1986 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

En julio de $1861,$ cayeron $366$ pulgadas de lluvia en Cherrapunji, India. ¿Cuál fue la precipitación promedio en pulgadas por hora durante ese mes?

In July $1861,$ $366$ inches of rain fell in Cherrapunji, India. What was the average rainfall in inches per hour during that month?

$\dfrac{366}{31 \times 24}$

$\dfrac{366 \times 31}{24}$

$\dfrac{366 \times 24}{31}$

$\dfrac{31 \times 24}{366}$

$366 \times 31 \times 24$

Respuesta: A

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

La tasa promedio es la precipitación total dividida entre el número total de horas del mes

The average rate is the total rainfall divided by the total number of hours in the month

Pista grande:

Julio tiene $31$ días, y cada día tiene $24$ horas

July has $31$ days, and each day has $24$ hours

Solución:

La precipitación promedio por hora es igual a la precipitación total dividida entre el número total de horas. Julio tiene $31$ días, es decir $31 \times 24$ horas, así que el promedio es $\dfrac{366}{31 \times 24} = \dfrac{61}{124}$ pulgadas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The average rainfall per hour equals the total rainfall divided by the total number of hours. July has $31$ days, or $31 \times 24$ hours, so the average is $\dfrac{366}{31 \times 24} = \dfrac{61}{124}$ inches per hour.

Thus, the correct answer is A .

2.

¿Cuál de los siguientes números tiene el recíproco más grande?

Which of the following numbers has the largest reciprocal?

$\dfrac13$

$\dfrac25$

$1$

$5$

$1986$

Respuesta: A

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

El recíproco de un número positivo es mayor cuando el número mismo es más pequeño

The reciprocal of a positive number is largest when the number itself is smallest

Pista grande:

Compara los cinco números y encuentra el más pequeño

Compare the five numbers and find the smallest one

Solución:

Un número positivo grande tiene un recíproco pequeño, y un número positivo pequeño tiene un recíproco grande. El número más pequeño de la lista es $\dfrac13,$ cuyo recíproco $3$ es el mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A large positive number has a small reciprocal, and a small positive number has a large reciprocal. The smallest number listed is $\dfrac13,$ whose reciprocal $3$ is the largest.

Thus, the correct answer is A .

3.

La suma más pequeña que se puede obtener sumando tres números diferentes del conjunto $\{7, 25, -1, 12, -3\}$ es

The smallest sum one could get by adding three different numbers from the set $\{7, 25, -1, 12, -3\}$ is

$-3$

$-1$

$3$

$5$

$21$

Respuesta: C

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Para que la suma sea lo más pequeña posible, elige los tres números más pequeños

To make the sum as small as possible, choose the three smallest numbers

Pista grande:

Los tres números más pequeños son $-3,$ $-1,$ y $7$

The three smallest numbers are $-3,$ $-1,$ and $7$

Solución:

Los tres números más pequeños del conjunto son $-3,$ $-1,$ y $7.$ Su suma es $-3 + (-1) + 7 = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The three smallest numbers in the set are $-3,$ $-1,$ and $7.$ Their sum is $-3 + (-1) + 7 = 3.$

Thus, the correct answer is C .

4.

El producto $(1.8)(40.3 + 0.07)$ es más cercano a

The product $(1.8)(40.3 + 0.07)$ is closest to

$7$

$42$

$74$

$84$

$737$

Respuesta: C

Conceptos:estimación

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Redondea cada factor: $1.8$ está cerca de $2$ y $40.3 + 0.07$ está cerca de $40$

Round each factor: $1.8$ is near $2$ and $40.3 + 0.07$ is near $40$

Pista grande:

Estima $2 \times 40$ y ajusta ligeramente hacia abajo ya que $1.8 \lt 2$

Estimate $2 \times 40$ and adjust slightly downward since $1.8 \lt 2$

Solución:

El segundo factor $40.3 + 0.07 = 40.37$ es aproximadamente $40,$ y $1.8$ es aproximadamente $2.$ Una estimación rápida es $2(40) - 0.2(40) = 80 - 8 = 72,$ así que el producto es más cercano a $74.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The second factor $40.3 + 0.07 = 40.37$ is about $40,$ and $1.8$ is about $2.$ A quick estimate is $2(40) - 0.2(40) = 80 - 8 = 72,$ so the product is closest to $74.$

Thus, the correct answer is C .

5.

Un concurso comenzó al mediodía de cierto día y terminó $1000$ minutos después. ¿A qué hora terminó el concurso?

