Soluciones del 2013 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2013 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Danica quiere ordenar sus autos de modelo en filas con exactamente 6 autos en cada fila. Ahora tiene 23 autos de modelo. ¿Cuál es el menor número de autos adicionales que debe comprar para poder ordenar todos sus autos de esta manera?

Danica wants to arrange her model cars in rows with exactly 6 cars in each row. She now has 23 model cars. What is the smallest number of additional cars she must buy in order to be able to arrange all her cars this way?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:divisibilidad estimación

Nivel de dificultad: 370

Solución en video:

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Solución escrita:

Para que Danica pueda ordenar sus autos de modelo en filas de exactamente seis, la cantidad de autos que tiene debe ser un múltiplo de seis. El menor múltiplo de $6$ mayor que $23$ es $24$ , así que debe comprar $1$ auto más para llegar a esa cantidad.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

In order for Danica to arrange her model cars in rows of exactly six, the number of model cars she has must be a multiple of six. The smallest multiple of $6$ greater than $23$ is $24,$ so she must buy $1$ more car to attain this amount.

Thus, A is the correct answer.

2.

Un cartel en el mercado de pescado dice: " $50 \%$ de descuento, solo hoy: paquetes de media libra por solo $\$3$ cada paquete." ¿Cuál es el precio normal de una libra entera de pescado, en dólares?

A sign at the fish market says, " $50 \%$ off, today only: half-pound packages for just $\$3$ per package." What is the regular price for a full pound of fish, in dollars?

$6$

$9$

$10$

$12$

$15$

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 450

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Solución escrita:

Durante la promoción, el precio de media libra es $\$3$ , y por lo tanto el precio de una libra entera es $2 \cdot \$3 = \$6$ .

El precio de promoción tiene un $50\%$ de descuento sobre el precio normal, así que el precio normal es el doble del precio de promoción. Por lo tanto, el precio normal de una libra entera de pescado es $2 \cdot \$6 = \$12$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

During the sale, the price for half a pound is $\$3,$ and therefore, the price for a full pound is $2 \cdot \$3 = \$6.$

The sale price is $50\%$ off the regular price, and so the regular price is twice the sale price. Therefore, the regular price for a full pound of fish is $2 \cdot \$6 = \$12.$

Thus, D is the correct answer.

3.

¿Cuál es el valor de $\scriptsize 4 \cdot (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + \cdots + 1000)?$

What is the value of $\scriptsize 4 \cdot (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + \cdots + 1000)?$

$-10$

$0$

$1$

$500$

$2000$

Conceptos:sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Dentro del paréntesis, empareja los términos consecutivos: $\begin{aligned} &(-1+2)+(-3+4) \\ &\quad {}+\cdots+(-999+1000). \end{aligned}$

Cada par tiene suma $1$ , y hay $500$ pares, así que el valor dentro del paréntesis es $500$ . Al multiplicar por $4$ se obtiene $2000$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Within the parentheses, pair consecutive terms: $\begin{aligned} &(-1+2)+(-3+4) \\ &\quad {}+\cdots+(-999+1000). \end{aligned}$

Each pair has sum $1$ , and there are $500$ pairs, so the value inside the parentheses is $500$ . Multiplying by $4$ gives $2000$ .

Thus, E is the correct answer.

4.

Ocho amigos comieron en un restaurante y acordaron dividir la cuenta en partes iguales. Como Judi olvidó su dinero, cada uno de sus siete amigos pagó $\$2.50$ adicionales para cubrir la parte de ella del total de la cuenta. ¿Cuál era el total de la cuenta?

Eight friends ate at a restaurant and agreed to share the bill equally. Because Judi forgot her money, each of her seven friends paid an extra $\$2.50$ to cover her portion of the total bill. What was the total bill?

$\$120$

$\$128$

$\$140$

$\$144$

$\$160$

Conceptos:dinero

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Como la parte de Judi fue cubierta por completo con las contribuciones de todos, la parte de la cuenta que le correspondía era igual a $7 \cdot \$2.50 = \$17.50.$

Como todos pagaron la misma cantidad, podemos concluir que el total de la cuenta es $8 \cdot \$17.50 = \$140.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since Judi's portion was fully covered by everyone's contributions, the portion of the bill she was responsible for was equal to $7 \cdot \$2.50 = \$17.50.$

As everyone paid the same amount, we can conclude that the total bill is $8 \cdot \$17.50 = \$140.$

Thus, C is the correct answer.

