.$ Esto nos da que $AB = 13.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Construct $\overline{BD}$ as the altitude from $B$ to $\overline{AC}.$

Then $60 = \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot 24,$ which gives us that $BD = 5.$

From this, we apply the Pythagorean Theorem on $\triangle ABD:$ $AB^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2.$ This gives us that $AB = 13.$

Thus, C is the correct answer.

15.

Sean $a, b$ y $c$ números con $0 \lt a \lt b \lt c.$ ¿Cuál de las siguientes es imposible?

Let $a, b$ and $c$ be numbers with $0 \lt a \lt b \lt c.$ Which of the following is impossible?

$a + c \lt b$

$a \cdot b \lt c$

$a + b \lt c$

$a \cdot c \lt b$

$\dfrac{b}{c} = a$

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

Sabemos que $b \lt c$ y $0 \lt a.$ Al sumar estas dos desigualdades se obtiene $b \lt c + a.$ Esto muestra que A es imposible y, por lo tanto, la respuesta correcta.

Para asegurarnos de que esto es correcto, podemos mostrar que las otras opciones son posibles.

B y C : $a = 1,$ $b = 2,$ y $c = 4$

D : $a = \dfrac{1}{3},$ $b = \dfrac{1}{2},$ y $c = 1$

E : $a = \dfrac{1}{2},$ $b = 1,$ y $c = 2$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know that $b \lt c$ and $0 \lt a.$ Adding these two inequalities together yields $b \lt c + a.$ This shows that A is impossible, and therefore the right answer.

To ensure that this is correct, we can show that the other options are possible.

B and C : $a = 1,$ $b = 2,$ and $c = 4$

D : $a = \dfrac{1}{3},$ $b = \dfrac{1}{2},$ and $c = 1$

E : $a = \dfrac{1}{2},$ $b = 1,$ and $c = 2$

Thus, A is the correct answer.

16.

Amanda Reckonwith dibuja cinco círculos con radios $1, 2, 3, 4$ y $5.$ Luego, para cada círculo, marca el punto $(C, A),$ donde $C$ es su circunferencia y $A$ es su área. ¿Cuál de las siguientes podría ser su gráfica?

Amanda Reckonwith draws five circles with radii $1, 2, 3, 4$ and $5.$ Then for each circle she plots the point $(C, A),$ where $C$ is its circumference and $A$ is its area. Which of the following could be her graph?

Respuesta: A

Conceptos:área del círculo circunferencia cuadrática

Nivel de dificultad: 1400

Solución:

Las circunferencias de los círculos con radios $1$ a $5$ son $2\pi,4\pi,6\pi,8\pi,10\pi$ . Sus áreas respectivas son $\pi,4\pi,9\pi,16\pi,25\pi$ .

A medida que $C$ aumenta en cantidades iguales, $A$ aumenta cada vez más rápido, así que los puntos forman un patrón cuadrático creciente. Solo la gráfica A tiene esa forma.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The circumferences of circles with radii $1$ through $5$ are $2\pi,4\pi,6\pi,8\pi,10\pi$ . Their respective areas are $\pi,4\pi,9\pi,16\pi,25\pi$ .

As $C$ increases by equal amounts, $A$ increases more and more quickly, so the points form an increasing quadratic pattern. Only graph A has that shape.

Thus, A is the correct answer.

17.

Una mezcla de $30$ litros de pintura tiene $25\%$ de tinte rojo, $30\%$ de tinte amarillo y $45\%$ de agua. Se añaden cinco litros de tinte amarillo a la mezcla original. ¿Cuál es el porcentaje de tinte amarillo en la nueva mezcla?

A mixture of $30$ liters of paint is $25\%$ red tint, $30\%$ yellow tint and $45\%$ water. Five liters of yellow tint are added to the original mixture. What is the percent of yellow tint in the new mixture?

$25$

$35$

$40$

$45$

$50$

Respuesta: C

Conceptos:mezcla porcentaje

Nivel de dificultad: 1340

Solución:

La cantidad de tinte amarillo en la mezcla original es $.3 \times 30 = 9$ litros. Al añadir $5$ litros se obtiene un total de $14$ litros de tinte amarillo.

