Question

En el cubo $ABCDEFGH$ con vértices opuestos $C$ y $E,$ $J$ e $I$ son los puntos medios de los segmentos $\overline{FB}$ y $\overline{HD},$ respectivamente. Sea $R$ la razón del área de la sección transversal $EJCI$ al área de una de las caras del cubo. ¿Cuánto vale $R^2$ ?

In the cube $ABCDEFGH$ with opposite vertices $C$ and $E,$ $J$ and $I$ are the midpoints of segments $\overline{FB}$ and $\overline{HD},$ respectively. Let $R$ be the ratio of the area of the cross-section $EJCI$ to the area of one of the faces of the cube. What is $R^2?$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{25}{16}$

$\dfrac{9}{4}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $s$ la longitud de una arista del cubo. Observando que cada lado de la sección transversal tiene la misma longitud, concluimos que $EJCI$ es un rombo. El área de este rombo se puede calcular como $\frac12 IJ\cdot CE,$ ya que el área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales. Usando el teorema de Pitágoras: $IJ=FH=s\sqrt{2}.$ De manera similar, usar de nuevo el teorema de Pitágoras nos permite ver que: $\begin{align*}CE&=\sqrt{AC^2+AE^2}\\&=\sqrt{(s\sqrt{2})^2+s^2}\\&=\sqrt{2s^2+s^2}\\&=s\sqrt{3}\end{align*}$ Por lo tanto, $\begin{align*}R&=\dfrac{\frac12 IJ\cdot CE}{s^2}\\&=\dfrac{\frac12 s^2\sqrt{2}\sqrt{3}}{s^2}\\&=\sqrt{\dfrac32}\end{align*}$ Así, $R^2=\dfrac32,$ y la respuesta correcta es C.

Allow $s$ to represent the length of an edge of the cube. Noting that each side of the cross section is equal in length, we conclude that $EJCI$ is a rhombus. The area of this rhombus can be calculated as $\frac12 IJ\cdot CE,$ as the area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals. Using the Pythagorean Theorem: $IJ=FH=s\sqrt{2}.$ Similarly, using the Pythagorean Theorem again lets us see that: $\begin{align*}CE&=\sqrt{AC^2+AE^2}\\&=\sqrt{(s\sqrt{2})^2+s^2}\\&=\sqrt{2s^2+s^2}\\&=s\sqrt{3}\end{align*}$ Therefore, $\begin{align*}R&=\dfrac{\frac12 IJ\cdot CE}{s^2}\\&=\dfrac{\frac12 s^2\sqrt{2}\sqrt{3}}{s^2}\\&=\sqrt{\dfrac32}\end{align*}$ Thus, $R^2=\dfrac32,$ and the correct answer is C.

2018 AMC 8 Problema 24

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Solución escrita:

El Problema 24 en otros años