Soluciones del 2015 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2015 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuántas yardas cuadradas de alfombra se necesitan para cubrir un piso rectangular que mide $12$ pies de largo y $9$ pies de ancho? (Hay 3 pies en una yarda.)

How many square yards of carpet are required to cover a rectangular floor that is $12$ feet long and $9$ feet wide? (There are 3 feet in a yard.)

$12$

$36$

$108$

$324$

$972$

Conceptos:conversión de unidades área

Nivel de dificultad: 370

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Solución escrita:

Como un lado mide $12$ pies, serían $\dfrac{12}{3} = 4$ yardas.

Como otro lado mide $9$ pies, serían $\dfrac{9}{3} = 3$ yardas.

Como las dimensiones son $4 \text{ yards} \times 3 \text{ yards},$ el área es igual a $4\cdot3 = 12.$ yardas cuadradas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since one side is $12$ feet, it would be $\dfrac{12}{3} = 4$ yards.

Since another side is $9$ feet, it would be $\dfrac{9}{3} = 3$ yards.

Since the dimensions are $4 \text{ yards} \times 3 \text{ yards},$ the area is equal to $4\cdot3 = 12.$

Thus, the correct answer is A .

2.

El punto $O$ es el centro del octágono regular $ABCDEFGH,$ y $X$ es el punto medio del lado $\overline{AB}.$ ¿Qué fracción del área del octágono está sombreada?

Point $O$ is the center of the regular octagon $ABCDEFGH,$ and $X$ is the midpoint of the side $\overline{AB}.$ What fraction of the area of the octagon is shaded?

$\dfrac{11}{32}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{13}{32}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{15}{32}$

Conceptos:polígono regular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

Primero observa que se pueden formar $8$ triángulos de igual tamaño con $O$ y dos puntos consecutivos cualesquiera. Por lo tanto, cada uno ocupa $\dfrac {1}{8}$ del área total del octágono.

El área sombreada tiene tres triángulos completos y la mitad del triángulo $ABO.$ Por lo tanto, el área sombreada es $\dfrac{3.5}{8} = \dfrac{7}{16}$ del área total del octágono.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

First notice that there are $8$ equally sized triangles that can be created with $O$ and any two consecutive points. Therefore, they each take up $\dfrac {1}{8}$ of the total area of the octagon.

The shaded area has three complete triangles and half of the triangle $ABO.$ Therefore, the shaded area is $\dfrac{3.5}{8} = \dfrac{7}{16}$ of the total area of the octagon.

Thus, the correct answer is D .

3.

Jack y Jill van a nadar a una piscina que está a una milla de su casa. Salen de casa al mismo tiempo. Jill va en bicicleta a la piscina a una velocidad constante de $10$ millas por hora. Jack camina a la piscina a una velocidad constante de $4$ millas por hora. ¿Cuántos minutos antes que Jack llega Jill?

Jack and Jill are going swimming at a pool that is one mile from their house. They leave home simultaneously. Jill rides her bicycle to the pool at a constant speed of $10$ miles per hour. Jack walks to the pool at a constant speed of $4$ miles per hour. How many minutes before Jack does Jill arrive?

$5$

$6$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 660

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Solución escrita:

Jack viaja a razón de $4$ millas por $60$ minutos. Por lo tanto, tarda $\dfrac{60}{4} = 15$ minutos en llegar a la piscina.

Jill viaja a razón de $10$ millas por $60$ minutos. Por lo tanto, tarda $\dfrac{60}{10} = 6$ minutos en llegar a la piscina.

Por lo tanto, la diferencia entre sus tiempos es $15-6 = 9$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Jack travels at a rate of $4$ miles per $60$ minutes. Therefore, it takes him $\dfrac{60}{4} = 15$ minutes to get to the pool.

Jill travels at a rate of $10$ miles per $60$ minutes. Therefore it takes her $\dfrac{60}{10} = 6$ minutes to get to the pool.

Therefore, the difference in their times is $15-6 = 9$ minutes.

Thus, the correct answer is D .

4.

El equipo de ajedrez de la Centerville Middle School consta de dos niños y tres niñas. Una fotógrafa quiere tomar una foto del equipo para el periódico local. Decide sentarlos en fila con un niño en cada extremo y las tres niñas en el medio. ¿Cuántas de estas disposiciones son posibles?

The Centerville Middle School chess team consists of two boys and three girls. A photographer wants to take a picture of the team to appear in the local newspaper. She decides to have them sit in a row with a boy at each end and the three girls in the middle. How many such arrangements are possible?

$2$

$4$

$5$

$6$

$12$

Conceptos:permutaciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Hay $2! = 2$ maneras de colocar a los dos niños en los dos extremos. Hay $3! = 6$ maneras de ordenar a las tres niñas en los asientos del medio.