5.

Hammie está en $6$ to grado y pesa $106$ libras. Sus hermanas cuatrillizas son bebés pequeñas y pesan $5,$ $5,$ $6,$ y $8$ libras. ¿Cuál es mayor, el peso promedio (media) de estos cinco niños o el peso mediano, y por cuántas libras?

Hammie is in the $6$ th grade and weighs $106$ pounds. His quadruplet sisters are tiny babies and weigh $5,$ $5,$ $6,$ and $8$ pounds. Which is greater, the average (mean) weight of these five children or the median weight, and by how many pounds?

$\text{median, by } 60$

$\text{median, by } 20$

$\text{average, by } 5$

$\text{average, by } 15$

$\text{average, by } 20$

Conceptos:media mediana (datos)

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

El peso mediano es el valor central, que podemos hallar así: $\cancel{ 5 },\cancel{ 5 },\underline{6},\cancel{8},\cancel{106}$ Por lo tanto, la mediana es $6$ libras.

El promedio (media) se puede calcular como: $\begin{align*} &\dfrac{106 + 5 + 5 + 6 + 8}{5} \\&= \dfrac{130}{5}\\ &= 26. \end{align*}$ Esto es mayor que la mediana; en concreto, la media es $20$ libras mayor que la mediana.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The median weight is the middle value, which we can find as: $\cancel{ 5 },\cancel{ 5 },\underline{6},\cancel{8},\cancel{106}$ Therefore, the median is $6$ pounds.

The average (mean) can be calculated to be: $\begin{align*} &\dfrac{106 + 5 + 5 + 6 + 8}{5} \\&= \dfrac{130}{5}\\ &= 26. \end{align*}$ This is greater than the median, specifically, the mean is $20$ pounds greater than the median.

Thus, E is the correct answer.

6.

El número en cada casilla de abajo es el producto de los números de las dos casillas que la tocan en la fila superior. Por ejemplo, $30 = 6\times5.$

¿Cuál es el número que falta en la fila superior?

The number in each box below is the product of the numbers in the two boxes that touch it in the row above. For example, $30 = 6\times5.$

What is the missing number in the top row?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 820

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Solución escrita:

El producto de los números de la segunda fila es $600,$ así que el número que falta en la casilla central derecha es $600 \div 30 = 20.$

Ahora sabemos que el producto de $5$ y el número que falta en la primera fila es $20.$ Por lo tanto, el número que falta es $20 \div 5 = 4.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The product of the numbers in the second row is $600,$ so the missing number in the middle right box is $600 \div 30 = 20.$

Now we know that the product of $5$ and the missing number in the first row is $20.$ Therefore, the missing number is $20 \div 5 = 4.$

Thus, C is the correct answer.

7.

Trey y su mamá se detuvieron en un cruce de ferrocarril para dejar pasar un tren. Cuando el tren comenzó a pasar, Trey contó 6 vagones en los primeros 10 segundos. El tren tardó 2 minutos y 45 segundos en despejar el cruce a velocidad constante. ¿Cuál de los siguientes fue el número más probable de vagones del tren?

Trey and his mom stopped at a railroad crossing to let a train pass. As the train began to pass, Trey counted 6 cars in the first 10 seconds. It took the train 2 minutes and 45 seconds to clear the crossing at a constant speed. Which of the following was the most likely number of cars in the train?

$\ 60$

$\ 80$

$\ 100$

$\ 120$

$\ 140$

Conceptos:razón y proporción estimación

Nivel de dificultad: 900

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Solución escrita:

Al convertir $2$ minutos y $45$ segundos en segundos, obtenemos $2 \cdot 60 + 45 = 165$ segundos. Como pasaron $6$ vagones en $10$ segundos, al mismo ritmo el número de vagones $x$ que pasan en $165$ segundos cumple $\dfrac{6}{10}=\dfrac{x}{165}.$

Al resolver se obtiene $x=\dfrac{165\cdot6}{10}=99.$ La opción de respuesta más cercana es $100$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Converting $2$ minutes and $45$ seconds into seconds, we get $2 \cdot 60 + 45 = 165$ seconds. Since $6$ cars passed in $10$ seconds, at the same rate the number of cars $x$ passing in $165$ seconds satisfies $\dfrac{6}{10}=\dfrac{x}{165}.$

Solving gives $x=\dfrac{165\cdot6}{10}=99.$ The closest answer choice is $100$ .

Thus, C is the correct answer.

8.

