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Problemas del 2015 AMC 8

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1.

¿Cuántas yardas cuadradas de alfombra se necesitan para cubrir un piso rectangular que mide 1212 pies de largo y 99 pies de ancho? (Hay 33 pies en una yarda.)
How many square yards of carpet are required to cover a rectangular floor that is 1212 feet long and 99 feet wide? (There are 33 feet in a yard.)
12 12
36 36
108 108
324 324
972 972
Respuesta: A
Conceptos:conversión de unidadesárea
Nivel de dificultad: 370
Pista pequeña:
Primero convierte las dos longitudes de los lados de pies a yardas
Convert both side lengths from feet to yards first.
Pista grande:
Luego multiplica las dos medidas en yardas para obtener yardas cuadradas
Then multiply the two yard measurements to get square yards.
Solución en video:
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Solución escrita:
Como un lado mide 1212 pies, serían 123=4\dfrac{12}{3} = 4 yardas.
Como otro lado mide 99 pies, serían 93=3\dfrac{9}{3} = 3 yardas.
Como las dimensiones son 44 yardas por 33 yardas, el área es 4⋅3=12 4\cdot3=12 yardas cuadradas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Since one side is 1212 feet, it would be 123=4\dfrac{12}{3} = 4 yards.
Since another side is 99 feet, it would be 93=3\dfrac{9}{3} = 3 yards.
Since the dimensions are 44 yards by 33 yards, the area is 4⋅3=12 4\cdot3=12 square yards.
Thus, the correct answer is A .

2.

El punto OO es el centro del octágono regular ABCDEFGH,ABCDEFGH, y XX es el punto medio del lado AB‾.\overline{AB}. ¿Qué fracción del área del octágono está sombreada?
Point OO is the center of the regular octagon ABCDEFGH,ABCDEFGH, and XX is the midpoint of the side AB‾.\overline{AB}. What fraction of the area of the octagon is shaded?
1132\dfrac{11}{32}
38\dfrac{3}{8}
1332\dfrac{13}{32}
716\dfrac{7}{16}
1532\dfrac{15}{32}
Respuesta: D
Conceptos:polígono regulardescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
Traza segmentos desde OO hasta cada vértice del octágono
Draw segments from OO to every vertex of the octagon.
Pista grande:
La región sombreada contiene tres triángulos centrales completos y la mitad de otro
The shaded region contains three full central triangles and half of another.
Solución en video:
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Solución escrita:
Primero observa que se pueden formar 88 triángulos de igual tamaño con OO y dos puntos consecutivos cualesquiera. Por lo tanto, cada uno ocupa 18\dfrac {1}{8} del área total del octágono.
El área sombreada tiene tres triángulos completos y la mitad del triángulo ABO.ABO. Por lo tanto, el área sombreada es 3.58=716\dfrac{3.5}{8} = \dfrac{7}{16} del área total del octágono.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
First notice that there are 88 equally sized triangles that can be created with OO and any two consecutive points. Therefore, they each take up 18\dfrac {1}{8} of the total area of the octagon.
The shaded area has three complete triangles and half of the triangle ABO.ABO. Therefore, the shaded area is 3.58=716\dfrac{3.5}{8} = \dfrac{7}{16} of the total area of the octagon.
Thus, the correct answer is D .

3.

Jack y Jill van a nadar a una piscina que está a una milla de su casa. Salen de casa al mismo tiempo. Jill va en bicicleta a la piscina a una velocidad constante de 1010 millas por hora. Jack camina a la piscina a una velocidad constante de 44 millas por hora. ¿Cuántos minutos antes que Jack llega Jill?
Jack and Jill are going swimming at a pool that is one mile from their house. They leave home simultaneously. Jill rides her bicycle to the pool at a constant speed of 1010 miles per hour. Jack walks to the pool at a constant speed of 44 miles per hour. How many minutes before Jack does Jill arrive?
5 5
6 6
8 8
9 9
10 10
Respuesta: D
Conceptos:distancia, velocidad y tiempo
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Halla cuántos minutos tarda cada persona en recorrer una milla
Find how many minutes each person takes to travel one mile.
Pista grande:
Resta el tiempo de viaje de Jill al tiempo de viaje de Jack
Subtract Jill’s travel time from Jack’s travel time.
Solución en video:
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Solución escrita:
Jack viaja a razón de 44 millas por 6060 minutos. Por lo tanto, tarda 604=15\dfrac{60}{4} = 15 minutos en llegar a la piscina.
Jill viaja a razón de 1010 millas por 6060 minutos. Por lo tanto, tarda 6010=6\dfrac{60}{10} = 6 minutos en llegar a la piscina.
Por lo tanto, la diferencia entre sus tiempos es 15−6=915-6 = 9 minutos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Jack travels at a rate of 44 miles per 6060 minutes. Therefore, it takes him 604=15\dfrac{60}{4} = 15 minutes to get to the pool.
Jill travels at a rate of 1010 miles per 6060 minutes. Therefore it takes her 6010=6\dfrac{60}{10} = 6 minutes to get to the pool.
Therefore, the difference in their times is 15−6=915-6 = 9 minutes.
Thus, the correct answer is D .

4.

El equipo de ajedrez de la Escuela Secundaria Centerville consta de dos niños y tres niñas. Una fotógrafa quiere tomar una foto del equipo para el periódico local. Decide sentarlos en fila con un niño en cada extremo y las tres niñas en el medio. ¿Cuántas de estas disposiciones son posibles?
The Centerville Middle School chess team consists of two boys and three girls. A photographer wants to take a picture of the team to appear in the local newspaper. She decides to have them sit in a row with a boy at each end and the three girls in the middle. How many such arrangements are possible?
2 2
4 4
5 5
6 6
12 12
Respuesta: E
Conceptos:permutacionesprincipio de multiplicación
Nivel de dificultad: 770
Pista pequeña:
Primero coloca a los dos niños en los dos extremos
Place the two boys at the two ends first.
Pista grande:
Luego ordena a las tres niñas en los asientos del medio
Then arrange the three girls in the middle seats.
Solución en video:
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Solución escrita:
Hay 2!=22! = 2 maneras de colocar a los dos niños en los dos extremos. Hay 3!=63! = 6 maneras de ordenar a las tres niñas en los asientos del medio.
Así, el número total de disposiciones es 2⋅6=12.2\cdot6=12.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
There are 2!=22! = 2 ways to place the two boys at the two ends. There are 3!=63! = 6 ways to arrange the three girls in the middle seats.
Thus the total number of arrangements is 2⋅6=12.2\cdot6=12.
Thus, E is the correct answer.