Así, el número total de disposiciones es $2\cdot6=12$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

There are $2! = 2$ ways to place the two boys at the two ends. There are $3! = 6$ ways to arrange the three girls in the middle seats.

Thus the total number of arrangements is $2\cdot6=12$ .

Thus, E is the correct answer.

5.

El equipo de baloncesto de Billy anotó los siguientes puntos durante los primeros $11$ partidos de la temporada:

$42,$ $47,$ $53,$ $53,$ $58,$ $58,$ $58,$ $61,$ $64,$ $65,$ $73.$

Si su equipo anota $40$ en el partido $12$ , ¿cuál de las siguientes estadísticas mostrará un aumento?

Billy's basketball team scored the following points over the course of the first $11$ games of the season:

$42,$ $47,$ $53,$ $53,$ $58,$ $58,$ $58,$ $61,$ $64,$ $65,$ $73.$

If his team scores $40$ in the $12$ th game, which of the following statistics will show an increase?

$\text{range}$

$\text{median}$

$\text{mean}$

$\text{mode}$

midrange

Conceptos:rango

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Al considerar los $12$ partidos, $40$ , proveniente del partido $12$ , será la puntuación más baja. Por lo tanto, comparado con el rango de solo los primeros $11$ partidos, el rango de los $12$ partidos aumentaría de $73-42 = 31$ a $73-40=33.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

When considering all $12$ games, $40$ -- from the $12$ th game -- will be the lowest score. Therefore, compared to the range of just the first $11$ games, the range of all $12$ games would increase from $73-42 = 31$ to $73-40=33.$

Thus, the correct answer is A .

6.

En $\bigtriangleup ABC,$ $AB=BC=29,$ y $AC=42.$ ¿Cuál es el área de $\bigtriangleup ABC$ ?

In $\bigtriangleup ABC,$ $AB=BC=29,$ and $AC=42.$ What is the area of $\bigtriangleup ABC?$

$100$

$420$

$500$

$609$

$701$

Conceptos:triángulo isósceles Teorema de Pitágoras área del triángulo

Nivel de dificultad: 1140

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Solución escrita:

Traza la altura desde $B$ hasta $AC$ , que corta a $AC$ en $X$ . Como $AB=BC$ , el punto $X$ es el punto medio de $AC$ , así que $AX=21$ .

En el triángulo rectángulo $ABX$ , la altura es $\begin{aligned} BX &= \sqrt{29^2-21^2} \\ &= \sqrt{400} = 20. \end{aligned}$

El área de $\triangle ABC$ es $\dfrac12\cdot42\cdot20=420$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Drop the altitude from $B$ to $AC$ , meeting $AC$ at $X$ . Since $AB=BC$ , point $X$ is the midpoint of $AC$ , so $AX=21$ .

In right triangle $ABX$ , the altitude is $\begin{aligned} BX &= \sqrt{29^2-21^2} \\ &= \sqrt{400} = 20. \end{aligned}$

The area of $\triangle ABC$ is $\dfrac12\cdot42\cdot20=420$ .

Thus, B is the correct answer.

7.

Cada una de dos cajas contiene tres fichas numeradas $1,$ $2,$ $3.$ Se saca una ficha al azar de cada caja y se multiplican los números de las dos fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que su producto sea par?

Each of two boxes contains three chips numbered $1,$ $2,$ $3.$ A chip is drawn randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What is the probability that their product is even?

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

Conceptos:probabilidad complementaria paridad

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

El producto es impar solo cuando ambas fichas son impares. Cada caja tiene dos fichas impares, $1$ y $3$ , de tres fichas, así que la probabilidad de un producto impar es $(\dfrac23)^2=\dfrac49$ .

La probabilidad de un producto par es el complemento, $1-\dfrac49=\dfrac59$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The product is odd only when both chips are odd. Each box has two odd chips, $1$ and $3$ , out of three chips, so the probability of an odd product is $(\dfrac23)^2=\dfrac49$ .

The probability of an even product is the complement, $1-\dfrac49=\dfrac59$ .

Thus, E is the correct answer.

8.

¿Cuál es el menor número entero mayor que el perímetro de cualquier triángulo con un lado de longitud $5$ y un lado de longitud $19$ ?

What is the smallest whole number larger than the perimeter of any triangle with a side of length $5$ and a side of length $19?$

$24$

$29$

$43$

$48$

$57$

Conceptos:desigualdad triangular perímetro

Nivel de dificultad: 980

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Solución escrita:

Sea $s$ la longitud del tercer lado. La desigualdad triangular da $s<5+19=24$ , así que el perímetro satisface $5+19+s<48.$

Los perímetros pueden acercarse arbitrariamente a $48$ desde abajo, así que el menor número entero mayor que el perímetro de cualquier triángulo de este tipo es $48$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the third side length be $s$ . The triangle inequality gives $s<5+19=24$ , so the perimeter satisfies $5+19+s<48.$

Perimeters can be made arbitrarily close to $48$ from below, so the smallest whole number larger than the perimeter of any such triangle is $48$ .