A contest began at noon one day and ended $1000$ minutes later. At what time did the contest end?

$10\!:\!00$ p.m.

medianoche

midnight

$2\!:\!30$ a.m.

$4\!:\!40$ a.m.

$6\!:\!40$ a.m.

Respuesta: D

Conceptos:fecha y hora conversión de unidades

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Convierte $1000$ minutos en horas y minutos dividiendo entre $60$

Convert $1000$ minutes into hours and minutes by dividing by $60$

Pista grande:

$1000$ minutos son $16$ horas y $40$ minutos; suma eso al mediodía

$1000$ minutes is $16$ hours and $40$ minutes; add that to noon

Solución:

Como $1000$ minutos $= \dfrac{1000}{60}$ horas $= 16\dfrac23$ horas $= 16$ horas $40$ minutos, el concurso terminó $16$ horas $40$ minutos después del mediodía, es decir a las $4\!:\!40$ a.m.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $1000$ minutes $= \dfrac{1000}{60}$ hours $= 16\dfrac23$ hours $= 16$ hours $40$ minutes, the contest ended $16$ hours $40$ minutes past noon, which is $4\!:\!40$ a.m.

Thus, the correct answer is D .

6.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\frac{2}{1 - \frac{2}{3}}$

What is the value of the following expression?

$\frac{2}{1 - \frac{2}{3}}$

$-3$

$-\dfrac43$

$\dfrac23$

$2$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:fracción orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Primero simplifica el denominador $1 - \dfrac23$

First simplify the denominator $1 - \dfrac23$

Pista grande:

Dividir entre $\dfrac13$ es lo mismo que multiplicar por $3$

Dividing by $\dfrac13$ is the same as multiplying by $3$

Solución:

El denominador es $1 - \dfrac23 = \dfrac13,$ así que la expresión es $\dfrac{2}{\frac{1}{3}} = 2 \times 3 = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The denominator is $1 - \dfrac23 = \dfrac13,$ so the expression is $\dfrac{2}{\frac{1}{3}} = 2 \times 3 = 6.$

Thus, the correct answer is E .

7.

¿Cuántos números enteros hay entre $\sqrt{8}$ y $\sqrt{80}$ ?

How many whole numbers are between $\sqrt{8}$ and $\sqrt{80}?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: B

Conceptos:conteo de enteros en un rango cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Encuentra los cuadrados perfectos justo por encima de $8$ y justo por debajo de $80$

Find perfect squares just above $8$ and just below $80$

Pista grande:

$\sqrt{8}$ está entre $2$ y $3,$ y $\sqrt{80}$ está entre $8$ y $9$

$\sqrt{8}$ is between $2$ and $3,$ and $\sqrt{80}$ is between $8$ and $9$

Solución:

Como $2 \lt \sqrt{8} \lt 3$ y $8 \lt \sqrt{80} \lt 9,$ los números enteros estrictamente entre $\sqrt{8}$ y $\sqrt{80}$ son $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8.$ Hay seis de ellos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $2 \lt \sqrt{8} \lt 3$ and $8 \lt \sqrt{80} \lt 9,$ the whole numbers strictly between $\sqrt{8}$ and $\sqrt{80}$ are $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8.$ There are six of them.

Thus, the correct answer is B .

8.

En la multiplicación mostrada, $B$ representa un dígito. ¿Cuál es el valor de $B$ ?

$\begin{array}{r} B2 \\ \times\, 7B \\ \hline 6396 \end{array}$

In the multiplication shown, $B$ represents a digit. What is the value of $B?$

$\begin{array}{r} B2 \\ \times\, 7B \\ \hline 6396 \end{array}$

$3$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:criptoaritmética dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

El dígito de las unidades del producto es $6,$ y proviene de $B \times 2$

The units digit of the product is $6,$ and it comes from $B \times 2$

Pista grande:

$B \times 2$ termina en $6$ cuando $B = 3$ o $B = 8;$ el producto es grande, así que prueba qué valor funciona

$B \times 2$ ends in $6$ when $B = 3$ or $B = 8;$ the product is large, so test which value works

Solución:

El dígito de las unidades del producto proviene de $B \times 2,$ que termina en $6$ solo cuando $B = 3$ o $B = 8.$ Como el producto $6396$ supera $6000,$ $B$ debe ser $8:$ en efecto $82 \times 78 = 6396.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The units digit of the product comes from $B \times 2,$ which ends in $6$ only when $B = 3$ or $B = 8.$ Since the product $6396$ exceeds $6000,$ $B$ must be $8:$ indeed $82 \times 78 = 6396.$

Thus, the correct answer is E .