5.

El equipo de baloncesto de Billy anotó los siguientes puntos durante los primeros 1111 partidos de la temporada:
42,42, 47,47, 53,53, 53,53, 58,58, 58,58, 58,58, 61,61, 64,64, 65,65, 73.73.
Si su equipo anota 4040 en el partido número 12,12, ¿cuál de las siguientes estadísticas mostrará un aumento?
Billy’s basketball team scored the following points over the course of the first 1111 games of the season:
42,42, 47,47, 53,53, 53,53, 58,58, 58,58, 58,58, 61,61, 64,64, 65,65, 73.73.
If his team scores 4040 in the 1212th game, which of the following statistics will show an increase?
rango
range
mediana
median
media
mean
moda
mode
rango medio
mid-range
Respuesta: A
Conceptos:rango
Nivel de dificultad: 770
Pista pequeña:
Agregar 4040 crea una nueva puntuación más baja
Adding 4040 creates a new lowest score.
Pista grande:
Verifica qué estadística depende de la diferencia entre la puntuación más alta y la más baja
Check which statistic depends on the difference between the largest and smallest scores.
Solución en video:
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Solución escrita:
Al considerar los 1212 partidos, 40,40, proveniente del partido 12,12, será la puntuación más baja. Por lo tanto, comparado con el rango de solo los primeros 1111 partidos, el rango de los 1212 partidos aumentaría de 73−42=3173-42 = 31 a 73−40=33.73-40=33.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
When considering all 1212 games, 40,40, from the 1212th game, will be the lowest score. Therefore, compared to the range of just the first 1111 games, the range of all 1212 games would increase from 73−42=3173-42 = 31 to 73−40=33.73-40=33.
Thus, the correct answer is A .

6.

En △ABC,\triangle ABC, AB=BC=29,AB=BC=29, y AC=42.AC=42. ¿Cuál es el área de △ABC\triangle ABC?
In △ABC,\triangle ABC, AB=BC=29,AB=BC=29, and AC=42.AC=42. What is the area of △ABC?\triangle ABC?
100 100
420 420
500 500
609 609
701 701
Respuesta: B
Conceptos:triángulo isóscelesTeorema de Pitágorasárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1140
Pista pequeña:
Traza la altura desde BB hasta ACAC
Drop the altitude from BB to AC.AC.
Pista grande:
La altura biseca a AC,AC, dando un triángulo rectángulo con hipotenusa 29.29.
The altitude bisects AC,AC, giving a right triangle with hypotenuse 29.29.
Solución en video:
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Solución escrita:
Traza la altura desde BB hasta AC,AC, que corta a ACAC en X.X. Como AB=BC,AB=BC, el punto XX es el punto medio de AC,AC, así que AX=21.AX=21.
En el triángulo rectángulo ABX,ABX, la altura es BX=292−212=400=20. \begin{aligned} BX &= \sqrt{29^2-21^2} \\ &= \sqrt{400} = 20. \end{aligned}
El área de △ABC\triangle ABC es 12⋅42⋅20=420.\dfrac12\cdot42\cdot20=420.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Drop the altitude from BB to AC,AC, meeting ACAC at X.X. Since AB=BC,AB=BC, point XX is the midpoint of AC,AC, so AX=21.AX=21.
In right triangle ABX,ABX, the altitude is BX=292−212=400=20. \begin{aligned} BX &= \sqrt{29^2-21^2} \\ &= \sqrt{400} = 20. \end{aligned}
The area of △ABC\triangle ABC is 12⋅42⋅20=420.\dfrac12\cdot42\cdot20=420.
Thus, B is the correct answer.

7.

Cada una de dos cajas contiene tres fichas numeradas 1,1, 2,2, 3.3. Se saca una ficha al azar de cada caja y se multiplican los números de las dos fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que su producto sea par?
Each of two boxes contains three chips numbered 1,1, 2,2, 3.3. A chip is drawn randomly from each box and the numbers on the two chips are multiplied. What is the probability that their product is even?
19 \dfrac{1}{9}
29 \dfrac{2}{9}
49 \dfrac{4}{9}
12 \dfrac{1}{2}
59 \dfrac{5}{9}
Respuesta: E
Conceptos:probabilidad complementariaparidad
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Puede ser más fácil contar el complemento: un producto impar
It may be easier to count the complement: an odd product.
Pista grande:
El producto es impar solo si las dos fichas sacadas son impares
The product is odd only if both drawn chips are odd.
Solución en video:
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Solución escrita:
El producto es impar solo cuando ambas fichas son impares. Cada caja tiene dos fichas impares, 11 y 3,3, de tres fichas, así que la probabilidad de un producto impar es (23)2=49.(\dfrac23)^2=\dfrac49.
La probabilidad de un producto par es el complemento, 1−49=59.1-\dfrac49=\dfrac59.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
The product is odd only when both chips are odd. Each box has two odd chips, 11 and 3,3, out of three chips, so the probability of an odd product is (23)2=49.(\dfrac23)^2=\dfrac49.
The probability of an even product is the complement, 1−49=59.1-\dfrac49=\dfrac59.
Thus, E is the correct answer.

8.

¿Cuál es el menor número entero mayor que el perímetro de cualquier triángulo con un lado de longitud 5 5 y un lado de longitud 1919?
What is the smallest whole number larger than the perimeter of any triangle with a side of length 5 5 and a side of length 19?19?
24 24
29 29
43 43
48 48
57 57
Respuesta: D
Conceptos:desigualdad triangularperímetro
Nivel de dificultad: 980
Pista pequeña:
Usa la desigualdad triangular para acotar el tercer lado
Use the triangle inequality to bound the third side.
Pista grande:
El perímetro puede acercarse arbitrariamente al doble de 5+19,5+19, pero no igualarlo
The perimeter can get arbitrarily close to twice 5+19,5+19, but not equal it.
Solución en video:
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Solución escrita:
Sea ss la longitud del tercer lado. La desigualdad triangular da s<5+19=24,s<5+19=24, así que el perímetro satisface 5+19+s<48.5+19+s<48.
Los perímetros pueden acercarse arbitrariamente a 4848 desde abajo, así que el menor número entero mayor que el perímetro de cualquier triángulo de este tipo es 48.48.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let the third side length be s.s. The triangle inequality gives s<5+19=24,s<5+19=24, so the perimeter satisfies 5+19+s<48.5+19+s<48.
Perimeters can be made arbitrarily close to 4848 from below, so the smallest whole number larger than the perimeter of any such triangle is 48.48.
Thus, D is the correct answer.