Una moneda justa se lanza 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos dos caras consecutivas?

A fair coin is tossed 3 times. What is the probability of at least two consecutive heads?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:probabilidad básica enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

Los resultados con al menos dos caras consecutivas son $HHT$ , $THH$ y $HHH$ . Hay $2^3=8$ resultados igualmente probables de tres lanzamientos de una moneda justa, así que la probabilidad es $\dfrac{3}{8}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The outcomes with at least two consecutive heads are $HHT$ , $THH$ , and $HHH$ . There are $2^3=8$ equally likely outcomes from three fair coin tosses, so the probability is $\dfrac{3}{8}$ .

Thus, C is the correct answer.

9.

El Increíble Hulk puede duplicar la distancia que salta con cada salto sucesivo. Si su primer salto es de $1$ metro, el segundo salto es de $2$ metros, el tercer salto es de $4$ metros, y así sucesivamente, ¿en qué salto podrá por primera vez saltar más de $1$ kilómetro ( $1,000$ metros)?

The Incredible Hulk can double the distance he jumps with each succeeding jump. If his first jump is $1$ meter, the second jump is $2$ meters, the third jump is $4$ meters, and so on, then on which jump will he first be able to jump more than $1$ kilometer ( $1,000$ meters)?

$9^\text{th}$

$10^\text{th}$

$11^\text{th}$

$12^\text{th}$

$13^\text{th}$

Conceptos:potencia de 2 sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

En el $n$ -ésimo salto, Hulk salta $2^{n-1}$ metros. Necesitamos el menor $n$ para el que $2^{n-1}>1000$ .

Como $2^9=512$ y $2^{10}=1024$ , el primer salto de más de $1000$ metros tiene $n-1=10$ , así que $n=11$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

On the $n$ th jump, the Hulk jumps $2^{n-1}$ meters. We need the smallest $n$ for which $2^{n-1}>1000$ .

Since $2^9=512$ and $2^{10}=1024$ , the first jump longer than $1000$ meters has $n-1=10$ , so $n=11$ .

Thus, C is the correct answer.

10.

¿Cuál es la razón entre el mínimo común múltiplo de $180$ y $594$ y el máximo común divisor de $180$ y $594$ ?

What is the ratio of the least common multiple of $180$ and $594$ to the greatest common factor of $180$ and $594?$

$110$

$165$

$330$

$625$

$660$

Conceptos:factorización en primos máximo común divisor mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1240

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Solución escrita:

Descompón los dos números en factores primos: $180=2^2\cdot3^2\cdot5,$ $594=2\cdot3^3\cdot11.$

El máximo común divisor usa las potencias menores, así que es $2\cdot3^2=18$ . El mínimo común múltiplo usa las potencias mayores, así que es $2^2\cdot3^3\cdot5\cdot11=5940.$ Por lo tanto, la razón buscada es $\dfrac{5940}{18}=330$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Prime-factorize the two numbers: $180=2^2\cdot3^2\cdot5,$ $594=2\cdot3^3\cdot11.$

The greatest common factor uses the smaller powers, so it is $2\cdot3^2=18$ . The least common multiple uses the larger powers, so it is $2^2\cdot3^3\cdot5\cdot11=5940.$ Therefore the desired ratio is $\dfrac{5940}{18}=330$ .

Thus, C is the correct answer.

11.

El abuelo de Ted usó su caminadora en $3$ días de esta semana. Recorrió $2$ millas cada día.

El lunes trotó a una velocidad de $5$ millas por hora. Caminó a un ritmo de $3$ millas por hora el miércoles y a $4$ millas por hora el viernes.

Si el abuelo siempre hubiera caminado a $4$ millas por hora, habría pasado menos tiempo en la caminadora. ¿Cuántos minutos menos?

Ted's grandfather used his treadmill on $3$ days this week. He went $2$ miles each day.

On Monday he jogged at a speed of $5$ miles per hour. He walked at the rate of $3$ miles per hour on Wednesday and at $4$ miles per hour on Friday.

If Grandfather had always walked at $4$ miles per hour, he would have spent less time on the treadmill. How many minutes less?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1280

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Solución escrita:

El abuelo pasó $\frac{2}{5}$ horas trotando el lunes. Pasó $\frac{2}{3}$ horas caminando el miércoles y $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ horas el viernes. Al convertir estos tiempos a minutos, obtenemos $\dfrac{2}{5} \cdot 60 = 24~\mathrm{minutes}$ $\dfrac{2}{3} \cdot 60 = 40~\mathrm{ minutes}$ $\dfrac{1}{2} \cdot 60 = 30~\mathrm{ minutes}$ para el lunes, el miércoles y el viernes, respectivamente. Por lo tanto, el abuelo acumuló $94$ minutos de ejercicio a lo largo de la semana.