9.

Usando solo los caminos y las direcciones mostradas, ¿cuántas rutas diferentes hay de $M$ a $N$ ?

Using only the paths and the directions shown, how many different routes are there from $M$ to $N?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:conteo básico enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Enumera las rutas según el primer paso: desde $M$ puedes ir a $A$ o a $B$

List the routes by the first step: from $M$ you can go to $A$ or to $B$

Pista grande:

Sigue las flechas con cuidado; desde $B$ puedes llegar a $A,$ $C,$ o $N$ directamente

Follow the arrows carefully; from $B$ you can reach $A,$ $C,$ or $N$ directly

Solución:

Siguiendo las flechas, las rutas posibles son $MADCN,$ $MACN,$ $MBADCN,$ $MBACN,$ $MBCN,$ y $MBN.$ Hay seis de ellas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Following the arrows, the possible routes are $MADCN,$ $MACN,$ $MBADCN,$ $MBACN,$ $MBCN,$ and $MBN.$ There are six of them.

Thus, the correct answer is E .

10.

Un cuadro de $3$ pies de ancho se cuelga en el centro de una pared que mide $19$ pies de ancho. ¿A cuántos pies del extremo de la pared está el borde más cercano del cuadro?

A picture $3$ feet across is hung in the center of a wall that is $19$ feet wide. How many feet from the end of the wall is the nearest edge of the picture?

$1\dfrac12$

$8$

$9\dfrac12$

$16$

$22$

Respuesta: B

Conceptos:simetría

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

El cuadro está centrado, así que los dos espacios a los lados son iguales

The picture is centered, so the two gaps on the sides are equal

Pista grande:

Resta el ancho del cuadro al ancho de la pared, luego reparte el resto entre los dos lados

Subtract the picture width from the wall width, then split the remainder between the two sides

Solución:

El cuadro deja $19 - 3 = 16$ pies de pared, repartidos por igual en dos espacios de $8$ pies cada uno. Así que el borde más cercano del cuadro está a $8$ pies del extremo de la pared.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The picture leaves $19 - 3 = 16$ feet of wall, split equally into two gaps of $8$ feet each. So the nearest edge of the picture is $8$ feet from the end of the wall.

Thus, the correct answer is B .

11.

Si $A * B$ significa $\dfrac{A + B}{2},$ entonces $(3 * 5) * 8$ es

If $A * B$ means $\dfrac{A + B}{2},$ then $(3 * 5) * 8$ is

$6$

$8$

$12$

$16$

$30$

Respuesta: A

Conceptos:operación personalizada

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

La operación $A * B$ da el promedio de $A$ y $B$

The operation $A * B$ gives the average of $A$ and $B$

Pista grande:

Primero calcula $3 * 5,$ luego combina ese resultado con $8$

First compute $3 * 5,$ then combine that result with $8$

Solución:

Primero, $3 * 5 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4.$ Luego $4 * 8 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

First, $3 * 5 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4.$ Then $4 * 8 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6.$

Thus, the correct answer is A .

12.

La tabla mostrada presenta la distribución de calificaciones de los $30$ estudiantes de una clase de matemáticas en las dos últimas pruebas. Por ejemplo, exactamente un estudiante obtuvo una ‘D’ en la Prueba $1$ y una ‘C’ en la Prueba $2$ (la casilla marcada con un círculo). ¿Qué porcentaje de los estudiantes obtuvo la misma calificación en ambas pruebas?

The table shown displays the grade distribution of the $30$ students in a mathematics class on the last two tests. For example, exactly one student received a ‘D’ on Test $1$ and a ‘C’ on Test $2$ (the circled entry). What percent of the students received the same grade on both tests?

$12\%$

$25\%$

$33\dfrac13\%$

$40\%$

$50\%$

Respuesta: D

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Un estudiante con la misma calificación en ambas pruebas está en la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha de la tabla

A student with the same grade on both tests lies on the diagonal running from the top-left to the bottom-right of the table

Pista grande:

Suma las casillas de la diagonal, luego divide entre $30$ y convierte a porcentaje

Add the diagonal entries, then divide by $30$ and convert to a percent

Solución:

Un estudiante obtuvo la misma calificación en ambas pruebas exactamente cuando se cuenta en la diagonal principal. Esas casillas son $2 + 4 + 5 + 1 + 0 = 12.$

Así que la fracción es $\dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = 40\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A student received the same grade on both tests exactly when counted on the main diagonal. Those entries are $2 + 4 + 5 + 1 + 0 = 12.$

So the fraction is $\dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = 40\%.$

Thus, the correct answer is D .

13.

El perímetro del polígono mostrado es

The perimeter of the polygon shown is

$14$

$20$

$28$

$48$

no se puede determinar con la información dada

cannot be determined from the information given

Respuesta: C

Conceptos:perímetro rectángulo

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Todos los ángulos son rectos, así que los lados horizontales y los lados verticales se pueden reagrupar por separado

All the angles are right angles, so the horizontal edges and the vertical edges can each be regrouped

Pista grande:

Los lados horizontales que van a la derecha y a la izquierda abarcan cada uno todo el ancho $8,$ y los lados verticales que suben y bajan abarcan cada uno toda la altura $6$

The rightward and leftward horizontal edges each span the full width $8,$ and the upward and downward vertical edges each span the full height $6$

Solución:

Como cada ángulo es recto, al deslizar los lados se ve que los lados horizontales juntos recorren el ancho dos veces y los lados verticales recorren la altura dos veces. Así que el perímetro es igual al del rectángulo completo de $8$ por $6$ , $2(8 + 6) = 28.$

La respuesta no depende de dónde exactamente se corte la muesca.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because every angle is a right angle, sliding the edges shows that the horizontal edges together traverse the width twice and the vertical edges traverse the height twice. So the perimeter equals that of the full $8$ by $6$ rectangle, $2(8 + 6) = 28.$

The answer does not depend on exactly where the notch is cut.

Thus, the correct answer is C .

14.

Si $200 \le a \le 400$ y $600 \le b \le 1200,$ entonces el valor más grande del cociente $\dfrac{b}{a}$ es

If $200 \le a \le 400$ and $600 \le b \le 1200,$ then the largest value of the quotient $\dfrac{b}{a}$ is

$\dfrac32$

$3$

$6$

$300$

$600$

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad optimización

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Un cociente es más grande cuando el numerador es lo más grande posible y el denominador lo más pequeño posible

A quotient is largest when the numerator is as large as possible and the denominator as small as possible

Pista grande:

Usa el mayor $b$ y el menor $a$

Use the largest $b$ and the smallest $a$

Solución:

El cociente $\dfrac{b}{a}$ es más grande con el mayor $b$ y el menor $a,$ dando $\dfrac{1200}{200} = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The quotient $\dfrac{b}{a}$ is largest with the biggest $b$ and smallest $a,$ giving $\dfrac{1200}{200} = 6.$

Thus, the correct answer is C .

15.

Los precios de oferta en la tienda Ajax Outlet están $50\%$ por debajo de los precios originales. Los sábados se aplica un descuento adicional del $20\%$ sobre el precio de oferta. ¿Cuál es el precio de un abrigo el sábado si su precio original es $\$180$ ?

Sale prices at the Ajax Outlet Store are $50\%$ below original prices. On Saturdays an additional discount of $20\%$ off the sale price is given. What is the Saturday price of a coat whose original price is $\$180?$

$\$54$

$\$72$

$\$90$

$\$108$

$\$110$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Un descuento del $50\%$ deja la mitad del precio original

A $50\%$ discount leaves half the original price

Pista grande:

Luego toma el $80\%$ de ese precio de oferta para aplicar el $20\%$ adicional de descuento

Then take $80\%$ of that sale price to apply the extra $20\%$ off

Solución:

El precio de oferta es el $50\%$ de $\$180,$ es decir $\$90.$ El precio del sábado descuenta otro $20\%$ , dejando el $80\%$ de $\$90,$ que es $\$72.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sale price is $50\%$ of $\$180,$ or $\$90.$ The Saturday price takes another $20\%$ off, leaving $80\%$ of $\$90,$ which is $\$72.$

Thus, the correct answer is B .

16.

Una gráfica de barras muestra la cantidad de hamburguesas que vende una cadena de comida rápida en cada estación. Sin embargo, la barra que indica la cantidad vendida durante el invierno está cubierta por una mancha. Si exactamente el $25\%$ de las hamburguesas de la cadena se venden en el otoño, ¿cuántos millones de hamburguesas se venden en el invierno?

A bar graph shows the number of hamburgers sold by a fast food chain each season. However, the bar indicating the number sold during the winter is covered by a smudge. If exactly $25\%$ of the chain’s hamburgers are sold in the fall, how many million hamburgers are sold in the winter?

$2.5$

$3$

$3.5$

$4$

$4.5$

Respuesta: A

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Las ventas de otoño de $4$ millones son el $25\%$ del total anual, así que primero encuentra el total anual

The fall sales of $4$ million are $25\%$ of the yearly total, so find the yearly total first

Pista grande:

Resta las ventas de primavera, verano y otoño al total anual

Subtract the spring, summer, and fall sales from the yearly total

Solución:

Si las ventas de otoño de $4$ millones son el $25\%$ del total anual, entonces el total anual es $16$ millones.

Las ventas de invierno son $16 - (4.5 + 5 + 4) = 2.5$ millones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the fall sales of $4$ million are $25\%$ of the yearly total, then the yearly total is $16$ million.

The winter sales are $16 - (4.5 + 5 + 4) = 2.5$ million.

Thus, the correct answer is A .

17.

Sea $o$ un número entero impar y sea $n$ cualquier número entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el número entero $o^2 + no$ es siempre verdadera?

Let $o$ be an odd whole number and let $n$ be any whole number. Which of the following statements about the whole number $o^2 + no$ is always true?

siempre es impar

it is always odd

siempre es par

it is always even

es par solo si $n$ es par

it is even only if $n$ is even

es impar solo si $n$ es impar

it is odd only if $n$ is odd

es impar solo si $n$ es par

it is odd only if $n$ is even

Respuesta: E

Conceptos:paridad factorización

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Factoriza: $o^2 + no = o(o + n)$

Factor: $o^2 + no = o(o + n)$

Pista grande:

Como $o$ es impar, la paridad de $o(o + n)$ coincide con la paridad de $o + n$

Since $o$ is odd, the parity of $o(o + n)$ matches the parity of $o + n$

Solución:

Factoriza $o^2 + no = o(o + n).$ Como $o$ es impar, el producto es impar exactamente cuando $o + n$ es impar, lo cual ocurre solo cuando $n$ es par. Cuando $n$ es impar, $o + n$ es par y el producto es par.

Así que el número es impar solo si $n$ es par.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor $o^2 + no = o(o + n).$ Because $o$ is odd, the product is odd exactly when $o + n$ is odd, which happens only when $n$ is even. When $n$ is odd, $o + n$ is even and the product is even.

So the number is odd only if $n$ is even.

Thus, the correct answer is E .

18.

Se va a cercar un área rectangular de pastoreo por tres lados usando parte de un muro de roca de $100$ metros como cuarto lado. Los postes de la cerca se colocan cada $12$ metros a lo largo de la cerca, incluyendo los dos postes donde la cerca se encuentra con el muro de roca. ¿Cuál es el menor número de postes necesarios para cercar un área de $36$ m por $60$ m?

A rectangular grazing area is to be fenced off on three sides using part of a $100$ meter rock wall as the fourth side. Fence posts are to be placed every $12$ meters along the fence, including the two posts where the fence meets the rock wall. What is the fewest number of posts required to fence an area $36$ m by $60$ m?

$11$

$12$

$13$

$14$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:perímetro optimización conteo de postes

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Para usar la menor cantidad de postes, deja que el lado de $60$ metros quede a lo largo del muro, así la longitud cercada es lo más corta posible

To use the fewest posts, let the $60$ meter side lie along the wall, so the fenced length is as short as possible

Pista grande:

El recorrido cercado es $36 + 60 + 36 = 132$ metros; coloca un poste cada $12$ metros, contando ambos extremos

The fenced path is $36 + 60 + 36 = 132$ meters; place a post every $12$ meters, counting both ends

Solución:

Se usan menos postes cuando el muro sirve como el lado más largo de $60$ metros, así que la cerca cubre dos lados de $36$ metros y un lado de $60$ metros, un recorrido de $36 + 60 + 36 = 132$ metros.

Colocando un poste cada $12$ metros, incluyendo ambos extremos, se usan $\dfrac{132}{12} + 1 = 12$ postes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The fewest posts are used when the wall serves as the longer $60$ meter side, so the fence covers two $36$ meter sides and one $60$ meter side, a path of $36 + 60 + 36 = 132$ meters.

Placing a post every $12$ meters, including both ends, uses $\dfrac{132}{12} + 1 = 12$ posts.

Thus, the correct answer is B .

19.

Al comienzo de un viaje, el odómetro marcaba $56{,}200$ millas. El conductor llenó el tanque de gasolina con $6$ galones de gasolina. Durante el viaje, el conductor volvió a llenar el tanque con $12$ galones de gasolina cuando el odómetro marcaba $56{,}560.$ Al final del viaje, el conductor volvió a llenar el tanque con $20$ galones de gasolina; el odómetro marcaba $57{,}060.$ Redondeando a la décima más cercana, ¿cuál fue el promedio de millas por galón del automóvil durante todo el viaje?

At the beginning of a trip, the mileage odometer read $56{,}200$ miles. The driver filled the gas tank with $6$ gallons of gasoline. During the trip, the driver filled the tank again with $12$ gallons of gasoline when the odometer read $56{,}560.$ At the end of the trip, the driver filled the tank again with $20$ gallons of gasoline; the odometer read $57{,}060.$ To the nearest tenth, what was the car’s average miles-per-gallon for the entire trip?

$22.5$

$22.6$

$24.0$

$26.9$

$27.5$

Respuesta: D

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

La gasolina usada durante el viaje es solo la que se agregó después del inicio: $12 + 20$ galones

The gas used during the trip is only what was added after the start: $12 + 20$ gallons

Pista grande:

Divide el total de millas recorridas entre los galones usados durante el viaje

Divide the total miles driven by the gallons used during the trip

Solución:

El viaje fue de $57{,}060 - 56{,}200 = 860$ millas. Los $6$ galones iniciales solo llenaron el tanque antes del viaje; la gasolina realmente usada durante el viaje son los $12 + 20 = 32$ galones agregados después para reponerla.

Así que el promedio es $\dfrac{860}{32} \approx 26.9$ millas por galón.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The trip was $57{,}060 - 56{,}200 = 860$ miles. The initial $6$ gallons only topped off the tank before the trip; the gas actually used during the trip is the $12 + 20 = 32$ gallons later added to replace it.

So the average is $\dfrac{860}{32} \approx 26.9$ miles per gallon.

Thus, the correct answer is D .

20.

El valor de la expresión

$\frac{(304)^5}{(29.7)(399)^4}$

es más cercano a

The value of the expression

$\frac{(304)^5}{(29.7)(399)^4}$

is closest to

$0.003$

$0.03$

$0.3$

$3$

$30$

Respuesta: D

Conceptos:estimación exponente

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Redondea los números: $304 \approx 300,$ $29.7 \approx 30,$ y $399 \approx 400$

Round the numbers: $304 \approx 300,$ $29.7 \approx 30,$ and $399 \approx 400$

Pista grande:

Simplifica $\dfrac{300^5}{30 \cdot 400^4} = 10 \left(\dfrac34\right)^4$

Simplify $\dfrac{300^5}{30 \cdot 400^4} = 10 \left(\dfrac34\right)^4$

Solución:

Estimando:

$\begin{aligned} \dfrac{300^5}{30 \cdot 400^4} &= 10 \left(\dfrac{300}{400}\right)^4 \\ &= 10 \left(\dfrac34\right)^4 \\ &= 10 \cdot \dfrac{81}{256} \approx 3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Estimating,

$\begin{aligned} \dfrac{300^5}{30 \cdot 400^4} &= 10 \left(\dfrac{300}{400}\right)^4 \\ &= 10 \left(\dfrac34\right)^4 \\ &= 10 \cdot \dfrac{81}{256} \approx 3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

21.

Supón que uno de los ocho cuadrados idénticos con letras se incluye con los cuatro cuadrados sombreados en la figura en forma de T mostrada. ¿Cuántas de las figuras resultantes se pueden doblar para formar una caja cúbica sin tapa?

Suppose one of the eight lettered identical squares is included with the four shaded squares in the T-shaped figure shown. How many of the resulting figures can be folded into a topless cubical box?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Una caja sin tapa tiene $5$ caras, así que los cuatro cuadrados sombreados más el cuadrado agregado deben doblarse en un cubo al que le falta la cara superior

A topless box has $5$ faces, so the four shaded squares plus the one added square must fold into a cube missing its top

Pista grande:

Prueba cada cuadrado con letra como la quinta cara; una colocación falla cuando al doblar dos caras quedarían en el mismo lugar

Try each lettered square as the fifth face; a placement fails when folding would force two faces into the same spot

Solución:

Los cuatro cuadrados sombreados se doblan en cuatro caras de una caja abierta, y el cuadrado agregado aporta la quinta cara. Imaginando los dobleces, los cuadrados $A,$ $E,$ $H,$ $B,$ $D,$ y $F$ completan cada uno una caja sin tapa válida.

