Question

Se coloca un $\bigtriangleup$ o un $\bigcirc$ en cada uno de los nueve cuadros de una cuadrícula de $3 \times 3$ . Abajo se muestra una configuración de ejemplo con tres $\bigtriangleup$ en línea.

¿Cuántas configuraciones tendrán tres $\bigtriangleup$ en línea y tres $\bigcirc$ en línea?

A $\bigtriangleup$ or $\bigcirc$ is placed in each of the nine squares in a $3 \times 3$ grid. Shown below is a sample configuration with three $\bigtriangleup$ 's in a line.

How many configurations will have three $\bigtriangleup$ 's in a line and three $\bigcirc$ 's in a line?

$39$

$42$

$78$

$84$

$96$

Solución:

Sea $k$ el número de triángulos. Para tener tanto una línea de triángulos como una línea de círculos, necesitamos $3\le k\le6$ .

Si $k=3$ , los tres triángulos deben formar una línea. Una fila o una columna funciona, porque los seis círculos restantes contienen una fila o columna completa de círculos. Una diagonal no funciona, porque su complemento no contiene ninguna línea completa de círculos. Así, hay $6$ configuraciones para $k=3$ . Por simetría, también hay $6$ configuraciones para $k=6$ .

Si $k=4$ , elige la línea de triángulos y luego el triángulo adicional. Si la línea es una fila o columna, las $6$ posiciones adicionales posibles funcionan, porque una fila o columna paralela queda toda de círculos. Esto da $6\cdot6=36$ configuraciones. Si la línea de triángulos es una diagonal, ninguna posición adicional deja una línea completa de círculos. Por simetría, $k=5$ también da $36$ configuraciones.

El número total de configuraciones es $6+36+36+6=84$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $k$ be the number of triangles. To have both a triangle line and a circle line, we need $3\le k\le6$ .

If $k=3$ , the three triangles must form a line. A row or column works, because the remaining six circles contain a full circle row or column. A diagonal does not work, because its complement contains no full line of circles. Thus there are $6$ configurations for $k=3$ . By symmetry, there are also $6$ configurations for $k=6$ .

If $k=4$ , choose the triangle line and then the extra triangle. If the line is a row or column, all $6$ possible extra positions work, because one parallel row or column remains all circles. This gives $6\cdot6=36$ configurations. If the triangle line is a diagonal, no extra position leaves a full circle line. By symmetry, $k=5$ also gives $36$ configurations.

The total number of configurations is $6+36+36+6=84$ .

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 8 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años