Si hubiera caminado a un ritmo de $4$ millas por hora cada día, habría pasado $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ horas caminando cada día. Esto equivale a $\frac{2}{4} \cdot 60 = 30$ minutos diarios. Si hubiera hecho esto durante $3$ días, habría acumulado $3 \cdot 30 = 90$ minutos de ejercicio.

Por lo tanto, el abuelo habría caminado $94 - 90 = 4$ minutos menos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Grandfather spent $\frac{2}{5}$ hours jogging on Monday. He spent $\frac{2}{3}$ hours walking on Wednesday and $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ hours on Friday. Converting these times to minutes, we get $\dfrac{2}{5} \cdot 60 = 24~\mathrm{minutes}$ $\dfrac{2}{3} \cdot 60 = 40~\mathrm{ minutes}$ $\dfrac{1}{2} \cdot 60 = 30~\mathrm{ minutes}$ for Monday, Wednesday, and Friday respectively. Therefore, Grandfather totaled $94$ minutes of exercise throughout the week.

If he walked at a pace of $4$ miles per hour each day, he would have spent $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ hours each day walking. This equals $\frac{2}{4} \cdot 60 = 30$ minutes every day. If he did this for $3$ days, he would have totaled $3 \cdot 30 = 90$ minutes of exercise.

Therefore, Grandfather would have walked for $94 - 90 = 4$ less minutes.

Thus, D is the correct answer.

12.

En la Feria del Condado de Winnebago de 2013, un vendedor ofrece un "especial de feria" en sandalias. Si compras un par de sandalias al precio normal de $\$50,$ obtienes un segundo par con un $40 \%$ de descuento, y un tercer par a la mitad del precio normal.

Javier aprovechó el "especial de feria" para comprar tres pares de sandalias. ¿Qué porcentaje del precio normal de $\$150$ ahorró?

At the 2013 Winnebago County Fair a vendor is offering a "fair special" on sandals. If you buy one pair of sandals at the regular price of $\$50,$ you get a second pair at a $40 \%$ discount, and a third pair at half the regular price.

Javier took advantage of the "fair special" to buy three pairs of sandals. What percentage of the $\$150$ regular price did he save?

$25$

$30$

$33$

$40$

$45$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

Javier ahorró $0.40 \cdot 50 = 20$ dólares en el segundo par. También ahorró $50 / 2 = 25$ dólares en el tercer par. Esto muestra que ahorró un total de $45$ dólares.

Como $45 / 150 = 3 / 10 = .30,$ podemos concluir que Javier ahorró un $30 \%$ en comparación con el precio normal.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Javier saved $0.40 \cdot 50 = 20$ dollars on the second pair. He also saved $50 / 2 = 25$ dollars on the third pair. This shows that he saved a total of $45$ dollars.

As $45 / 150 = 3 / 10 = .30,$ we can conclude that Javier saved $30 \%$ compared to the regular price.

Thus, B is the correct answer.

13.

Cuando Clara sumó sus puntuaciones, invirtió sin querer el dígito de las unidades y el dígito de las decenas de una puntuación. ¿En cuál de los siguientes valores podría diferir su suma incorrecta de la correcta?

When Clara totaled her scores, she inadvertently reversed the units digit and the tens digit of one score. By which of the following might her incorrect sum have differed from the correct one?

$45$

$46$

$47$

$48$

$49$

Conceptos:valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

Si los dos últimos dígitos de la puntuación son $10a+b$ , entonces invertir esos dígitos da $10b+a$ . La diferencia es $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a) \\ &= 9(a-b), \end{aligned}$ así que la suma incorrecta debe diferir de la suma correcta en un múltiplo de $9$ .

Entre las opciones de respuesta, solo $45$ es divisible entre $9$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

If the last two digits of the score are $10a+b$ , then reversing those digits gives $10b+a$ . The difference is $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a) \\ &= 9(a-b), \end{aligned}$ so the incorrect sum must differ from the correct sum by a multiple of $9$ .

Among the answer choices, only $45$ is divisible by $9$ .

Thus, A is the correct answer.

14.