9.

En su primer día de trabajo, Janabel vendió un widget. El segundo día, vendió tres widgets. El tercer día, vendió cinco widgets, y cada día siguiente vendió dos widgets más que el día anterior. ¿Cuántos widgets en total había vendido Janabel después de trabajar 2020 días?
On her first day of work, Janabel sold one widget. On day two, she sold three widgets. On day three, she sold five widgets, and on each succeeding day, she sold two more widgets than she had sold on the previous day. How many widgets in total had Janabel sold after working 2020 days?
39 39
40 40
210 210
400 400
401 401
Respuesta: D
Conceptos:sucesión aritméticasumatoria
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Las ventas diarias son los primeros 2020 números impares positivos
The daily sales are the first 2020 positive odd numbers.
Pista grande:
Empareja el primer y el último término, el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente
Pair the first and last terms, second and next-to-last terms, and so on.
Solución en video:
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Solución escrita:
Queremos calcular 1+3+⋯+39. 1+3 + \cdots + 39. Al emparejar los términos desde los extremos, obtenemos (1+39)+(3+37)+⋯+(19+21). \begin{aligned} &(1+39)+(3+37)+\cdots\\ &\qquad +(19+21). \end{aligned} Hay 1010 pares y cada par suma 40.40. Por lo tanto, la suma es 10⋅40=400. 10\cdot40=400.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
We want to find 1+3+⋯+39.1+3 + \cdots + 39. Pairing terms from the ends gives (1+39)+(3+37)+⋯+(19+21).\begin{aligned} &(1+39)+(3+37)+\cdots\\ &\qquad +(19+21). \end{aligned} There are 1010 pairs, and each pair sums to 40.40. Therefore, the sum is 10⋅40=400.10\cdot40=400.
Thus, the correct answer is D .

10.

¿Cuántos enteros entre 10001000 y 99999999 tienen cuatro dígitos distintos?
How many integers between 10001000 and 99999999 have four distinct digits?
3024 3024
4536 4536
5040 5040
6480 6480
6561 6561
Respuesta: B
Conceptos:principio de multiplicacióndígitos
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
Elige primero el dígito de las unidades de millar
Choose the thousands digit first.
Pista grande:
Después de eso, cada dígito posterior debe evitar todos los dígitos ya elegidos
After that, each later digit must avoid all previously chosen digits.
Solución en video:
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Solución escrita:
Primero, hay 99 dígitos para elegir para las unidades de millar, ya que no se puede elegir 0.0.
Luego, después de eso, hay 99 maneras de elegir el dígito de las centenas, 88 maneras de elegir el dígito de las decenas y 77 maneras de elegir el dígito de las unidades. Por lo tanto, obtenemos 9⋅9⋅8⋅7=45369\cdot9\cdot8\cdot7 = 4536 maneras de elegir tal entero.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
First, there are 99 digits to choose for the thousands digit since 00 can’t be chosen.
Then, after that, there are 99 ways to choose the hundreds digit, 88 ways to choose the tens digit, and 77 ways to choose the ones digit. Therefore, we get 9⋅9⋅8⋅7=45369\cdot9\cdot8\cdot7 = 4536 ways to choose such an integer.
Thus, the correct answer is B .

11.

En el pequeño país de Mathland, todas las matrículas de automóvil tienen cuatro símbolos. El primero debe ser una vocal (A, E, I, O o U), el segundo y el tercero deben ser dos letras diferentes entre las 2121 no vocales, y el cuarto debe ser un dígito (0 a 99). Si los símbolos se eligen al azar sujetos a estas condiciones, ¿cuál es la probabilidad de que la matrícula diga “AMC8”?
In the small country of Mathland, all automobile license plates have four symbols. The first must be a vowel (A, E, I, O, or U), the second and third must be two different letters among the 2121 non-vowels, and the fourth must be a digit (0 through 99). If the symbols are chosen at random subject to these conditions, what is the probability that the plate will read “AMC8”?
122,050 \dfrac{1}{22{,}050}
121,000 \dfrac{1}{21{,}000}
110,500 \dfrac{1}{10{,}500}
12,100 \dfrac{1}{2{,}100}
11,050 \dfrac{1}{1{,}050}
Respuesta: B
Conceptos:probabilidad básicaprincipio de multiplicación
Nivel de dificultad: 1100
Pista pequeña:
Cuenta todas las matrículas permitidas por las reglas
Count all license plates allowed by the rules.
Pista grande:
Solo una de esas matrículas es exactamente AMC8
Only one of those plates is exactly AMC8.
Solución en video:
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Solución escrita:
Hay 55 opciones para el primer símbolo, 2121 para el segundo, 2020 para el tercero porque debe ser una no vocal diferente, y 1010 para el dígito final.
Así, hay 5⋅21⋅20⋅10=21,0005\cdot21\cdot20\cdot10=21{,}000 matrículas posibles. Exactamente una de ellas es AMC8, así que la probabilidad es 121,000.\dfrac{1}{21{,}000}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
There are 55 choices for the first symbol, 2121 choices for the second, 2020 choices for the third because it must be a different non-vowel, and 1010 choices for the final digit.
Thus there are 5⋅21⋅20⋅10=21,0005\cdot21\cdot20\cdot10=21{,}000 possible plates. Exactly one of these is AMC8, so the probability is 121,000.\dfrac{1}{21{,}000}.
Thus, B is the correct answer.

12.

