Question

¿Cuántos cubos perfectos hay entre $2^8+1$ y $2^{18}+1,$ inclusive?

How many perfect cubes lie between $2^8+1$ and $2^{18}+1,$ inclusive?

$4$

$9$

$10$

$57$

$58$

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que $x^3$ es un cubo perfecto cualquiera en este rango, donde $x$ es un entero positivo.

Si $x^3 \leq 2^{18}+1,$ entonces $x^3 = 2^{18}+1$ o $x^3 \leq 2^{18} = {2^6}^3$ $\implies x \leq 2^6 = 64 .$ Si $x^3 = 2^{18}+1 = 64^3 +1,$ entonces se sigue que $64^3 < x^3 < 65^3$ $\implies 64 < x < 65$ Esto significaría que $x$ no es un entero. Esto es una contradicción, así que sabemos que $x \leq 64 .$ También sabemos que $2^8+1= 257 \leq x^3 .$ Ahora, supongamos que $257\leq x^3 < 343.$ Entonces sabemos que $216 < x^3 < 343 .$

Esto significa que $6 < x < 7 ,$ lo que también significa que $x$ no es un entero. Esto es una contradicción, así que $7\le x.$

Por lo tanto, todos los $x$ que satisfacen $343 \leq x^3 \leq (2^6)^3$ también deben satisfacer $7 \leq x \leq 64 .$ Por lo tanto, el número de valores posibles de $x$ es $64-7+1 = 58.$

Así, E es la respuesta correcta.

Suppose $x^3$ is any perfect cube in this range, where $x$ is a positive integer.

If $x^3 \leq 2^{18}+1,$ then $x^3 = 2^{18}+1$ or $x^3 \leq 2^{18} = {2^6}^3$ $\implies x \leq 2^6 = 64 .$ If $x^3 = 2^{18}+1 = 64^3 +1,$ then it follows that $64^3 < x^3 < 65^3$ $\implies 64 < x < 65$ This would mean that $x$ isn't an integer. This is a contradiction, so we know $x \leq 64 .$ We also know $2^8+1= 257 \leq x^3 .$ Now, suppose $257\leq x^3 < 343.$ Then, we know $216 < x^3 < 343 .$

This means $6 < x < 7 ,$ which also means that $x$ isn't an integer. This is a contradiction, so $7\le x.$

Therefore, all $x$ which satisfy $343 \leq x^3 \leq (2^6)^3$ must also satisfy $7 \leq x \leq 64 .$ Therefore, the number of possible $x$ 's is $64-7+1 = 58.$

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 25

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 25 en otros años