La nueva mezcla tiene un total de $35$ litros, así que el porcentaje de tinte amarillo es $100 \cdot \dfrac{14}{35} = 100 \cdot \dfrac{2}{5} = 40 \%.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The amount of yellow tint in the original mixture is $.3 \times 30 = 9$ liters. Adding $5$ liters results in a total of $14$ liters of yellow tint.

The new mixture has a total of $35$ liters, so the percent of yellow tint is $100 \cdot \dfrac{14}{35} = 100 \cdot \dfrac{2}{5} = 40 \%.$

Thus, C is the correct answer.

18.

El producto de los dos números de $99$ dígitos $303,030,303,\ldots,030,303$ y $505,050,505,\ldots,050,505$ tiene dígito de las unidades de millar $A$ y dígito de las unidades $B.$ ¿Cuánto es $A+B$ ?

The product of the two $99$ -digit numbers $303,030,303,\ldots,030,303$ and $505,050,505,\ldots,050,505$ has thousands digit $A$ and units digit $B.$ What is $A+B?$

$3$

$5$

$6$

$8$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:aritmética modular dígitos

Nivel de dificultad: 1400

Solución:

Solo los últimos cuatro dígitos pueden afectar el dígito de las unidades de millar y el dígito de las unidades del producto. Los dos números terminan en $0303$ y $0505$ , así que basta con calcular $303\cdot 505$ .

Como $303\cdot 505=153015$ , los últimos cuatro dígitos del producto completo son $3015$ .

Esto da $A=3$ y $B=5$ , así que $A+B=8$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Only the last four digits can affect the thousands digit and units digit of the product. The two numbers end in $0303$ and $0505$ , so it is enough to compute $303\cdot 505$ .

Since $303\cdot 505=153015$ , the last four digits of the full product are $3015$ .

This gives $A=3$ and $B=5$ , so $A+B=8$ .

Thus, D is the correct answer.

19.

Elige dos enteros positivos consecutivos cuya suma sea menor que $100.$ Eleva al cuadrado ambos enteros y luego halla la diferencia de los cuadrados. ¿Cuál de las siguientes podría ser la diferencia?

Pick two consecutive positive integers whose sum is less than $100.$ Square both of those integers and then find the difference of the squares. Which of the following could be the difference?

$2$

$64$

$79$

$96$

$131$

Respuesta: C

Conceptos:diferencia de cuadrados paridad

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

Sean los enteros positivos consecutivos $x$ y $x+1$ . Su suma es $2x+1$ , que es menor que $100$ .

La diferencia de sus cuadrados es $\begin{gathered} (x+1)^2-x^2 \\ = (x+1+x)(x+1-x) \\ = 2x+1. \end{gathered}$

Así que la diferencia debe ser un número impar menor que $100$ . Entre las opciones, $79$ es la única posibilidad, y ocurre para $39$ y $40$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the consecutive positive integers be $x$ and $x+1$ . Their sum is $2x+1$ , which is less than $100$ .

The difference of their squares is $\begin{gathered} (x+1)^2-x^2 \\ = (x+1+x)(x+1-x) \\ = 2x+1. \end{gathered}$

So the difference must be an odd number less than $100$ . Among the choices, $79$ is the only possibility, and it occurs for $39$ and $40$ .

Thus, C is the correct answer.

20.

Antes de los partidos de distrito, los Unicorns habían ganado el $45 \%$ de sus partidos de baloncesto. Durante los partidos de distrito, ganaron seis partidos más y perdieron dos, para terminar la temporada habiendo ganado la mitad de sus partidos. ¿Cuántos partidos jugaron los Unicorns en total?

Before district play, the Unicorns had won $45 \%$ of their basketball games. During district play, they won six more games and lost two, to finish the season having won half their games. How many games did the Unicorns play in all?

$48$

$50$

$52$

$54$

$60$

Respuesta: A

Conceptos:ecuación lineal porcentaje

Nivel de dificultad: 1550

Solución:

Sea $x$ el número de partidos que los Unicorns habían jugado antes de los partidos de distrito. Entonces habían ganado $0.45x$ partidos antes de los partidos de distrito y $0.45x+6$ partidos después.

En total, jugaron $x+8$ partidos. El enunciado del problema nos dice que $0.45x+6=\dfrac{x+8}{2}.$

Al resolver se obtiene $0.45x+6=0.5x+4$ , así que $2=0.05x$ , y $x=40$ . Por lo tanto, los Unicorns jugaron $40+8=48$ partidos en total.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of games the Unicorns had played before district play. Then they had won $0.45x$ games before district play and $0.45x+6$ games after district play.