¿Cuántos pares de aristas paralelas, como AB‾\overline{AB} y GH‾\overline{GH} o EH‾\overline{EH} y FG‾,\overline{FG}, tiene un cubo?
How many pairs of parallel edges, such as AB‾\overline{AB} and GH‾\overline{GH} or EH‾\overline{EH} and FG‾,\overline{FG}, does a cube have?
6 6
1212
18 18
2424
3636
Respuesta: C
Conceptos:geometría del cuboconteo de pares
Nivel de dificultad: 1030
Pista pequeña:
Agrupa las aristas del cubo por dirección
Group cube edges by direction.
Pista grande:
Cada arista es paralela a otras tres aristas, pero contar pares las cuenta dos veces
Each edge is parallel to three other edges, but pair-counting double counts.
Solución en video:
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Solución escrita:
Un cubo tiene 1212 aristas. Para cualquier arista, hay otras 33 aristas paralelas a ella.
Esto cuenta cada par dos veces, una por cada arista del par, así que el número de pares de aristas paralelas es 12⋅32=18.\dfrac{12\cdot3}{2}=18.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
A cube has 1212 edges. For any edge, there are 33 other edges parallel to it.
This counts each pair twice, once from each edge in the pair, so the number of pairs of parallel edges is 12⋅32=18.\dfrac{12\cdot3}{2}=18.
Thus, C is the correct answer.

13.

¿Cuántos subconjuntos de dos elementos se pueden quitar del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} de modo que la media de los nueve números restantes sea 66?
How many subsets of two elements can be removed from the set {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} so that the mean (average) of the nine remaining numbers is 6?6?
11
22
33
55
66
Respuesta: D
Conceptos:mediaenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 1030
Pista pequeña:
Halla la suma que deben tener los nueve números restantes
Find the sum the remaining nine numbers must have.
Pista grande:
Entonces los dos números quitados deben tener una suma fija
So the two removed numbers must have a fixed sum.
Solución en video:
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Solución escrita:
El conjunto original tiene suma 1+2+⋯+11=66.1+2+\cdots+11=66. Después de quitar dos números, quedan 99 números que deben tener media 6,6, así que su suma debe ser 9⋅6=54.9\cdot6=54.
Por lo tanto, los dos números quitados deben tener suma 66−54=12.66-54=12. Los posibles subconjuntos de dos elementos son {1,11},\{1,11\}, {2,10},\{2,10\}, {3,9},\{3,9\}, {4,8},\{4,8\}, {5,7},\{5,7\}, así que hay 55 opciones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The original set has sum 1+2+⋯+11=66.1+2+\cdots+11=66. After removing two numbers, 99 numbers remain and must have mean 6,6, so their sum must be 9⋅6=54.9\cdot6=54.
Therefore the two removed numbers must have sum 66−54=12.66-54=12. The possible two-element subsets are {1,11},\{1,11\}, {2,10},\{2,10\}, {3,9},\{3,9\}, {4,8},\{4,8\}, {5,7},\{5,7\}, so there are 55 choices.
Thus, D is the correct answer.

14.

¿Cuál de los siguientes enteros no se puede escribir como la suma de cuatro enteros impares consecutivos?
Which of the following integers cannot be written as the sum of four consecutive odd integers?
16 16
40 40
72 72
100100
200 200
Respuesta: D
Conceptos:divisibilidadmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 980
Pista pequeña:
Escribe algebraicamente los cuatro enteros impares consecutivos
Write the four consecutive odd integers algebraically.
Pista grande:
Su suma siempre es un múltiplo de 88
Their sum is always a multiple of 8.8.
Solución en video:
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Solución escrita:
Sean los cuatro enteros impares consecutivos 2k+1,2k+1, 2k+3,2k+3, 2k+5,2k+5, y 2k+7.2k+7. Su suma es 8k+16=8(k+2).8k+16=8(k+2).
Así, cualquier suma de este tipo debe ser un múltiplo de 8.8. La única opción de respuesta que no es divisible entre 88 es 100.100.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let the four consecutive odd integers be 2k+1,2k+1, 2k+3,2k+3, 2k+5,2k+5, and 2k+7.2k+7. Their sum is 8k+16=8(k+2).8k+16=8(k+2).
So any such sum must be a multiple of 8.8. The only answer choice that is not divisible by 88 is 100.100.
Thus, D is the correct answer.

15.

En la Escuela Secundaria Euler, 198198 estudiantes votaron sobre dos cuestiones en un referéndum escolar con los siguientes resultados: 149149 votaron a favor de la primera cuestión y 119119 votaron a favor de la segunda cuestión. Si hubo exactamente 2929 estudiantes que votaron en contra de ambas cuestiones, ¿cuántos estudiantes votaron a favor de ambas cuestiones?
At Euler Middle School, 198198 students voted on two issues in a school referendum with the following results. 149149 voted in favor of the first issue and 119119 voted in favor of the second issue. If there were exactly 2929 students who voted against both issues, how many students voted in favor of both issues?
49 49
70 70
79 79
99 99
149 149
Respuesta: D
Conceptos:inclusión-exclusión
Nivel de dificultad: 1100
Pista pequeña:
Primero halla cuántos estudiantes votaron a favor de al menos una cuestión
First find how many students voted for at least one issue.
Pista grande:
Usa inclusión-exclusión sobre los dos conteos de votos a favor
Use inclusion-exclusion on the two yes-vote counts.
Solución en video:
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Solución escrita:
Como 2929 estudiantes votaron en contra de ambas, sabemos que 198−29=169198-29 = 169 personas votaron a favor de al menos una.
Como sabemos que 149149 estudiantes votaron a favor de la primera cuestión, 119119 estudiantes votaron a favor de la segunda, y 169169 estudiantes votaron a favor de al menos una, concluimos que el número de estudiantes que votaron a favor de ambas es 149+119−169=99.149+119-169 = 99.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since 2929 students voted against both, we know that 198−29=169198-29 = 169 people voted for at least one.
As we know that 149149 students voted for the first issue, and 119119 students voted for the second issue, and 169169 students that voted for at least one issue, we conclude that the number of students that voted for both is 149+119−169=99.149+119-169 = 99.
Thus, the correct answer is D .

16.

