Question

Hay una lista de siete números. El promedio de los primeros cuatro números es $5,$ y el promedio de los últimos cuatro números es $8.$ Si el promedio de los siete números es $6\frac{4}{7},$ entonces el número común a ambos conjuntos de cuatro números es

There is a list of seven numbers. The average of the first four numbers is $5,$ and the average of the last four numbers is $8.$ If the average of all seven numbers is $6\frac{4}{7},$ then the number common to both sets of four numbers is

$5\frac{3}{7}$

$6$

$6\frac{4}{7}$

$7$

$7\frac{3}{7}$

Solución:

La suma de los primeros cuatro números es $4 \cdot 5 = 20.$ La suma de los últimos cuatro números es $4 \cdot 8 = 32.$

La suma de los siete números es $7 \cdot 6\frac{4}{7} = 46.$ Sabemos que el número común a ambos conjuntos está incluido en las dos primeras sumas.

Esto significa que la suma de las dos primeras sumas incluye cada número una vez, excepto el número común, que se incluye dos veces.

La tercera suma, sin embargo, solo incluye cada número una vez. Esto significa que la suma de las dos primeras sumas menos la tercera suma da el número deseado.

Por lo tanto, el número común es $20 + 32 - 46 = 52 - 46 = 6.$

Así, B es la respuesta correcta.

The sum of the first four numbers is $4 \cdot 5 = 20.$ The sum of the last four numbers is $4 \cdot 8 = 32.$

The sum of all seven numbers is $7 \cdot 6\frac{4}{7} = 46.$ We know that the number common to both sets is included in both of first two sums.

This means that the sum of the first two sums includes every number once, except for the common number which is included twice.

The third sum, however, only includes every number once. This means that the sum of the first two sums minus the third sum yields our desired number.

Therefore, the common number is $20 + 32 - 46 = 52 - 46 = 6.$

Thus, B is the correct answer.

2000 AMC 8 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años