Abe tiene $1$ gomita verde y $1$ gomita roja en su mano. Bea tiene $1$ gomita verde, $1$ amarilla y $2$ rojas en su mano. Cada uno elige al azar una gomita para mostrársela al otro. ¿Cuál es la probabilidad de que los colores coincidan?

Abe holds $1$ green and $1$ red jelly bean in his hand. Bea holds $1$ green, $1$ yellow, and $2$ red jelly beans in her hand. Each randomly picks a jelly bean to show the other. What is the probability that the colors match?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\frac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1140

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Solución escrita:

Hay $2\cdot4=8$ maneras igualmente probables en que Abe y Bea eligen sus gomitas. Los colores coinciden si ambos eligen verde, lo cual puede ocurrir de $1$ manera, o si ambos eligen rojo, lo cual puede ocurrir de $1\cdot2=2$ maneras.

Así, $3$ de los $8$ resultados coinciden, para una probabilidad de $\dfrac{3}{8}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are $2\cdot4=8$ equally likely ways for Abe and Bea to choose their jelly beans. The colors match if they both choose green, which can happen in $1$ way, or if they both choose red, which can happen in $1\cdot2=2$ ways.

Thus $3$ of the $8$ outcomes match, for probability $\dfrac{3}{8}$ .

Thus, C is the correct answer.

15.

Si $3^p + 3^4 = 90$ , $2^r + 44 = 76$ , y $5^3 + 6^s = 1421$ , ¿cuál es el producto de $p$ , $r$ y $s$ ?

If $3^p + 3^4 = 90$ , $2^r + 44 = 76$ , and $5^3 + 6^s = 1421$ , what is the product of $p$ , $r$ , and $s$ ?

$27$

$40$

$50$

$70$

$90$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 1070

Solución en video:

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Solución escrita:

Resta el número conocido de cada ecuación: $3^p=90-81=9,$ $2^r=76-44=32,$ $6^s=1421-125=1296.$

Por lo tanto $p=2$ , $r=5$ y $s=4$ . Su producto es $2\cdot5\cdot4=40$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Subtract the known number from each equation: $3^p=90-81=9,$ $2^r=76-44=32,$ $6^s=1421-125=1296.$

Therefore $p=2$ , $r=5$ , and $s=4$ . Their product is $2\cdot5\cdot4=40$ .

Thus, B is the correct answer.

16.

Un número de estudiantes de la Escuela Secundaria Fibonacci participa en un proyecto de servicio comunitario. La razón entre estudiantes de $8$ vo grado y de $6$ to grado es $5:3,$ y la razón entre estudiantes de $8$ vo grado y de $7$ mo grado es $8:5.$ ¿Cuál es el menor número de estudiantes que podría estar participando en el proyecto?

A number of students from Fibonacci Middle School are taking part in a community service project. The ratio of $8$ th-graders to $6$ th-graders is $5:3,$ and the ratio of $8$ th-graders to $7$ th-graders is $8:5.$ What is the smallest number of students that could be participating in the project?

$16$

$40$

$55$

$79$

$89$

Conceptos:razón y proporción mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1370

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Solución escrita:

El número de estudiantes de $8$ vo grado debe ser un múltiplo de $5$ y de $8,$ lo que significa que es al menos $40.$ Usando este número, obtenemos que el número de estudiantes de $6$ to grado es $40 \cdot \dfrac{3}{5} = 24.$ De manera similar, el número de estudiantes de $7$ mo grado es $40 \cdot \dfrac{5}{8} = 25.$

El número total de estudiantes es, por lo tanto, $40 + 24 + 25 = 89.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The number of $8$ th-graders must be a multiple of $5$ and $8,$ which means that it is at least $40.$ Using this number, we get that the number of $6$ th-graders is $40 \cdot \dfrac{3}{5} = 24.$ Similarly, the number of $7$ th-graders is $40 \cdot \dfrac{5}{8} = 25.$

The total number of students is therefore $40 + 24 + 25 = 89.$

Thus, E is the correct answer.

17.

La suma de seis enteros positivos consecutivos es $2013.$ ¿Cuál es el mayor de estos seis enteros?

The sum of six consecutive positive integers is $2013.$ What is the largest of these six integers?

$335$

$338$

$340$

$345$

$350$

Conceptos:sucesión aritmética ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

Sean los seis enteros consecutivos $x,x+1,x+2,$ $x+3,x+4,x+5$ . Su suma es $6x+15=2013.$

Así $6x=1998$ , de modo que $x=333$ . El mayor entero es $x+5=338$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the six consecutive integers be $x,x+1,x+2,$ $x+3,x+4,x+5$ . Their sum is $6x+15=2013.$

Thus $6x=1998$ , so $x=333$ . The largest integer is $x+5=338$ .

Thus, B is the correct answer.

18.

Isabella usa bloques cúbicos de un pie para construir un fuerte rectangular que mide $12$ pies de largo, $10$ pies de ancho y $5$ pies de alto. El piso y las cuatro paredes tienen todos un pie de grosor. ¿Cuántos bloques contiene el fuerte?

Isabella uses one-foot cubical blocks to build a rectangular fort that is $12$ feet long, $10$ feet wide, and $5$ feet high. The floor and the four walls are all one foot thick. How many blocks does the fort contain?

$204$

$280$

$320$

$340$

$600$

Conceptos:volumen prisma rectangular

Nivel de dificultad: 1480

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Solución escrita:

El prisma rectangular determinado por las caras exteriores tiene volumen $12\cdot10\cdot5=600$ pies cúbicos. El interior vacío es menor en $2$ pies de largo, $2$ pies de ancho y $1$ pie de altura, así que sus dimensiones son $10\times8\times4$ .

El volumen vacío es $10\cdot8\cdot4=320$ pies cúbicos, así que el fuerte contiene $600-320=280$ bloques cúbicos de un pie.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The rectangular prism determined by the outside faces has volume $12\cdot10\cdot5=600$ cubic feet. The empty inside is smaller by $2$ feet in length, $2$ feet in width, and $1$ foot in height, so its dimensions are $10\times8\times4$ .

The empty volume is $10\cdot8\cdot4=320$ cubic feet, so the fort contains $600-320=280$ one-foot cubical blocks.

Thus, B is the correct answer.

19.

Bridget, Cassie y Hannah están comentando los resultados de su último examen de matemáticas. Hannah les muestra su examen a Bridget y a Cassie, pero Bridget y Cassie no le muestran el suyo a nadie. Cassie dice: "No obtuve la puntuación más baja de nuestra clase", y Bridget añade: "No obtuve la puntuación más alta". ¿Cuál es el orden de las tres chicas de mayor a menor puntuación?

Bridget, Cassie, and Hannah are discussing the results of their last math test. Hannah shows Bridget and Cassie her test, but Bridget and Cassie don't show theirs to anyone. Cassie says, "I didn't get the lowest score in our class," and Bridget adds, "I didn't get the highest score." What is the ranking of the three girls from highest to lowest?

Hannah, Cassie, Bridget

Hannah, Bridget, Cassie

Cassie, Bridget, Hannah

Cassie, Hannah, Bridget

Bridget, Cassie, Hannah

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1030

Solución en video:

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Solución escrita:

Como Cassie dedujo que no obtuvo la puntuación más baja, debió obtener una puntuación mayor que la de Hannah. De manera similar, la afirmación de Bridget revela que ella debió obtener una puntuación menor que la de Hannah.

Por lo tanto, el orden de mayor a menor es Cassie, Hannah y luego Bridget.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since Cassie deduced she didn't get the lowest score, she must have got a higher score than Hannah. Similarly, Bridget's statement reveals that she must have got a lower score than Hannah.

Therefore, the ranking from highest to lowest is Cassie, Hannah, and then Bridget.

Thus, D is the correct answer.

20.

Un rectángulo de $1 \times 2$ está inscrito en un semicírculo con el lado más largo sobre el diámetro. ¿Cuál es el área del semicírculo?

A $1 \times 2$ rectangle is inscribed in a semicircle with the longer side on the diameter. What is the area of the semicircle?

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{2\pi}{3}$

$\pi$

$\dfrac{4\pi}{3}$

$\dfrac{5\pi}{3}$

Conceptos:Teorema de Pitágoras área del círculo

Nivel de dificultad: 1370

Solución en video:

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Solución escrita:

Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos que el radio del semicírculo es $\sqrt{2}.$ Esto significa que el área del semicírculo es $\dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot \sqrt{2}^2 = \pi.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Using the Pythagorean theorem, we get that the radius of the semicircle is $\sqrt{2}.$ This means that the area of the semicircle is $\dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot \sqrt{2}^2 = \pi.$ Thus, C is the correct answer.

21.

Samantha vive $2$ cuadras al oeste y $1$ cuadra al sur de la esquina suroeste del Parque de la Ciudad.