En un programa de mentoría de secundaria, algunos de los estudiantes de sexto grado están emparejados con un estudiante de noveno grado como compañero. A ningún estudiante de noveno grado se le asigna más de un compañero de sexto grado. Si 13\dfrac{1}{3} de todos los estudiantes de noveno grado están emparejados con 25\dfrac{2}{5} de todos los estudiantes de sexto grado, ¿qué fracción del número total de estudiantes de sexto y noveno grado tiene un compañero?
In a middle-school mentoring program, a number of the sixth graders are paired with a ninth-grade student as a buddy. No ninth grader is assigned more than one sixth-grade buddy. If 13\dfrac{1}{3} of all the ninth graders are paired with 25\dfrac{2}{5} of all the sixth graders, what fraction of the total number of sixth and ninth graders have a buddy?
215 \dfrac{2}{15}
411 \dfrac{4}{11}
1130 \dfrac{11}{30}
38 \dfrac{3}{8}
1115 \dfrac{11}{15}
Respuesta: B
Conceptos:razón y proporciónfracción
Nivel de dificultad: 1300
Pista pequeña:
Sean ss y nn los números de estudiantes de sexto y noveno grado
Let ss and nn be the numbers of sixth and ninth graders.
Pista grande:
Los estudiantes de sexto grado emparejados y los de noveno grado emparejados son el mismo número de parejas
The paired sixth graders and paired ninth graders are the same number of pairs.
Solución en video:
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Solución escrita:
Supongamos que hay ss estudiantes de sexto grado y nn de noveno grado. El número de estudiantes de noveno grado emparejados es igual al número de estudiantes de sexto grado emparejados, así que 13n=25s.\dfrac13 n=\dfrac25 s.
Esto da 5n=6s,5n=6s, así que n:s=6:5.n:s=6:5. Por lo tanto, el número total de estudiantes es proporcional a 1111 partes.
Los estudiantes de noveno grado emparejados constituyen 13⋅611=211\dfrac13\cdot\dfrac6{11}=\dfrac2{11} de todos los estudiantes, y los de sexto grado emparejados constituyen 25⋅511=211\dfrac25\cdot\dfrac5{11}=\dfrac2{11} de todos los estudiantes. En total, 411\dfrac4{11} de los estudiantes tienen un compañero.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Let there be ss sixth graders and nn ninth graders. The number of paired ninth graders equals the number of paired sixth graders, so 13n=25s.\dfrac13 n=\dfrac25 s.
This gives 5n=6s,5n=6s, so n:s=6:5.n:s=6:5. The total number of students is therefore proportional to 1111 parts.
The paired ninth graders make up 13⋅611=211\dfrac13\cdot\dfrac6{11}=\dfrac2{11} of all students, and the paired sixth graders make up 25⋅511=211\dfrac25\cdot\dfrac5{11}=\dfrac2{11} of all students. Altogether, 411\dfrac4{11} of the students have a buddy.
Thus, B is the correct answer.

17.

El padre de Jeremy lo lleva a la escuela en el tráfico de la hora pico en 2020 minutos. Un día no hay tráfico, así que su padre puede conducir 1818 millas por hora más rápido y lo lleva a la escuela en 1212 minutos. ¿Qué distancia en millas hay hasta la escuela?
Jeremy’s father drives him to school in rush hour traffic in 2020 minutes. One day there is no traffic, so his father can drive him 1818 miles per hour faster and gets him to school in 1212 minutes. How far in miles is it to school?
4 4
6 6
8 8
9 9
12 12
Respuesta: D
Conceptos:distancia, velocidad y tiempoecuación lineal
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Convierte 2020 minutos y 1212 minutos a horas
Convert 2020 minutes and 1212 minutes to hours.
Pista grande:
Iguala las dos expresiones de distancia
Set the two distance expressions equal.
Solución en video:
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Solución escrita:
Sea ss la velocidad en la hora pico en millas por hora. El viaje de 2020 minutos en hora pico dura 13\dfrac13 de hora, así que la distancia es s3.\dfrac{s}{3}.
Sin tráfico, la velocidad es s+18s+18 millas por hora y el viaje dura 1212 minutos, o 15\dfrac15 de hora. La misma distancia es s+185.\dfrac{s+18}{5}.
Iguala las distancias: s3=s+185. \dfrac{s}{3}=\dfrac{s+18}{5}. Entonces 5s=3s+54,5s=3s+54, así que s=27.s=27. La distancia es 273=9\dfrac{27}{3}=9 millas.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let the rush-hour speed be ss miles per hour. The 2020-minute rush-hour trip takes 13\dfrac13 hour, so the distance is s3.\dfrac{s}{3}.
Without traffic, the speed is s+18s+18 miles per hour and the trip takes 1212 minutes, or 15\dfrac15 hour. The same distance is s+185.\dfrac{s+18}{5}.
Set the distances equal: s3=s+185.\dfrac{s}{3}=\dfrac{s+18}{5}. Then 5s=3s+54,5s=3s+54, so s=27.s=27. The distance is 273=9\dfrac{27}{3}=9 miles.
Thus, D is the correct answer.

18.

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término después del primero se obtiene sumando una constante al término anterior. Por ejemplo, 2,2, 5,5, 8,8, 11,11, 1414 es una progresión aritmética de cinco términos, en la que el primer término es 22 y se suma la constante 3.3. Cada fila y cada columna de este arreglo 5×55\times5 es una progresión aritmética de cinco términos. ¿Cuál es el valor de XX?
An arithmetic sequence is a sequence in which each term after the first is obtained by adding a constant to the previous term. For example, 2,2, 5,5, 8,8, 11,11, 1414 is an arithmetic sequence with five terms, in which the first term is 22 and the constant 33 is added. Each row and each column in this 5×55\times5 array is an arithmetic sequence with five terms. What is the value of X?X?
21 21
31 31
36 36
40 40
42 42
Respuesta: B
Conceptos:sucesión aritmética
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
En una progresión aritmética de cinco términos, el término del medio es el promedio del primer y el último término
In a five-term arithmetic sequence, the middle term is the average of the first and last terms.
Pista grande:
Aplica ese hecho a la fila superior, la fila inferior y luego la columna del medio
Apply that fact to the top row, bottom row, and then the middle column.
Solución en video:
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Solución escrita:
En cualquier progresión aritmética de cinco términos, el término del medio es el promedio del primer y el último término.
La entrada del medio de la fila superior es 1+252=13,\dfrac{1+25}{2}=13, y la entrada del medio de la fila inferior es 17+812=49.\dfrac{17+81}{2}=49.
Ahora aplica el mismo hecho a la columna del medio: X=13+492=31.X=\dfrac{13+49}{2}=31.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
In any five-term arithmetic sequence, the middle term is the average of the first and last terms.
The middle entry of the top row is 1+252=13,\dfrac{1+25}{2}=13, and the middle entry of the bottom row is 17+812=49.\dfrac{17+81}{2}=49.
Now apply the same fact to the middle column: X=13+492=31.X=\dfrac{13+49}{2}=31.
Thus, B is the correct answer.