Thus, D is the correct answer.

9.

En su primer día de trabajo, Janabel vendió un widget. El segundo día, vendió tres widgets. El tercer día, vendió cinco widgets, y cada día siguiente vendió dos widgets más que el día anterior. ¿Cuántos widgets en total había vendido Janabel después de trabajar $20$ días?

On her first day of work, Janabel sold one widget. On day two, she sold three widgets. On day three, she sold five widgets, and on each succeeding day, she sold two more widgets than she had sold on the previous day. How many widgets in total had Janabel sold after working $20$ days?

$39$

$40$

$210$

$400$

$401$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

Queremos hallar $1+3 + \cdots + 39.$ Esta suma puede reescribirse como $\begin{align*}&(1+39) + (3+ 37) \\&+\cdots +(19+21),\end{align*}$ que, como se ve, tiene $10$ términos. Además, observa que cada término es igual a $40.$ Por lo tanto, la suma es $10\cdot40=400.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We want to find $1+3 + \cdots + 39.$ This sum can be rewritten as $\begin{align*}&(1+39) + (3+ 37) \\&+\cdots +(19+21),\end{align*}$ which we can see has $10$ terms. Further notice that each term is equal to $40.$ Therefore, the sum is $10\cdot40=400.$

Thus, the correct answer is D .

10.

¿Cuántos enteros entre $1000$ y $9999$ tienen cuatro dígitos distintos?

How many integers between $1000$ and $9999$ have four distinct digits?

$3024$

$4536$

$5040$

$6480$

$6561$

Conceptos:principio de multiplicación dígitos

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

Primero, hay $9$ dígitos para elegir para las unidades de millar, ya que no se puede elegir $0$ .

Luego, después de eso, hay $9$ maneras de elegir el dígito de las centenas, $8$ maneras de elegir el dígito de las decenas y $7$ maneras de elegir el dígito de las unidades. Por lo tanto, obtenemos $9\cdot9\cdot8\cdot7 = 4536$ maneras de elegir tal entero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

First, there are $9$ digits to choose for the thousands digit since $0$ can't be chosen.

Then, after that, there are $9$ ways to choose the hundreds digit, $8$ ways to choose the tens digit, and $7$ ways to choose the ones digit. Therefore, we get $9\cdot9\cdot8\cdot7 = 4536$ ways to choose such an integer.

Thus, the correct answer is B .

11.

En el pequeño país de Mathland, todas las matrículas de automóvil tienen cuatro símbolos. El primero debe ser una vocal (A, E, I, O o U), el segundo y el tercero deben ser dos letras diferentes entre las 21 no vocales, y el cuarto debe ser un dígito (0 a 9). Si los símbolos se eligen al azar sujetos a estas condiciones, ¿cuál es la probabilidad de que la matrícula diga "AMC8"?

In the small country of Mathland, all automobile license plates have four symbols. The first must be a vowel (A, E, I, O, or U), the second and third must be two different letters among the 21 non-vowels, and the fourth must be a digit (0 through 9). If the symbols are chosen at random subject to these conditions, what is the probability that the plate will read "AMC8"?

$\dfrac{1}{22,050}$

$\dfrac{1}{21,000}$

$\dfrac{1}{10,500}$

$\dfrac{1}{2,100}$

$\dfrac{1}{1,050}$

Conceptos:probabilidad básica principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1100

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Solución escrita:

Hay $5$ opciones para el primer símbolo, $21$ para el segundo, $20$ para el tercero porque debe ser una no vocal diferente, y $10$ para el dígito final.

Así, hay $5\cdot21\cdot20\cdot10=21000$ matrículas posibles. Exactamente una de ellas es AMC8, así que la probabilidad es $\dfrac{1}{21000}$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are $5$ choices for the first symbol, $21$ choices for the second, $20$ choices for the third because it must be a different non-vowel, and $10$ choices for the final digit.

Thus there are $5\cdot21\cdot20\cdot10=21000$ possible plates. Exactly one of these is AMC8, so the probability is $\dfrac{1}{21000}$ .

Thus, B is the correct answer.

12.

¿Cuántos pares de aristas paralelas, como $\overline{AB}$ y $\overline{GH}$ o $\overline{EH}$ y $\overline{FG},$ tiene un cubo?

How many pairs of parallel edges, such as $\overline{AB}$ and $\overline{GH}$ or $\overline{EH}$ and $\overline{FG},$ does a cube have?