Su escuela está $2$ cuadras al este y $2$ cuadras al norte de la esquina noreste del Parque de la Ciudad. En los días de clase pedalea por las calles hasta la esquina suroeste del Parque de la Ciudad, luego toma un camino diagonal a través del parque hasta la esquina noreste, y después pedalea por las calles hasta la escuela.

Si su ruta es lo más corta posible, ¿cuántas rutas diferentes puede tomar?

Samantha lives $2$ blocks west and $1$ block south of the southwest corner of City Park.

Her school is $2$ blocks east and $2$ blocks north of the northeast corner of City Park. On school days she bikes on streets to the southwest corner of City Park, then takes a diagonal path through the park to the northeast corner, and then bikes on streets to school.

If her route is as short as possible, how many different routes can she take?

$3$

$6$

$9$

$12$

$18$

Conceptos:caminos reticulares principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1540

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Solución escrita:

Para llegar a la esquina suroeste del parque lo más rápido posible, Samantha debe ir $2$ cuadras al este y $1$ cuadra al norte, lo cual se puede ordenar de $3$ maneras. Después del camino diagonal a través del parque, debe ir $2$ cuadras al este y $2$ cuadras al norte para llegar a la escuela, lo cual se puede ordenar de $\binom{4}{2}=6$ maneras.

Las elecciones antes y después del parque son independientes, así que el número total de rutas más cortas es $3\cdot6=18$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

To reach the southwest corner of the park as quickly as possible, Samantha must go $2$ blocks east and $1$ block north, which can be arranged in $3$ ways. After the diagonal path through the park, she must go $2$ blocks east and $2$ blocks north to reach school, which can be arranged in $\binom{4}{2}=6$ ways.

The choices before and after the park are independent, so the total number of shortest routes is $3\cdot6=18$ .

Thus, E is the correct answer.

22.

Se usan palillos para hacer una cuadrícula que mide $60$ palillos de largo y $32$ palillos de alto. ¿Cuántos palillos se usan en total?

Toothpicks are used to make a grid that is $60$ toothpicks long and $32$ toothpicks high. How many toothpicks are used altogether?

$1920$

$1952$

$1980$

$2013$

$3932$

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 1280

Solución en video:

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Solución escrita:

Una cuadrícula de $60$ por $32$ tiene $61$ líneas verticales de la cuadrícula, cada una formada por $32$ palillos, y $33$ líneas horizontales, cada una formada por $60$ palillos.

Por lo tanto, el número total de palillos es $\begin{aligned} 61\cdot32+33\cdot60 &= 1952+1980 \\ &= 3932. \end{aligned}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

A $60$ -by- $32$ grid has $61$ vertical grid lines, each made of $32$ toothpicks, and $33$ horizontal grid lines, each made of $60$ toothpicks.

Therefore the total number of toothpicks is $\begin{aligned} 61\cdot32+33\cdot60 &= 1952+1980 \\ &= 3932. \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

23.

En el $\triangle ABC$ , $\angle ABC$ es un ángulo recto. Los lados del $\triangle ABC$ son los diámetros de semicírculos, como se muestra. El área del semicírculo sobre $\overline{AB}$ es igual a $8\pi,$ y el arco del semicírculo sobre $\overline{AC}$ tiene longitud $8.5\pi.$ ¿Cuál es el radio del semicírculo sobre $\overline{BC}$ ?

In $\triangle ABC$ , $\angle ABC$ is a right angle. The sides of $\triangle ABC$ are the diameters of semicircles as shown. The area of the semicircle on $\overline{AB}$ equals $8\pi,$ and the arc of the semicircle on $\overline{AC}$ has length $8.5\pi.$ What is the radius of the semicircle on $\overline{BC}?$

$7$

$7.5$

$8$

$8.5$

$9$

Conceptos:Teorema de Pitágoras área del círculo arco

Nivel de dificultad: 1720

Solución en video:

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Solución escrita:

El semicírculo sobre $\overline{AB}$ tiene área $8\pi$ , así que su círculo completo tendría área $16\pi$ . Por lo tanto, su radio es $4$ , y $AB=8$ .

Un semicírculo de radio $r$ tiene longitud de arco $\pi r$ . Como el arco sobre $\overline{AC}$ tiene longitud $8.5\pi$ , su radio es $8.5$ , así que $AC=17$ .

Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ABC$ , $BC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15.$ El radio del semicírculo sobre $\overline{BC}$ es $15/2=7.5$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The semicircle on $\overline{AB}$ has area $8\pi$ , so its full circle would have area $16\pi$ . Its radius is therefore $4$ , and $AB=8$ .