19.

Un triángulo con vértices A=(1,3),A=(1,3), B=(5,1),B=(5,1), y C=(4,4)C=(4,4) se dibuja en una cuadrícula 6×5.6\times5. ¿Qué fracción de la cuadrícula cubre el triángulo?
A triangle with vertices at A=(1,3),A=(1,3), B=(5,1),B=(5,1), and C=(4,4)C=(4,4) is plotted on a 6×56\times5 grid. What fraction of the grid is covered by the triangle?
16 \dfrac{1}{6}
15 \dfrac{1}{5}
14 \dfrac{1}{4}
13 \dfrac{1}{3}
12 \dfrac{1}{2}
Respuesta: A
Conceptos:geometría analíticaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1320
Pista pequeña:
Coloca el triángulo dentro de un pequeño rectángulo alineado con la cuadrícula
Put the triangle inside a small rectangle aligned to the grid.
Pista grande:
Resta al rectángulo los tres triángulos rectángulos de las esquinas
Subtract the three corner right triangles from the rectangle.
Solución en video:
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Solución escrita:
El área total de la cuadrícula es 6⋅5=30.6\cdot5=30. Para hallar el área del triángulo, se coloca dentro del rectángulo de base 44 y altura 33 que se muestra a continuación.
El rectángulo tiene área 4⋅3=12.4\cdot3=12. Los tres triángulos de las esquinas tienen áreas 12(4)(2)=4,\dfrac12(4)(2)=4, 12(1)(3)=32,\dfrac12(1)(3)=\dfrac32, y 12(3)(1)=32.\dfrac12(3)(1)=\dfrac32. Por tanto, [△ABC]=12−4−32−32=5.\begin{aligned} [\triangle ABC] &= 12-4-\dfrac32-\dfrac32\\ &=5. \end{aligned}
Por lo tanto, la fracción del área es 530=16.\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The total area of the grid is 6⋅5=30.6\cdot5=30. To find the area of the triangle, place it inside the 44-by-33 rectangle shown below.
The rectangle has area 4⋅3=12.4\cdot3=12. The three corner triangles have areas 12(4)(2)=4,\dfrac12(4)(2)=4, 12(1)(3)=32,\dfrac12(1)(3)=\dfrac32, and 12(3)(1)=32.\dfrac12(3)(1)=\dfrac32. Therefore, [△ABC]=12−4−32−32=5.\begin{aligned} [\triangle ABC] &= 12-4-\dfrac32-\dfrac32\\ &=5. \end{aligned}
Therefore, the fraction of the area is 530=16.\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .
Thus, the correct answer is A .

20.

Ralph fue a la tienda y compró 1212 pares de calcetines por un total de $24\$24. Algunos de los calcetines que compró costaban $1\$1 el par, algunos costaban $3\$3 el par, y algunos costaban $4\$4 el par. Si compró al menos un par de cada tipo, ¿cuántos pares de calcetines de $1\$1 compró Ralph?
Ralph went to the store and bought 1212 pairs of socks for a total of $24\$24. Some of the socks he bought cost $1\$1 a pair, some of the socks he bought cost $3\$3 a pair, and some of the socks he bought cost $4\$4 a pair. If he bought at least one pair of each type, how many pairs of $1\$1 socks did Ralph buy?
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Respuesta: D
Conceptos:sistema de ecuacionesaritmética modular
Nivel de dificultad: 1390
Pista pequeña:
Usa variables para los números de pares de $1,\$1, $3,\$3, y $4\$4
Let the numbers of $1,\$1, $3,\$3, and $4\$4 pairs be variables.
Pista grande:
Resta la ecuación del conteo de pares a la ecuación del costo
Subtract the pair-count equation from the cost equation.
Solución en video:
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Solución escrita:
Sean a,a, b,b, y cc los números de pares de $1,\$1, $3,\$3, y $4,\$4, respectivamente. Entonces a+b+c=12,a+b+c=12, a+3b+4c=24.a+3b+4c=24.
Restando se obtiene 2b+3c=12.2b+3c=12. Como se compró al menos un par de cada tipo, b>0b>0 y c>0.c>0. Además 3c<12,3c<12, así que c<4.c<4. Módulo 2,2, la ecuación da que cc es par, así que c=2.c=2.
Entonces 2b+6=12,2b+6=12, así que b=3,b=3, y a=12−3−2=7.a=12-3-2=7.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let a,a, b,b, and cc be the numbers of $1,\$1, $3,\$3, and $4\$4 pairs, respectively. Then a+b+c=12,a+b+c=12, a+3b+4c=24.a+3b+4c=24.
Subtracting gives 2b+3c=12.2b+3c=12. Since at least one pair of each type was bought, b>0b>0 and c>0.c>0. Also 3c<12,3c<12, so c<4.c<4. Modulo 2,2, the equation gives cc even, so c=2.c=2.
Then 2b+6=12,2b+6=12, so b=3,b=3, and a=12−3−2=7.a=12-3-2=7.
Thus, D is the correct answer.

21.