Los cuadrados $C$ y $G$ no funcionan, porque al doblar cuatro caras se encontrarían en una sola esquina. Eso deja $6$ figuras válidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The four shaded squares fold into four faces of an open box, and the added square supplies the fifth face. Picturing the folds, the squares $A,$ $E,$ $H,$ $B,$ $D,$ and $F$ each complete a valid topless box.

The squares $C$ and $G$ do not work, because folding would force four faces to meet at a single corner. That leaves $6$ valid figures.

Thus, the correct answer is E .

22.

Alan, Beth, Carlos y Diana estaban discutiendo las posibles calificaciones que podrían obtener en la clase de matemáticas en este periodo de evaluación. Alan dijo: “Si yo saco una A, entonces Beth sacará una A.” Beth dijo: “Si yo saco una A, entonces Carlos sacará una A.” Carlos dijo: “Si yo saco una A, entonces Diana sacará una A.” Todas estas afirmaciones eran verdaderas, pero solo dos de los estudiantes sacaron una A. ¿Cuáles dos obtuvieron una A?

Alan, Beth, Carlos, and Diana were discussing their possible grades in mathematics class this grading period. Alan said, “If I get an A, then Beth will get an A.” Beth said, “If I get an A, then Carlos will get an A.” Carlos said, “If I get an A, then Diana will get an A.” All of these statements were true, but only two of the students received an A. Which two received A’s?

Alan, Beth

Beth, Carlos

Carlos, Diana

Alan, Diana

Beth, Diana

Respuesta: C

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Si un estudiante anterior en la cadena saca una A, todos los que están después de él en la cadena también deben sacar una A

If a student earlier in the chain gets an A, everyone after them in the chain must also get an A

Pista grande:

Para tener exactamente dos A, esos dos deben ser los últimos estudiantes de la cadena

For exactly two A’s, the two must be the last students in the chain

Solución:

Las afirmaciones forman una cadena: la A de Alan obliga la de Beth, la de Beth obliga la de Carlos, y la de Carlos obliga la de Diana. Si Alan sacara una A, los cuatro la sacarían; si Beth sacara una A, tres la sacarían.

La única forma de tener exactamente dos A es que sean los dos últimos de la cadena, Carlos y Diana.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The statements form a chain: Alan’s A forces Beth’s, Beth’s forces Carlos’s, and Carlos’s forces Diana’s. If Alan got an A, all four would; if Beth got an A, three would.

The only way to have exactly two A’s is for them to be the last two in the chain, Carlos and Diana.

Thus, the correct answer is C .

23.

El círculo grande tiene diámetro $AC.$ Los dos círculos pequeños tienen sus centros sobre $AC$ y apenas se tocan en $O,$ el centro del círculo grande. Si cada círculo pequeño tiene radio $1,$ ¿cuál es el valor de la razón entre el área de la región sombreada y el área de uno de los círculos pequeños?

The large circle has diameter $AC.$ The two small circles have their centers on $AC$ and just touch at $O,$ the center of the large circle. If each small circle has radius $1,$ what is the value of the ratio of the area of the shaded region to the area of one of the small circles?

entre $\dfrac12$ y $1$

between $\dfrac12$ and $1$

$1$

entre $1$ y $\dfrac32$

between $1$ and $\dfrac32$

entre $\dfrac32$ y $2$

between $\dfrac32$ and $2$

no se puede determinar con la información dada

cannot be determined from the information given

Respuesta: B

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

El círculo grande tiene radio $2,$ ya que $AC$ es igual a dos diámetros pequeños

The large circle has radius $2,$ since $AC$ equals two small diameters

Pista grande:

Por simetría, la región sombreada es la mitad de la diferencia entre el área del círculo grande y el área de los dos círculos pequeños

By symmetry the shaded region is half the difference between the large circle’s area and the two small circles’ area

Solución:

El círculo grande tiene radio $2,$ así que su área es $\pi(2)^2 = 4\pi,$ y cada círculo pequeño tiene área $\pi.$

Por simetría, la región sombreada es la mitad de la diferencia de las áreas: $\dfrac12(4\pi - 2\pi) = \pi.$ La razón de esto respecto al área $\pi$ de un círculo pequeño es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The large circle has radius $2,$ so its area is $\pi(2)^2 = 4\pi,$ and each small circle has area $\pi.$

By symmetry the shaded region is half the difference of the areas: $\dfrac12(4\pi - 2\pi) = \pi.$ The ratio of this to one small circle’s area $\pi$ is $1.$

Thus, the correct answer is B .