A semicircle of radius $r$ has arc length $\pi r$ . Since the arc on $\overline{AC}$ has length $8.5\pi$ , its radius is $8.5$ , so $AC=17$ .

Using the Pythagorean theorem in right triangle $ABC$ , $BC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15.$ The radius of the semicircle on $\overline{BC}$ is $15/2=7.5$ .

Thus, B is the correct answer.

24.

Los cuadrados $ABCD,$ $EFGH,$ y $GHIJ$ tienen áreas iguales. Los puntos $C$ y $D$ son los puntos medios de los lados $IH$ y $HE,$ respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área del pentágono sombreado $AJICB$ y la suma de las áreas de los tres cuadrados?

Squares $ABCD,$ $EFGH,$ and $GHIJ$ are equal in area. Points $C$ and $D$ are the midpoints of sides $IH$ and $HE,$ respectively. What is the ratio of the area of the shaded pentagon $AJICB$ to the sum of the areas of the three squares?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{7}{24}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{12}$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1790

Solución en video:

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Solución escrita:

Que cada cuadrado tenga lado de longitud $1$ , así que el área total de los tres cuadrados es $3$ . Es más fácil restar la región no sombreada a la izquierda de la diagonal $AJ$ de este total.

Usando el diagrama de la solución, el rectángulo $EDKF$ tiene área $1\cdot\dfrac12=\dfrac12$ , y el triángulo $AKJ$ tiene área $\dfrac12\cdot\dfrac32\cdot2=\dfrac32.$ Así, el área no sombreada es $\dfrac12+\dfrac32=2$ , de modo que el pentágono sombreado tiene área $3-2=1$ .

La razón buscada es $\dfrac{1}{3}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let each square have side length $1$ , so the total area of the three squares is $3$ . It is easier to subtract the unshaded region to the left of diagonal $AJ$ from this total.

Using the solution diagram, rectangle $EDKF$ has area $1\cdot\dfrac12=\dfrac12$ , and triangle $AKJ$ has area $\dfrac12\cdot\dfrac32\cdot2=\dfrac32.$ Thus the unshaded area is $\dfrac12+\dfrac32=2$ , so the shaded pentagon has area $3-2=1$ .

The requested ratio is $\dfrac{1}{3}$ .

Thus, C is the correct answer.

25.

Una pelota con diámetro de $4$ pulgadas comienza en el punto $A$ para rodar a lo largo de la pista que se muestra. La pista está formada por $3$ arcos semicirculares cuyos radios son $R_1 = 100$ pulgadas, $R_2 = 60$ pulgadas, y $R_3 = 80$ pulgadas, respectivamente. La pelota permanece siempre en contacto con la pista y no resbala. ¿Cuál es la distancia en pulgadas que recorre el centro de la pelota a lo largo del trayecto de $A$ a $B$ ?

A ball with diameter $4$ inches starts at point $A$ to roll along the track shown. The track is comprised of $3$ semicircular arcs whose radii are $R_1 = 100$ inches, $R_2 = 60$ inches, and $R_3 = 80$ inches, respectively. The ball always remains in contact with the track and does not slip. What is the distance in inches the center of the ball travels over the course from $A$ to $B$ ?

$238 \pi$

$240 \pi$

$260 \pi$

$280 \pi$

$500 \pi$

Conceptos:arco circunferencia

Nivel de dificultad: 1930

Solución en video:

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Solución escrita:

La pelota tiene radio $2$ . A medida que la pelota rueda, su centro sigue arcos semicirculares paralelos a la pista. En el primer y el tercer arco, la trayectoria del centro está dentro de los arcos de la pista, así que esos radios son $100-2=98$ y $80-2=78$ . En el arco central, la trayectoria del centro está fuera del arco de la pista, así que ese radio es $60+2=62$ .

La distancia total recorrida por el centro es la suma de las longitudes de los tres semicírculos: $(98+62+78)\pi=238\pi.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The ball has radius $2$ . As the ball rolls, its center follows semicircular arcs parallel to the track. On the first and third arcs the center path is inside the track arcs, so those radii are $100-2=98$ and $80-2=78$ . On the middle arc the center path is outside the track arc, so that radius is $60+2=62$ .

The total distance traveled by the center is the sum of the three semicircle lengths: $(98+62+78)\pi=238\pi.$

Thus, A is the correct answer.