In total, they played $x+8$ games. The problem statement tells us that $0.45x+6=\dfrac{x+8}{2}.$

Solving gives $0.45x+6=0.5x+4$ , so $2=0.05x$ , and $x=40$ . Therefore, the Unicorns played $40+8=48$ games in all.

Thus, A is the correct answer.

21.

Se reparten dos cartas de una baraja de cuatro cartas rojas etiquetadas $A,$ $B,$ $C,$ $D$ y cuatro cartas verdes etiquetadas $A,$ $B,$ $C,$ $D.$ Un par ganador son dos cartas del mismo color o dos cartas de la misma letra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par ganador?

Two cards are dealt from a deck of four red cards labeled $A,$ $B,$ $C,$ $D$ and four green cards labeled $A,$ $B,$ $C,$ $D.$ A winning pair is two of the same color or two of the same letter. What is the probability of drawing a winning pair?

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{5}{8}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 1450

Solución:

Después de sacar la primera carta, quedan $7$ . $3$ de ellas tienen el mismo color y $1$ de ellas tiene la misma letra. Por lo tanto, hay $4$ de $7$ posibilidades que resultan en un par ganador.

La probabilidad de sacar un par es entonces $\dfrac{4}{7}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

After drawing the first card, there are $7$ left. $3$ of them have the same color, and $1$ of them has the same letter. Therefore, there are $4$ out of $7$ possibilities that result in a winning pair.

The probability of drawing a pair is then $\dfrac{4}{7}.$

Thus, D is the correct answer.

22.

Un lemming se encuentra en una esquina de un cuadrado de lado $10$ metros. El lemming corre $6.2$ metros a lo largo de una diagonal hacia la esquina opuesta. Se detiene, hace un giro de $90^{\circ}$ a la derecha y corre $2$ metros más. Un científico mide la distancia más corta entre el lemming y cada lado del cuadrado. ¿Cuál es el promedio de estas cuatro distancias en metros?

A lemming sits at a corner of a square with side length $10$ meters. The lemming runs $6.2$ meters along a diagonal toward the opposite corner. It stops, makes a $90^{\circ}$ right turn and runs $2$ more meters. A scientist measures the shortest distance between the lemming and each side of the square. What is the average of these four distances in meters?

$2$

$4.5$

$5$

$6.2$

$7$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado (geometría)invariante

Nivel de dificultad: 1550

Solución:

Según las longitudes dadas en el problema, el lemming sigue dentro del cuadrado después de detenerse.

Como el lemming sigue dentro del cuadrado, la suma de las distancias a los lados horizontales es $10$ metros y lo mismo para los lados verticales. Por lo tanto, las $4$ distancias suman $20$ metros, lo que hace que el promedio sea $20 \div 4 = 5$ metros.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Based on the lengths given in the problem, the lemming is still in the square after it stops.

Since the lemming is still in the square, the sum of the distances to the horizontal sides is $10$ meters and the same for the vertical sides. Therefore, the $4$ distances sum to $20$ meters, making the average $20 \div 4 = 5$ meters.

Thus, C is the correct answer.

23.

¿Cuál es el área del molinete sombreado que se muestra en la cuadrícula $5 \times 5$ ?

What is the area of the shaded pinwheel shown in the $5 \times 5$ grid?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

Podemos hallar el área de la parte sombreada restando el área de la parte no sombreada del área total.

Hay $4$ cuadrados de lado $1,$ que aportan $1$ cada uno al área no sombreada, para un total de $4.$

También hay $4$ triángulos de base $3$ y altura $\dfrac{5}{2}.$ Esto aporta un área total de $4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{5}{2} = 15.$

El área total no sombreada es, por lo tanto, $4 + 15 = 19.$

El área total es $5^2 = 25,$ y restar el área no sombreada da $25 - 19 = 6$ como área de la región sombreada.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can find the area of the shaded part by subtracting the area of the unshaded part from the whole area.

There are $4$ squares with side length $1,$ contributing $1$ each to the unshaded area, for a total of $4.$

There are also $4$ triangles with base $3$ and height $\dfrac{5}{2}.$ This contributes a total area of $4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{5}{2} = 15.$

The total unshaded area is therefore $4 + 15 = 19.$

The total area is $5^2 = 25,$ and subtracting the unshaded area yields $25 - 19 = 6$ as the area of the shaded region.