En la figura dada, el hexágono ABCDEFABCDEF es equiángulo, ABJIABJI y FEHGFEHG son cuadrados con áreas 1818 y 3232 respectivamente, △JBK\triangle JBK es equilátero y FE=BC.FE=BC. ¿Cuál es el área de △KBC\triangle KBC?
In the given figure hexagon ABCDEFABCDEF is equiangular, ABJIABJI and FEHGFEHG are squares with areas 1818 and 3232 respectively, △JBK\triangle JBK is equilateral and FE=BC.FE=BC. What is the area of △KBC?\triangle KBC?
62 6\sqrt{2}
99
1212
929\sqrt{2}
3232
Respuesta: C
Conceptos:polígono equiángulotriángulo equiláteroárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Halla JBJB y BCBC a partir de las áreas de los dos cuadrados
Find JBJB and BCBC from the two square areas.
Pista grande:
En el diagrama, BKBK es perpendicular a BCBC
In the diagram, BKBK is perpendicular to BC.BC.
Solución en video:
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Solución escrita:
El cuadrado de área 1818 tiene lado JB=18=32.JB=\sqrt{18}=3\sqrt2. Como △JBK\triangle JBK es equilátero, BK=32.BK=3\sqrt2.
El cuadrado de área 3232 tiene lado FE=32=42.FE=\sqrt{32}=4\sqrt2. Como FE=BC,FE=BC, tenemos BC=42.BC=4\sqrt2.
En B,B, el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono equiángulo aportan ángulos de 60∘,60^\circ, 90∘,90^\circ, y 120∘,120^\circ, respectivamente. Por lo tanto, ∠KBC=360∘−60∘−90∘−120∘=90∘.\begin{aligned} \angle KBC &= 360^\circ-60^\circ-90^\circ\\ &\qquad-120^\circ\\ &=90^\circ. \end{aligned} En consecuencia, [△KBC]=12(32)(42)=12.[\triangle KBC]=\dfrac12(3\sqrt2)(4\sqrt2)=12.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
The square with area 1818 has side length JB=18=32.JB=\sqrt{18}=3\sqrt2. Since △JBK\triangle JBK is equilateral, BK=32.BK=3\sqrt2.
The square with area 3232 has side length FE=32=42.FE=\sqrt{32}=4\sqrt2. Since FE=BC,FE=BC, we have BC=42.BC=4\sqrt2.
At B,B, the equilateral triangle, square, and equiangular hexagon contribute angles of 60∘,60^\circ, 90∘,90^\circ, and 120∘,120^\circ, respectively. Hence ∠KBC=360∘−60∘−90∘−120∘=90∘.\begin{aligned} \angle KBC &= 360^\circ-60^\circ-90^\circ\\ &\qquad-120^\circ\\ &=90^\circ. \end{aligned} Therefore [△KBC]=12(32)(42)=12.[\triangle KBC]=\dfrac12(3\sqrt2)(4\sqrt2)=12.
Thus, C is the correct answer.

22.

El 11 de junio, un grupo de estudiantes está de pie en filas, con 1515 estudiantes en cada fila. El 22 de junio, el mismo grupo está de pie con todos los estudiantes en una sola fila larga. El 33 de junio, el mismo grupo está de pie con un solo estudiante en cada fila. El 44 de junio, el mismo grupo está de pie con 66 estudiantes en cada fila. Este proceso continúa hasta el 1212 de junio con un número diferente de estudiantes por fila cada día. Sin embargo, el 1313 de junio, no pueden encontrar una nueva forma de organizar a los estudiantes. ¿Cuál es el menor número posible de estudiantes en el grupo?
On June 1,1, a group of students is standing in rows, with 1515 students in each row. On June 2,2, the same group is standing with all of the students in one long row. On June 3,3, the same group is standing with just one student in each row. On June 4,4, the same group is standing with 66 students in each row. This process continues through June 1212 with a different number of students per row each day. However, on June 13,13, they cannot find a new way of organizing the students. What is the smallest possible number of students in the group?
21 21
30 30
60 60
90 90
1080 1080
Respuesta: C
Conceptos:conteo de factoresmínimo común múltiploanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1460
Pista pequeña:
Los diferentes tamaños de fila son los divisores del tamaño del grupo
The different row sizes are the divisors of the group size.
Pista grande:
Necesitas el menor múltiplo de 66 y 1515 que tenga exactamente 1212 divisores
You need the smallest multiple of both 66 and 1515 with exactly 1212 divisors.
Solución en video:
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Solución escrita:
Los posibles números de estudiantes por fila son exactamente los divisores positivos del número total de estudiantes. Como del 11 al 1212 de junio se dan disposiciones diferentes y el 1313 de junio no hay ninguna nueva, el número total de estudiantes debe tener exactamente 1212 divisores positivos.
El número debe ser divisible entre 1515 y 6,6, por lo tanto entre lcm⁡(15,6)=30=2⋅3⋅5.\operatorname{lcm}(15,6)=30=2\cdot3\cdot5. Este número tiene solo 88 divisores.
El menor múltiplo de 3030 con 1212 divisores es 60=22⋅3⋅5,60=2^2\cdot3\cdot5, que tiene (2+1)(1+1)(1+1)=12(2+1)(1+1)(1+1)=12 divisores.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
The possible numbers of students per row are exactly the positive divisors of the total number of students. Since June 11 through June 1212 give different arrangements and June 1313 gives no new one, the total number of students must have exactly 1212 positive divisors.
The number must be divisible by both 1515 and 6,6, hence by lcm⁡(15,6)=30=2⋅3⋅5.\operatorname{lcm}(15,6)=30=2\cdot3\cdot5. This number has only 88 divisors.
The smallest multiple of 3030 with 1212 divisors is 60=22⋅3⋅5,60=2^2\cdot3\cdot5, which has (2+1)(1+1)(1+1)=12(2+1)(1+1)(1+1)=12 divisors.
Thus, C is the correct answer.

23.

