Question

En el $\triangle ABC$ , $\angle ABC$ es un ángulo recto. Los lados del $\triangle ABC$ son los diámetros de semicírculos, como se muestra. El área del semicírculo sobre $\overline{AB}$ es igual a $8\pi,$ y el arco del semicírculo sobre $\overline{AC}$ tiene longitud $8.5\pi.$ ¿Cuál es el radio del semicírculo sobre $\overline{BC}$ ?

In $\triangle ABC$ , $\angle ABC$ is a right angle. The sides of $\triangle ABC$ are the diameters of semicircles as shown. The area of the semicircle on $\overline{AB}$ equals $8\pi,$ and the arc of the semicircle on $\overline{AC}$ has length $8.5\pi.$ What is the radius of the semicircle on $\overline{BC}?$

$7$

$7.5$

$8$

$8.5$

$9$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

El semicírculo sobre $\overline{AB}$ tiene área $8\pi$ , así que su círculo completo tendría área $16\pi$ . Por lo tanto, su radio es $4$ , y $AB=8$ .

Un semicírculo de radio $r$ tiene longitud de arco $\pi r$ . Como el arco sobre $\overline{AC}$ tiene longitud $8.5\pi$ , su radio es $8.5$ , así que $AC=17$ .

Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ABC$ , $BC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15.$ El radio del semicírculo sobre $\overline{BC}$ es $15/2=7.5$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The semicircle on $\overline{AB}$ has area $8\pi$ , so its full circle would have area $16\pi$ . Its radius is therefore $4$ , and $AB=8$ .

A semicircle of radius $r$ has arc length $\pi r$ . Since the arc on $\overline{AC}$ has length $8.5\pi$ , its radius is $8.5$ , so $AC=17$ .

Using the Pythagorean theorem in right triangle $ABC$ , $BC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15.$ The radius of the semicircle on $\overline{BC}$ is $15/2=7.5$ .

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 8 Problema 23

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 23 en otros años