Thus, B is the correct answer.

24.

Una bolsa contiene cuatro trozos de papel, cada uno etiquetado con uno de los dígitos $1,$ $2,$ $3$ o $4,$ sin repeticiones. Se sacan tres de estos trozos, uno a la vez sin reemplazo, para construir un número de tres dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tres dígitos sea un múltiplo de $3$ ?

A bag contains four pieces of paper, each labeled with one of the digits $1,$ $2,$ $3$ or $4,$ with no repeats. Three of these pieces are drawn, one at a time without replacement, to construct a three-digit number. What is the probability that the three-digit number is a multiple of $3?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad probabilidad básica dígitos

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Recuerda que un número es divisible entre $3$ si la suma de sus dígitos es divisible entre $3$ .

Las únicas ternas de dígitos distintos de $1,2,3,4$ cuya suma es divisible entre $3$ son $(1,2,3)$ y $(2,3,4)$ .

Esto significa que el número construido es un múltiplo de $3$ exactamente cuando $1$ o $4$ queda en la bolsa.

Cada uno de estos eventos tiene probabilidad $\dfrac{1}{4}$ , para una probabilidad total de $2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Recall that a number is divisible by $3$ if the sum of its digits is divisible by $3$ .

The only triples of distinct digits from $1,2,3,4$ whose sum is divisible by $3$ are $(1,2,3)$ and $(2,3,4)$ .

This means the constructed number is a multiple of $3$ exactly when either $1$ or $4$ is left in the bag.

Each of these events has probability $\dfrac{1}{4}$ , for a total probability of $2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ .

Thus, C is the correct answer.

25.

En el tablero de dardos que se muestra en la figura de abajo, el círculo exterior tiene radio $6$ y el círculo interior tiene radio $3.$ Tres radios dividen cada círculo en tres regiones congruentes, con los valores de puntos indicados. La probabilidad de que un dardo golpee una región dada es proporcional al área de la región. Cuando dos dardos golpean este tablero, la puntuación es la suma de los valores de puntos de las regiones golpeadas. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea impar?

On the dart board shown in the figure below, the outer circle has radius $6$ and the inner circle has radius $3.$ Three radii divide each circle into three congruent regions, with point values shown. The probability that a dart will hit a given region is proportional to the area of the region. When two darts hit this board, the score is the sum of the point values of the regions hit. What is the probability that the score is odd?

$\dfrac{17}{36}$

$\dfrac{35}{72}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{37}{72}$

$\dfrac{19}{36}$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica paridad

Nivel de dificultad: 1680

Solución:

El área del círculo exterior es $6^2\pi = 36\pi,$ y el área del círculo interior es $3^2\pi = 9\pi.$ Por lo tanto, el área del anillo exterior es $36\pi - 9\pi = 27\pi.$

Esto significa que la probabilidad de golpear un segmento exterior es $\dfrac{9\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{4}.$ De manera similar, la probabilidad de golpear un segmento interior es $\dfrac{3\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{12}.$

Sumando sobre todas las posibilidades, la probabilidad de golpear un $1$ es $\dfrac{1}{12} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}.$ De manera similar, la probabilidad de golpear un $2$ es $2 \cdot \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}.$

La única manera de obtener una puntuación impar es golpear un $1$ y un $2.$

La probabilidad de golpear estos números en cualquier orden es $2 \cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{35}{72}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The area of the outer circle is $6^2\pi = 36\pi,$ and the area of the inner circle is $3^2\pi = 9\pi.$ Therefore, the area of the outer ring is $36\pi - 9\pi = 27\pi.$

This means that the probability of hitting an outer segment is $\dfrac{9\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{4}.$ Similarly, the probability of hitting an inner segment is $\dfrac{3\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{12}.$

Summing over all possibilities, the probability of hitting a $1$ is $\dfrac{1}{12} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}.$ Similarly, the probability of hitting a $2$ is $2 \cdot \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}.$

The only way to get an odd score is to hit one $1$ and one $2.$

The probability of hitting these numbers in either order is $2 \cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{35}{72}.$

Thus, B is the correct answer.

Problemas del 2007 AMC 8

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución: