Question

Un círculo de radio 2 se corta en cuatro arcos congruentes. Los cuatro arcos se unen para formar la figura de estrella que se muestra. ¿Cuál es la razón entre el área de la figura de estrella y el área del círculo original?

A circle of radius 2 is cut into four congruent arcs. The four arcs are joined to form the star figure shown. What is the ratio of the area of the star figure to the area of the original circle?

$\dfrac{4-\pi}{\pi}$

$\dfrac{1}\pi$

$\dfrac{\sqrt2}{\pi}$

$\dfrac{\pi-1}{\pi}$

$\dfrac{3}\pi$

Solución en video:

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Solución escrita:

El área del círculo original es $\pi\cdot2^2=4\pi$ .

Une los cuatro extremos de los arcos de cuarto de círculo para formar un cuadrado. El cuadrado tiene diagonales $4$ y $4$ , así que su área es $\frac12\cdot4\cdot4=8$ .

La parte dentro del círculo pero fuera de este cuadrado tiene área $4\pi-8$ . Esas cuatro piezas son congruentes con las piezas dentro del cuadrado pero fuera de la estrella.

Así, el área de la estrella es $8-(4\pi-8)=16-4\pi$ . La razón buscada es $\dfrac{16-4\pi}{4\pi}=\dfrac{4-\pi}{\pi}$ . Así, la respuesta es A.

The area of the original circle is $\pi\cdot2^2=4\pi$ .

Join the four quarter-circle endpoints to form a square. The square has diagonals $4$ and $4$ , so its area is $\frac12\cdot4\cdot4=8$ .

The part inside the circle but outside this square has area $4\pi-8$ . Those four pieces are congruent to the pieces inside the square but outside the star.

Thus the star area is $8-(4\pi-8)=16-4\pi$ . The desired ratio is $\dfrac{16-4\pi}{4\pi}=\dfrac{4-\pi}{\pi}$ . Thus, the answer is A .

2012 AMC 8 Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años