Question

El círculo grande tiene diámetro $AC.$ Los dos círculos pequeños tienen sus centros sobre $AC$ y apenas se tocan en $O,$ el centro del círculo grande. Si cada círculo pequeño tiene radio $1,$ ¿cuál es el valor de la razón entre el área de la región sombreada y el área de uno de los círculos pequeños?

The large circle has diameter $AC.$ The two small circles have their centers on $AC$ and just touch at $O,$ the center of the large circle. If each small circle has radius $1,$ what is the value of the ratio of the area of the shaded region to the area of one of the small circles?

entre $\dfrac12$ y $1$

between $\dfrac12$ and $1$

$1$

entre $1$ y $\dfrac32$

between $1$ and $\dfrac32$

entre $\dfrac32$ y $2$

between $\dfrac32$ and $2$

no se puede determinar con la información dada

cannot be determined from the information given

Solución:

El círculo grande tiene radio $2,$ así que su área es $\pi(2)^2 = 4\pi,$ y cada círculo pequeño tiene área $\pi.$

Por simetría, la región sombreada es la mitad de la diferencia de las áreas: $\dfrac12(4\pi - 2\pi) = \pi.$ La razón de esto respecto al área $\pi$ de un círculo pequeño es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The large circle has radius $2,$ so its area is $\pi(2)^2 = 4\pi,$ and each small circle has area $\pi.$

By symmetry the shaded region is half the difference of the areas: $\dfrac12(4\pi - 2\pi) = \pi.$ The ratio of this to one small circle's area $\pi$ is $1.$

Thus, the correct answer is B .

1986 AMC 8 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años