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2013 AMC 8 Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2013 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

En el △ABC\triangle ABC, ∠ABC\angle ABC es un ángulo recto. Los lados del △ABC\triangle ABC son los diámetros de semicírculos, como se muestra. El área del semicírculo sobre AB‾\overline{AB} es igual a 8π,8\pi, y el arco del semicírculo sobre AC‾\overline{AC} tiene longitud 8.5π.8.5\pi. ¿Cuál es el radio del semicírculo sobre BC‾\overline{BC}?
In △ABC\triangle ABC, ∠ABC\angle ABC is a right angle. The sides of △ABC\triangle ABC are the diameters of semicircles as shown. The area of the semicircle on AB‾\overline{AB} equals 8π,8\pi, and the arc of the semicircle on AC‾\overline{AC} has length 8.5π.8.5\pi. What is the radius of the semicircle on BC‾?\overline{BC}?
77
7.57.5
88
8.58.5
99
Respuesta: B
Conceptos:Teorema de Pitágorasárea del círculoarco
Nivel de dificultad: 1720
Pista pequeña:
Usa el semicírculo sobre ABAB para hallar ABAB.
Use the semicircle on ABAB to find ABAB.
Pista grande:
La longitud del arco sobre ACAC da el radio, y por lo tanto el diámetro ACAC.
The arc length on ACAC gives the radius, hence diameter ACAC.
Solución en video:
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Solución escrita:
El semicírculo sobre AB‾\overline{AB} tiene área 8π8\pi, así que su círculo completo tendría área 16π16\pi. Por lo tanto, su radio es 44, y AB=8AB=8.
Un semicírculo de radio rr tiene longitud de arco πr\pi r. Como el arco sobre AC‾\overline{AC} tiene longitud 8.5π8.5\pi, su radio es 8.58.5, así que AC=17AC=17.
Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABCABC, BC=172−82=225=15. BC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15. El radio del semicírculo sobre BC‾\overline{BC} es 152=7.5\frac{15}{2}=7.5.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
The semicircle on AB‾\overline{AB} has area 8π8\pi, so its full circle would have area 16π16\pi. Its radius is therefore 44, and AB=8AB=8.
A semicircle of radius rr has arc length πr\pi r. Since the arc on AC‾\overline{AC} has length 8.5π8.5\pi, its radius is 8.58.5, so AC=17AC=17.
Using the Pythagorean theorem in right triangle ABCABC, BC=172−82=225=15.BC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15. The radius of the semicircle on BC‾\overline{BC} is 152=7.5\frac{15}{2}=7.5.
Thus, B is the correct answer.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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