24.

Los $600$ estudiantes de la Escuela Secundaria King se dividen en tres grupos del mismo tamaño para el almuerzo. Cada grupo almuerza a una hora diferente. Una computadora asigna aleatoriamente a cada estudiante a uno de los tres grupos de almuerzo. La probabilidad de que tres amigos, Al, Bob y Carol, sean asignados al mismo grupo de almuerzo es aproximadamente

The $600$ students at King Middle School are divided into three groups of equal size for lunch. Each group has lunch at a different time. A computer randomly assigns each student to one of the three lunch groups. The probability that three friends, Al, Bob, and Carol, will be assigned to the same lunch group is approximately

$\dfrac{1}{27}$

$\dfrac19$

$\dfrac18$

$\dfrac16$

$\dfrac13$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad condicional muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Fija el grupo de Al; luego encuentra la probabilidad de que Bob caiga en ese mismo grupo

Fix Al’s group; then find the chance that Bob lands in that same group

Pista grande:

Una vez fijado el grupo de Al, la probabilidad de que Bob esté en ese grupo es $\frac{199}{599}$ , y después la de Carol es $\frac{198}{598}$

After Al’s group is fixed, Bob’s chance is $\frac{199}{599}$ and then Carol’s is $\frac{198}{598}$

Solución:

Sea cual sea el grupo de Al, Bob se une a ese mismo grupo con probabilidad $\dfrac{199}{599}.$ Si Bob lo hace, Carol se une a ellos con probabilidad $\dfrac{198}{598}.$

Así que los tres comparten grupo con probabilidad aproximada de $\dfrac{199}{599} \cdot \dfrac{198}{598} \approx 0.110,$ cuyo valor más cercano es $\dfrac19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Whatever group Al is in, Bob joins that same group with probability $\dfrac{199}{599}.$ If Bob does, Carol joins them with probability $\dfrac{198}{598}.$

Thus all three share a group with probability $\dfrac{199}{599} \cdot \dfrac{198}{598} \approx 0.110,$ closest to $\dfrac19.$

Thus, the correct answer is B .

25.

¿Cuál de los siguientes conjuntos de números enteros tiene el mayor promedio?

Which of the following sets of whole numbers has the largest average?

múltiplos de $2$ entre $1$ y $101$

multiples of $2$ between $1$ and $101$

múltiplos de $3$ entre $1$ y $101$

multiples of $3$ between $1$ and $101$

múltiplos de $4$ entre $1$ y $101$

multiples of $4$ between $1$ and $101$

múltiplos de $5$ entre $1$ y $101$

multiples of $5$ between $1$ and $101$

múltiplos de $6$ entre $1$ y $101$

multiples of $6$ between $1$ and $101$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética media

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Para números igualmente espaciados, el promedio es igual al promedio del más pequeño y el más grande

For evenly spaced numbers, the average equals the average of the smallest and largest

Pista grande:

Sean $a_1$ y $a_n$ , respectivamente, el primer término y el último; calcula $\dfrac{a_1 + a_n}{2}$ para cada conjunto y compara

Let $a_1$ and $a_n$ be the first and last terms; compute $\dfrac{a_1 + a_n}{2}$ for each set and compare

Solución:

Para un conjunto de números enteros igualmente espaciados, el promedio es el promedio del más pequeño y el más grande. Los promedios son: A: $\dfrac{2 + 100}{2} = 51,$ B: $\dfrac{3 + 99}{2} = 51,$ C: $\dfrac{4 + 100}{2} = 52,$ D: $\dfrac{5 + 100}{2} = 52.5,$ E: $\dfrac{6 + 96}{2} = 51.$

El mayor promedio es $52.5,$ el de los múltiplos de $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a set of evenly spaced whole numbers, the average is the average of the smallest and largest. The averages are: A: $\dfrac{2 + 100}{2} = 51,$ B: $\dfrac{3 + 99}{2} = 51,$ C: $\dfrac{4 + 100}{2} = 52,$ D: $\dfrac{5 + 100}{2} = 52.5,$ E: $\dfrac{6 + 96}{2} = 51.$

The largest average is $52.5,$ from the multiples of $5.$

Thus, the correct answer is D .

Problemas del 1986 AMC 8

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande: