Question

Los cuadrados $ABCD,$ $EFGH,$ y $GHIJ$ tienen áreas iguales. Los puntos $C$ y $D$ son los puntos medios de los lados $IH$ y $HE,$ respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área del pentágono sombreado $AJICB$ y la suma de las áreas de los tres cuadrados?

Squares $ABCD,$ $EFGH,$ and $GHIJ$ are equal in area. Points $C$ and $D$ are the midpoints of sides $IH$ and $HE,$ respectively. What is the ratio of the area of the shaded pentagon $AJICB$ to the sum of the areas of the three squares?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{7}{24}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{12}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Que cada cuadrado tenga lado de longitud $1$ , así que el área total de los tres cuadrados es $3$ . Es más fácil restar la región no sombreada a la izquierda de la diagonal $AJ$ de este total.

Usando el diagrama de la solución, el rectángulo $EDKF$ tiene área $1\cdot\dfrac12=\dfrac12$ , y el triángulo $AKJ$ tiene área $\dfrac12\cdot\dfrac32\cdot2=\dfrac32.$ Así, el área no sombreada es $\dfrac12+\dfrac32=2$ , de modo que el pentágono sombreado tiene área $3-2=1$ .

La razón buscada es $\dfrac{1}{3}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let each square have side length $1$ , so the total area of the three squares is $3$ . It is easier to subtract the unshaded region to the left of diagonal $AJ$ from this total.

Using the solution diagram, rectangle $EDKF$ has area $1\cdot\dfrac12=\dfrac12$ , and triangle $AKJ$ has area $\dfrac12\cdot\dfrac32\cdot2=\dfrac32.$ Thus the unshaded area is $\dfrac12+\dfrac32=2$ , so the shaded pentagon has area $3-2=1$ .

The requested ratio is $\dfrac{1}{3}$ .

Thus, C is the correct answer.

2013 AMC 8 Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años