Tom tiene doce papeletas que quiere poner en cinco vasos etiquetados A,A, B,B, C,C, D,D, E.E.
Quiere que la suma de los números de las papeletas de cada vaso sea un entero y que los cinco enteros sean consecutivos y crecientes de AA a E.E. Los números de las papeletas son 2,2, 2,2, 2,2, 2.5,2.5, 2.5,2.5, 3,3, 3,3, 3,3, 3,3, 3.5,3.5, 4,4, 4.5.4.5. Si una papeleta con 22 va al vaso EE y una con 33 va al vaso B,B, ¿en qué vaso debe ir la papeleta con 3.53.5?
Tom has twelve slips of paper which he wants to put into five cups labeled A,A, B,B, C,C, D,D, E.E.
He wants the sum of the numbers on the slips in each cup to be an integer. Furthermore, he wants the five integers to be consecutive and increasing from AA to E.E. The numbers on the papers are 2,2, 2,2, 2,2, 2.5,2.5, 2.5,2.5, 3,3, 3,3, 3,3, 3,3, 3.5,3.5, 4,4, 4.5.4.5. If a slip with 22 goes into cup EE and a slip with 33 goes into cup B,B, then the slip with 3.53.5 must go into what cup?
A A
B B
C C
D D
E E
Respuesta: D
Conceptos:deducción lógicaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1610
Pista pequeña:
Las cinco sumas de los vasos deben ser enteros consecutivos con total 3535
The five cup sums must be consecutive integers with total 35.35.
Pista grande:
Después de llenar el vaso B,B, prueba dónde puede ir la papeleta 3.53.5 sin impedir las sumas requeridas
After filling cup B,B, test where the 3.53.5 slip can still leave possible sums.
Solución en video:
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Solución escrita:
La suma de todas las papeletas es 35,35, así que las cinco sumas enteras consecutivas de los vasos deben promediar 7.7. Por lo tanto, los vasos A,A, B,B, C,C, D,D, y EE deben tener sumas 5,5, 6,6, 7,7, 8,8, y 9,9, respectivamente.
El vaso BB ya contiene un 33 y debe sumar 6,6, así que debe contener otro 3.3. El vaso EE ya contiene un 2,2, así que las otras papeletas en EE deben sumar 7.7.
La papeleta 3.53.5 no puede ir en A,A, porque el vaso AA necesitaría otro 1.5.1.5. No puede ir en B,B, que ya está lleno. No puede ir en CC ni en E,E, porque cualquiera de ellos necesitaría entonces otro 3.5,3.5, y ninguna papeleta restante puede formar ese total. El vaso DD funciona, por ejemplo con 3.5+4.5=8.3.5+4.5=8.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
The sum of all the slips is 35,35, so the five consecutive integer cup sums must average 7.7. Therefore cups A,A, B,B, C,C, D,D, and EE must have sums 5,5, 6,6, 7,7, 8,8, and 9,9, respectively.
Cup BB already contains a 33 and must sum to 6,6, so it must contain another 3.3. Cup EE already contains a 2,2, so the other slips in EE must sum to 7.7.
The 3.53.5 slip cannot go in A,A, because cup AA would need another 1.5.1.5. It cannot go in B,B, which is already full. It cannot go in CC or E,E, because either would then need another 3.5,3.5, and no remaining slips can make that total. Cup DD works, for example with 3.5+4.5=8.3.5+4.5=8.
Thus, D is the correct answer.

24.

Una liga de béisbol consta de dos divisiones de cuatro equipos. Cada equipo juega NN partidos contra cada uno de los otros equipos de su división. Cada equipo juega MM partidos contra cada equipo de la otra división, con N>2MN > 2M y M>4.M > 4. Cada equipo juega un calendario de 7676 partidos.
¿Cuántos partidos juega un equipo dentro de su propia división?
A baseball league consists of two four-team divisions. Each team plays every other team in its division NN games. Each team plays every team in the other division MM games with N>2MN > 2M and M>4.M > 4. Each team plays a 7676 game schedule.
How many games does a team play within its own division?
36 36
48 48
54 54
60 60
72 72
Respuesta: B
Conceptos:Ecuación diofánticaaritmética modular
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
Escribe la ecuación del calendario 3N+4M=763N+4M=76
Write the schedule equation 3N+4M=76.3N+4M=76.
Pista grande:
Usa N>2M,N>2M, M>4,M>4, y la ecuación módulo 33
Use N>2M,N>2M, M>4,M>4, and the equation modulo 3.3.
Solución en video:
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Solución escrita:
Cada equipo juega 3N3N partidos dentro de su propia división y 4M4M partidos contra la otra división, así que 3N+4M=76.3N+4M=76.
Como N>2M,N>2M, tenemos 3N>6M,3N>6M, y por lo tanto 76=3N+4M>10M.76=3N+4M>10M. Así M<7.6.M<7.6. Junto con M>4,M>4, esto da M∈{5,6,7}.M\in\{5,6,7\}.
Reduciendo 3N+4M=763N+4M=76 módulo 33 se obtiene M≡1(mod3),M\equiv1\pmod3, así que M=7.M=7. Por lo tanto, el equipo juega 4M=284M=28 partidos fuera de la división y 76−28=4876-28=48 partidos de división.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Each team plays 3N3N games within its own division and 4M4M games against the other division, so 3N+4M=76.3N+4M=76.
Since N>2M,N>2M, we have 3N>6M,3N>6M, and hence 76=3N+4M>10M.76=3N+4M>10M. Thus M<7.6.M<7.6. Together with M>4,M>4, this gives M∈{5,6,7}.M\in\{5,6,7\}.
Reducing 3N+4M=763N+4M=76 modulo 33 gives M≡1(mod3),M\equiv1\pmod3, so M=7.M=7. Therefore the team plays 4M=284M=28 non-division games and 76−28=4876-28=48 division games.
Thus, B is the correct answer.

25.

Se cortan cuadrados de una pulgada de las esquinas de este cuadrado de 55 pulgadas. ¿Cuál es el área en pulgadas cuadradas del cuadrado más grande que cabe en el espacio restante?
One-inch squares are cut from the corners of this 55 inch square. What is the area in square inches of the largest square that can be fitted into the remaining space?
9 9
1212 12\dfrac{1}{2}
15 15
1512 15\dfrac{1}{2}
17 17
Respuesta: C
Conceptos:cuadrado (geometría)descomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
El cuadrado que cabe puede inclinarse alrededor del cuadrado central 3×33\times3
The fitted square can be tilted around the central 3×33\times3 square.
Pista grande:
Suma el área del cuadrado central y los cuatro triángulos congruentes de las esquinas
Add the central square area and the four congruent corner triangles.
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Solución escrita:
En el mayor cuadrado que cabe, cada lado debe tocar una esquina interior de uno de los cuadrados eliminados de 11 pulgada; de lo contrario, el cuadrado podría ampliarse. Por eso rodea el cuadrado central de 3×33\times3 y añade cuatro triángulos rectángulos congruentes, uno a lo largo de cada lado.
El cuadrado central tiene área 3⋅3=9.3\cdot3=9. Cada triángulo añadido tiene catetos 33 y 1,1, así que los cuatro triángulos tienen área total 4(3⋅12)=6.4\left(\dfrac{3\cdot1}{2}\right)=6.
El cuadrado que cabe tiene área 9+6=15.9+6=15.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
For a largest fitted square, each side must touch an inner corner of one of the removed 11-inch squares; otherwise the fitted square could be enlarged. Thus it surrounds the central 3×33\times3 square and adds four congruent right triangles, one along each side.
The central square has area 3⋅3=9.3\cdot3=9. Each added triangle has base 33 and height 1,1, so the four triangles have total area 4(3⋅12)=6.4\left(\dfrac{3\cdot1}{2}\right)=6.
The fitted square has area 9+6=15.9+6=15.
Thus, C is the correct answer.