$6$

$12$

$18$

$24$

$36$

Conceptos:geometría del cubo conteo de pares

Nivel de dificultad: 1030

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Solución escrita:

Un cubo tiene $12$ aristas. Para cualquier arista, hay otras $3$ aristas paralelas a ella.

Esto cuenta cada par dos veces, una por cada arista del par, así que el número de pares de aristas paralelas es $\dfrac{12\cdot3}{2}=18$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

A cube has $12$ edges. For any edge, there are $3$ other edges parallel to it.

This counts each pair twice, once from each edge in the pair, so the number of pairs of parallel edges is $\dfrac{12\cdot3}{2}=18$ .

Thus, C is the correct answer.

13.

¿Cuántos subconjuntos de dos elementos se pueden quitar del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ de modo que la media (el promedio) de los números restantes sea 6?

How many subsets of two elements can be removed from the set $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ so that the mean (average) of the remaining numbers is 6?

$\text{ 1}$

$\text{ 2}$

$\text{ 3}$

$\text{ 5}$

$\text{ 6}$

Conceptos:media enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1030

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Solución escrita:

El conjunto original tiene suma $1+2+\cdots+11=66$ . Después de quitar dos números, quedan $9$ números que deben tener media $6$ , así que su suma debe ser $9\cdot6=54$ .

Por lo tanto, los dos números quitados deben tener suma $66-54=12$ . Los posibles subconjuntos de dos elementos son $\{1,11\},$ $\{2,10\},$ $\{3,9\},$ $\{4,8\},$ $\{5,7\}$ , así que hay $5$ opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The original set has sum $1+2+\cdots+11=66$ . After removing two numbers, $9$ numbers remain and must have mean $6$ , so their sum must be $9\cdot6=54$ .

Therefore the two removed numbers must have sum $66-54=12$ . The possible two-element subsets are $\{1,11\},$ $\{2,10\},$ $\{3,9\},$ $\{4,8\},$ $\{5,7\}$ , so there are $5$ choices.

Thus, D is the correct answer.

14.

¿Cuál de los siguientes enteros no se puede escribir como la suma de cuatro enteros impares consecutivos?

Which of the following integers cannot be written as the sum of four consecutive odd integers?

$16$

$40$

$72$

$100$

$200$

Conceptos:divisibilidad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 980

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Solución escrita:

Sean los cuatro enteros impares consecutivos $2k+1,2k+3,2k+5,2k+7$ . Su suma es $8k+16=8(k+2).$

Así, cualquier suma de este tipo debe ser un múltiplo de $8$ . La única opción de respuesta que no es divisible entre $8$ es $100$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the four consecutive odd integers be $2k+1,2k+3,2k+5,2k+7$ . Their sum is $8k+16=8(k+2).$

So any such sum must be a multiple of $8$ . The only answer choice that is not divisible by $8$ is $100$ .

Thus, D is the correct answer.

15.

En la Euler Middle School, $198$ estudiantes votaron sobre dos cuestiones en un referéndum escolar con los siguientes resultados: $149$ votaron a favor de la primera cuestión y $119$ votaron a favor de la segunda cuestión. Si hubo exactamente $29$ estudiantes que votaron en contra de ambas cuestiones, ¿cuántos estudiantes votaron a favor de ambas cuestiones?

At Euler Middle School, $198$ students voted on two issues in a school referendum with the following results: $149$ voted in favor of the first issue and $119$ voted in favor of the second issue. If there were exactly $29$ students who voted against both issues, how many students voted in favor of both issues?

$49$

$70$

$79$

$99$

$149$

Conceptos:inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1100

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Solución escrita:

Como $29$ estudiantes votaron en contra de ambas, sabemos que $198-29 = 169$ personas votaron a favor de al menos una.

Como sabemos que $149$ estudiantes votaron a favor de la primera cuestión, $119$ estudiantes votaron a favor de la segunda, y $169$ estudiantes votaron a favor de al menos una, concluimos que el número de estudiantes que votaron a favor de ambas es $149+119-169 = 99.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $29$ students voted against both, we know that $198-29 = 169$ people voted for at least one.

As we know that $149$ students voted for the first issue, and $119$ students voted for the second issue, and $169$ students that voted for at least one issue, we conclude that the number of students that voted for both is $149+119-169 = 99.$

Thus, the correct answer is D .

16.

En un programa de mentoría de secundaria, algunos de los estudiantes de sexto grado están emparejados con un estudiante de noveno grado como compañero. A ningún estudiante de noveno grado se le asigna más de un compañero de sexto grado. Si $\dfrac{1}{3}$ de todos los estudiantes de noveno grado están emparejados con $\dfrac{2}{5}$ de todos los estudiantes de sexto grado, ¿qué fracción del número total de estudiantes de sexto y noveno grado tiene un compañero?

In a middle-school mentoring program, a number of the sixth graders are paired with a ninth-grade student as a buddy. No ninth grader is assigned more than one sixth-grade buddy. If $\dfrac{1}{3}$ of all the ninth graders are paired with $\dfrac{2}{5}$ of all the sixth graders, what fraction of the total number of sixth and ninth graders have a buddy?

$\dfrac{2}{15}$

$\dfrac{4}{11}$

$\dfrac{11}{30}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{11}{15}$

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 1300

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Solución escrita:

Supongamos que hay $s$ estudiantes de sexto grado y $n$ de noveno grado. El número de estudiantes de noveno grado emparejados es igual al número de estudiantes de sexto grado emparejados, así que $\dfrac13 n=\dfrac25 s.$

Esto da $5n=6s$ , así que $n:s=6:5$ . Por lo tanto, el número total de estudiantes es proporcional a $11$ partes.

Los estudiantes de noveno grado emparejados constituyen $\dfrac13\cdot\dfrac6{11}=\dfrac2{11}$ de todos los estudiantes, y los de sexto grado emparejados constituyen $\dfrac25\cdot\dfrac5{11}=\dfrac2{11}$ de todos los estudiantes. En total, $\dfrac4{11}$ de los estudiantes tienen un compañero.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let there be $s$ sixth graders and $n$ ninth graders. The number of paired ninth graders equals the number of paired sixth graders, so $\dfrac13 n=\dfrac25 s.$

This gives $5n=6s$ , so $n:s=6:5$ . The total number of students is therefore proportional to $11$ parts.

The paired ninth graders make up $\dfrac13\cdot\dfrac6{11}=\dfrac2{11}$ of all students, and the paired sixth graders make up $\dfrac25\cdot\dfrac5{11}=\dfrac2{11}$ of all students. Altogether, $\dfrac4{11}$ of the students have a buddy.

Thus, B is the correct answer.

17.

El padre de Jeremy lo lleva a la escuela en el tráfico de la hora pico en 20 minutos. Un día no hay tráfico, así que su padre puede conducir 18 millas por hora más rápido y lo lleva a la escuela en 12 minutos. ¿Qué distancia en millas hay hasta la escuela?

Jeremy's father drives him to school in rush hour traffic in 20 minutes. One day there is no traffic, so his father can drive him 18 miles per hour faster and gets him to school in 12 minutes. How far in miles is it to school?

$4$

$6$

$8$

$9$

$12$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

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Solución escrita:

Sea $s$ la velocidad en la hora pico en millas por hora. El viaje de $20$ minutos en hora pico dura $\dfrac13$ de hora, así que la distancia es $\dfrac{s}{3}$ .

Sin tráfico, la velocidad es $s+18$ millas por hora y el viaje dura $12$ minutos, o $\dfrac15$ de hora. La misma distancia es $\dfrac{s+18}{5}$ .

Iguala las distancias: $\dfrac{s}{3}=\dfrac{s+18}{5}.$ Entonces $5s=3s+54$ , así que $s=27$ . La distancia es $27/3=9$ millas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the rush-hour speed be $s$ miles per hour. The $20$ -minute rush-hour trip takes $\dfrac13$ hour, so the distance is $\dfrac{s}{3}$ .

Without traffic, the speed is $s+18$ miles per hour and the trip takes $12$ minutes, or $\dfrac15$ hour. The same distance is $\dfrac{s+18}{5}$ .

Set the distances equal: $\dfrac{s}{3}=\dfrac{s+18}{5}.$ Then $5s=3s+54$ , so $s=27$ . The distance is $27/3=9$ miles.

Thus, D is the correct answer.

18.

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término después del primero se obtiene sumando una constante al término anterior. Por ejemplo, $2,5,8,11,14$ es una progresión aritmética de cinco términos, en la que el primer término es $2$ y se suma la constante $3$ . Cada fila y cada columna de este arreglo $5\times5$ es una progresión aritmética de cinco términos. ¿Cuál es el valor de $\text{X}$ ?

An arithmetic sequence is a sequence in which each term after the first is obtained by adding a constant to the previous term. For example, $2,5,8,11,14$ is an arithmetic sequence with five terms, in which the first term is $2$ and the constant $3$ is added. Each row and each column in this $5\times5$ array is an arithmetic sequence with five terms. What is the value of $\text{X}?$

$21$

$31$

$36$

$40$

$42$

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1280

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Solución escrita:

En cualquier progresión aritmética de cinco términos, el término del medio es el promedio del primer y el último término.

La entrada del medio de la fila superior es $\dfrac{1+25}{2}=13$ , y la entrada del medio de la fila inferior es $\dfrac{17+81}{2}=49$ .

Ahora aplica el mismo hecho a la columna del medio: $X=\dfrac{13+49}{2}=31$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

In any five-term arithmetic sequence, the middle term is the average of the first and last terms.

The middle entry of the top row is $\dfrac{1+25}{2}=13$ , and the middle entry of the bottom row is $\dfrac{17+81}{2}=49$ .

Now apply the same fact to the middle column: $X=\dfrac{13+49}{2}=31$ .

Thus, B is the correct answer.

19.

Un triángulo con vértices $A=(1,3),$ $B=(5,1),$ y $C=(4,4)$ se dibuja en una cuadrícula $6\times5$ . ¿Qué fracción de la cuadrícula cubre el triángulo?

A triangle with vertices as $A=(1,3),$ $B=(5,1),$ and $C=(4,4)$ is plotted on a $6\times5$ grid. What fraction of the grid is covered by the triangle?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1320

Solución en video:

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Solución escrita:

El área total de la cuadrícula es $6\cdot5=30.$ Para hallar la fracción de esta cuadrícula que cubre el triángulo, ahora debemos hallar el área del triángulo. Para ello, usaremos el siguiente diagrama:

Así, el área del triángulo $A(\triangle ABC)$ es igual a: $\begin{align*} &A(PQRB)-A(\triangle PAB)\\&-A(\triangle BCR)-A(\triangle CAQ)\\ &=(3)(4)-\dfrac12 (4)(2)-2 \left(\dfrac32\right)\\ &=12 - 4 - 3\\ &=5. \end{align*}$

Por lo tanto, la fracción del área es $\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The total area of the grid is $6\cdot5=30.$ In order to find the fraction of this grid that the triangle covers, we must now find the area of the triangle. To do this, we will use the following diagram:

Thus, the area of the triangle $A(\triangle ABC)$ is equal to: $\begin{align*} &A(PQRB)-A(\triangle PAB)\\&-A(\triangle BCR)-A(\triangle CAQ)\\ &=(3)(4)-\dfrac12 (4)(2)-2 \left(\dfrac32\right)\\ &=12 - 4 - 3\\ &=5. \end{align*}$

Therefore, the fraction of the area is $\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .$

Thus, the correct answer is A .

20.

Ralph fue a la tienda y compró $12$ pares de calcetines por un total de $\$24$ . Algunos de los calcetines que compró costaban $\$1$ el par, algunos costaban $\$3$ el par, y algunos costaban $\$4$ el par. Si compró al menos un par de cada tipo, ¿cuántos pares de calcetines de $\$1$ compró Ralph?

Ralph went to the store and bought $12$ pairs of socks for a total of $\$24$ . Some of the socks he bought cost $\$1$ a pair, some of the socks he bought cost $\$3$ a pair, and some of the socks he bought cost $\$4$ a pair. If he bought at least one pair of each type, how many pairs of $\$1$ socks did Ralph buy?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:sistema de ecuaciones aritmética modular

Nivel de dificultad: 1390

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $a$ , $b$ y $c$ el número de pares de $\$1$ , $\$3$ y $\$4$ , respectivamente. Entonces $a+b+c=12,$ $a+3b+4c=24.$

Restando se obtiene $2b+3c=12$ . Como se compró al menos un par de cada tipo, $b>0$ y $c>0$ . Además $3c<12$ , así que $c<4$ . Módulo $2$ , la ecuación da que $c$ es par, así que $c=2$ .

Entonces $2b+6=12$ , así que $b=3$ , y $a=12-3-2=7$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $a$ , $b$ , and $c$ be the numbers of $\$1$ , $\$3$ , and $\$4$ pairs, respectively. Then $a+b+c=12,$ $a+3b+4c=24.$

Subtracting gives $2b+3c=12$ . Since at least one pair of each type was bought, $b>0$ and $c>0$ . Also $3c<12$ , so $c<4$ . Modulo $2$ , the equation gives $c$ even, so $c=2$ .

Then $2b+6=12$ , so $b=3$ , and $a=12-3-2=7$ .

Thus, D is the correct answer.

21.

En la figura dada, el hexágono $ABCDEF$ es equiángulo, $ABJI$ y $FEHG$ son cuadrados con áreas $18$ y $32$ respectivamente, $\triangle JBK$ es equilátero y $FE=BC.$ ¿Cuál es el área de $\triangle KBC$ ?

In the given figure hexagon $ABCDEF$ is equiangular, $ABJI$ and $FEHG$ are squares with areas $18$ and $32$ respectively, $\triangle JBK$ is equilateral and $FE=BC.$ What is the area of $\triangle KBC?$

$6\sqrt{2}$

$9$

$12$

$9\sqrt{2}$

$32$

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1510

Solución en video:

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Solución escrita:

El cuadrado de área $18$ tiene lado $JB=\sqrt{18}=3\sqrt2$ . Como $\triangle JBK$ es equilátero, $BK=3\sqrt2$ .

El cuadrado de área $32$ tiene lado $FE=\sqrt{32}=4\sqrt2$ . Como $FE=BC$ , tenemos $BC=4\sqrt2$ .

En la configuración del hexágono equiángulo, $BK\perp BC$ . Por lo tanto $[\triangle KBC]=\dfrac12(3\sqrt2)(4\sqrt2)=12.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The square with area $18$ has side length $JB=\sqrt{18}=3\sqrt2$ . Since $\triangle JBK$ is equilateral, $BK=3\sqrt2$ .

The square with area $32$ has side length $FE=\sqrt{32}=4\sqrt2$ . Since $FE=BC$ , we have $BC=4\sqrt2$ .

In the equiangular hexagon configuration, $BK\perp BC$ . Therefore $[\triangle KBC]=\dfrac12(3\sqrt2)(4\sqrt2)=12.$

Thus, C is the correct answer.

22.

El 1 de junio, un grupo de estudiantes está de pie en filas, con $15$ estudiantes en cada fila. El 2 de junio, el mismo grupo está de pie con todos los estudiantes en una sola fila larga. El 3 de junio, el mismo grupo está de pie con un solo estudiante en cada fila. El 4 de junio, el mismo grupo está de pie con $6$ estudiantes en cada fila. Este proceso continúa hasta el 12 de junio con un número diferente de estudiantes por fila cada día. Sin embargo, el 13 de junio, no pueden encontrar una nueva forma de organizar a los estudiantes. ¿Cuál es el menor número posible de estudiantes en el grupo?

On June 1, a group of students is standing in rows, with $15$ students in each row. On June 2, the same group is standing with all of the students in one long row. On June 3, the same group is standing with just one student in each row. On June 4, the same group is standing with $6$ students in each row. This process continues through June 12 with a different number of students per row each day. However, on June 13, they cannot find a new way of organizing the students. What is the smallest possible number of students in the group?

$21$

$30$

$60$

$90$

$1080$

Conceptos:conteo de factores mínimo común múltiplo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1460

Solución en video:

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Solución escrita:

Los posibles números de estudiantes por fila son exactamente los divisores positivos del número total de estudiantes. Como del 1 al 12 de junio se dan disposiciones diferentes y el 13 de junio no hay ninguna nueva, el número total de estudiantes debe tener exactamente $12$ divisores positivos.

El número debe ser divisible entre $15$ y $6$ , por lo tanto entre $\operatorname{lcm}(15,6)=30=2\cdot3\cdot5$ . Este número tiene solo $8$ divisores.

El menor múltiplo de $30$ con $12$ divisores es $60=2^2\cdot3\cdot5$ , que tiene $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ divisores.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The possible numbers of students per row are exactly the positive divisors of the total number of students. Since June 1 through June 12 give different arrangements and June 13 gives no new one, the total number of students must have exactly $12$ positive divisors.

The number must be divisible by both $15$ and $6$ , hence by $\operatorname{lcm}(15,6)=30=2\cdot3\cdot5$ . This number has only $8$ divisors.

The smallest multiple of $30$ with $12$ divisors is $60=2^2\cdot3\cdot5$ , which has $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ divisors.

Thus, C is the correct answer.

23.

Tom tiene doce papeletas que quiere poner en cinco vasos etiquetados $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E.$

Quiere que la suma de los números de las papeletas en cada vaso sea un entero. Además, quiere que los cinco enteros sean consecutivos y crecientes de $A$ a $E.$ Los números en los papeles son: $\begin{align*} &2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3,\\& 3, 3, 3, 3.5, 4, 4.5.\end{align*}$ Si una papeleta con $2$ va al vaso $E$ y una papeleta con $3$ va al vaso $B,$ ¿en qué vaso debe ir la papeleta con $3.5$ ?

Tom has twelve slips of paper which he wants to put into five cups labeled $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E.$

He wants the sum of the numbers on the slips in each cup to be an integer. Furthermore, he wants the five integers to be consecutive and increasing from $A$ to $E.$ The numbers on the papers are: $\begin{align*} &2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3,\\& 3, 3, 3, 3.5, 4, 4.5.\end{align*}$ If a slip with $2$ goes into cup $E$ and a slip with $3$ goes into cup $B,$ then the slip with $3.5$ must go into what cup?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1610

Solución en video:

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Solución escrita:

La suma de todas las papeletas es $35$ , así que las cinco sumas enteras consecutivas de los vasos deben promediar $7$ . Por lo tanto, los vasos $A,B,C,D,E$ deben tener sumas $5,6,7,8,9$ , respectivamente.

El vaso $B$ ya contiene un $3$ y debe sumar $6$ , así que debe contener otro $3$ . El vaso $E$ ya contiene un $2$ , así que las otras papeletas en $E$ deben sumar $7$ .

La papeleta $3.5$ no puede ir en $A$ , porque el vaso $A$ necesitaría otro $1.5$ . No puede ir en $B$ , que ya está lleno. No puede ir en $C$ ni en $E$ , porque cualquiera de ellos necesitaría entonces otro $3.5$ , y ninguna papeleta restante puede formar ese total. El vaso $D$ funciona, por ejemplo con $3.5+4.5=8$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The sum of all the slips is $35$ , so the five consecutive integer cup sums must average $7$ . Therefore cups $A,B,C,D,E$ must have sums $5,6,7,8,9$ , respectively.

Cup $B$ already contains a $3$ and must sum to $6$ , so it must contain another $3$ . Cup $E$ already contains a $2$ , so the other slips in $E$ must sum to $7$ .

The $3.5$ slip cannot go in $A$ , because cup $A$ would need another $1.5$ . It cannot go in $B$ , which is already full. It cannot go in $C$ or $E$ , because either would then need another $3.5$ , and no remaining slips can make that total. Cup $D$ works, for example with $3.5+4.5=8$ .

Thus, D is the correct answer.

24.

Una liga de béisbol consta de dos divisiones de cuatro equipos. Cada equipo juega contra cada uno de los otros equipos de su división $N$ partidos. Cada equipo juega contra cada equipo de la otra división $M$ partidos, con $N > 2M$ y $M > 4.$ Cada equipo juega un calendario de $76$ partidos.

¿Cuántos partidos juega un equipo dentro de su propia división?

A baseball league consists of two four-team divisions. Each team plays every other team in its division $N$ games. Each team plays every team in the other division $M$ games with $N > 2M$ and $M > 4.$ Each team plays a $76$ game schedule.

How many games does a team play within its own division?

$36$

$48$

$54$

$60$

$72$

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1560

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada equipo juega $3N$ partidos dentro de su propia división y $4M$ partidos contra la otra división, así que $3N+4M=76.$

Como $N>2M$ , tenemos $3N>6M$ , y por lo tanto $76=3N+4M>10M$ . Así $M<7.6$ . Junto con $M>4$ , esto da $M\in\{5,6,7\}$ .

Reduciendo $3N+4M=76$ módulo $3$ se obtiene $M\equiv1\pmod3$ , así que $M=7$ . Por lo tanto, el equipo juega $4M=28$ partidos fuera de la división y $76-28=48$ partidos de división.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Each team plays $3N$ games within its own division and $4M$ games against the other division, so $3N+4M=76.$

Since $N>2M$ , we have $3N>6M$ , and hence $76=3N+4M>10M$ . Thus $M<7.6$ . Together with $M>4$ , this gives $M\in\{5,6,7\}$ .

Reducing $3N+4M=76$ modulo $3$ gives $M\equiv1\pmod3$ , so $M=7$ . Therefore the team plays $4M=28$ non-division games and $76-28=48$ division games.

Thus, B is the correct answer.

25.

Se cortan cuadrados de una pulgada de las esquinas de este cuadrado de $5$ pulgadas. ¿Cuál es el área en pulgadas cuadradas del cuadrado más grande que se puede ajustar en el espacio restante?

One-inch squares are cut from the corners of this $5$ inch square. What is the area in square inches of the largest square that can be fitted into the remaining space?

$9$

$12\dfrac{1}{2}$

$15$

$15\dfrac{1}{2}$

$17$

Conceptos:cuadrado (geometría)descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1590

Solución en video:

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Solución escrita:

El cuadrado ajustado más grande está inclinado de modo que rodea el cuadrado central $3\times3$ y añade cuatro triángulos rectángulos congruentes, uno a lo largo de cada lado.

El cuadrado central tiene área $3\cdot3=9$ . Cada triángulo añadido tiene catetos $3$ y $1$ , así que los cuatro triángulos tienen área total $4\left(\dfrac{3\cdot1}{2}\right)=6.$

El cuadrado ajustado tiene área $9+6=15$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The largest fitted square is tilted so that it surrounds the central $3\times3$ square and adds four congruent right triangles, one along each side.

The central square has area $3\cdot3=9$ . Each added triangle has legs $3$ and $1$ , so the four triangles have total area $4\left(\dfrac{3\cdot1}{2}\right)=6.$

The fitted square has area $9+6=15$ .

Thus, C is the correct answer.