Question

Una liga de béisbol consta de dos divisiones de cuatro equipos. Cada equipo juega contra cada uno de los otros equipos de su división $N$ partidos. Cada equipo juega contra cada equipo de la otra división $M$ partidos, con $N > 2M$ y $M > 4.$ Cada equipo juega un calendario de $76$ partidos.

¿Cuántos partidos juega un equipo dentro de su propia división?

A baseball league consists of two four-team divisions. Each team plays every other team in its division $N$ games. Each team plays every team in the other division $M$ games with $N > 2M$ and $M > 4.$ Each team plays a $76$ game schedule.

How many games does a team play within its own division?

$36$

$48$

$54$

$60$

$72$

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada equipo juega $3N$ partidos dentro de su propia división y $4M$ partidos contra la otra división, así que $3N+4M=76.$

Como $N>2M$ , tenemos $3N>6M$ , y por lo tanto $76=3N+4M>10M$ . Así $M<7.6$ . Junto con $M>4$ , esto da $M\in\{5,6,7\}$ .

Reduciendo $3N+4M=76$ módulo $3$ se obtiene $M\equiv1\pmod3$ , así que $M=7$ . Por lo tanto, el equipo juega $4M=28$ partidos fuera de la división y $76-28=48$ partidos de división.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Each team plays $3N$ games within its own division and $4M$ games against the other division, so $3N+4M=76.$

Since $N>2M$ , we have $3N>6M$ , and hence $76=3N+4M>10M$ . Thus $M<7.6$ . Together with $M>4$ , this gives $M\in\{5,6,7\}$ .

Reducing $3N+4M=76$ modulo $3$ gives $M\equiv1\pmod3$ , so $M=7$ . Therefore the team plays $4M=28$ non-division games and $76-28=48$ division games.

Thus, B is the correct answer.

2015 AMC 8 Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años