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Soluciones del 1986 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

En julio de 1861,1861, cayeron 366366 pulgadas de lluvia en Cherrapunji, India. ¿Cuál fue la precipitación promedio en pulgadas por hora durante ese mes?
In July 1861,1861, 366366 inches of rain fell in Cherrapunji, India. What was the average rainfall in inches per hour during that month?
36631×24\dfrac{366}{31 \times 24}
366×3124\dfrac{366 \times 31}{24}
366×2431\dfrac{366 \times 24}{31}
31×24366\dfrac{31 \times 24}{366}
366×31×24366 \times 31 \times 24
Conceptos:tasaconversión de unidades
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
La tasa promedio es la precipitación total dividida entre el número total de horas del mes
The average rate is the total rainfall divided by the total number of hours in the month
Pista grande:
Julio tiene 3131 días, y cada día tiene 2424 horas
July has 3131 days, and each day has 2424 hours
Solución:
La precipitación promedio por hora es igual a la precipitación total dividida entre el número total de horas. Julio tiene 3131 días, es decir 31×2431 \times 24 horas, así que el promedio es 36631×24=61124\dfrac{366}{31 \times 24} = \dfrac{61}{124} pulgadas por hora.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The average rainfall per hour equals the total rainfall divided by the total number of hours. July has 3131 days, or 31×2431 \times 24 hours, so the average is 36631×24=61124\dfrac{366}{31 \times 24} = \dfrac{61}{124} inches per hour.
Thus, the correct answer is A .

2.

¿Cuál de los siguientes números tiene el recíproco más grande?
Which of the following numbers has the largest reciprocal?
13\dfrac13
25\dfrac25
11
55
19861986
Conceptos:fracción
Nivel de dificultad: 560
Pista pequeña:
El recíproco de un número positivo es mayor cuando el número mismo es más pequeño
The reciprocal of a positive number is largest when the number itself is smallest
Pista grande:
Compara los cinco números y encuentra el más pequeño
Compare the five numbers and find the smallest one
Solución:
Un número positivo grande tiene un recíproco pequeño, y un número positivo pequeño tiene un recíproco grande. El número más pequeño de la lista es 13,\dfrac13, cuyo recíproco 33 es el mayor.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
A large positive number has a small reciprocal, and a small positive number has a large reciprocal. The smallest number listed is 13,\dfrac13, whose reciprocal 33 is the largest.
Thus, the correct answer is A .

3.

La suma más pequeña que se puede obtener sumando tres números diferentes del conjunto {7,25,−1,12,−3}\{7, 25, -1, 12, -3\} es
The smallest sum one could get by adding three different numbers from the set {7,25,−1,12,−3}\{7, 25, -1, 12, -3\} is
−3-3
−1-1
33
55
2121
Conceptos:optimización
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Para que la suma sea lo más pequeña posible, elige los tres números más pequeños
To make the sum as small as possible, choose the three smallest numbers
Pista grande:
Los tres números más pequeños son −3,-3, −1,-1, y 77
The three smallest numbers are −3,-3, −1,-1, and 77
Solución:
Los tres números más pequeños del conjunto son −3,-3, −1,-1, y 7.7. Su suma es −3+(−1)+7=3.-3 + (-1) + 7 = 3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The three smallest numbers in the set are −3,-3, −1,-1, and 7.7. Their sum is −3+(−1)+7=3.-3 + (-1) + 7 = 3.
Thus, the correct answer is C .

4.

El producto (1.8)(40.3+0.07)(1.8)(40.3 + 0.07) es más cercano a
The product (1.8)(40.3+0.07)(1.8)(40.3 + 0.07) is closest to
77
4242
7474
8484
737737
Conceptos:estimación
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
Redondea cada factor: 1.81.8 está cerca de 22 y 40.3+0.0740.3 + 0.07 está cerca de 4040
Round each factor: 1.81.8 is near 22 and 40.3+0.0740.3 + 0.07 is near 4040
Pista grande:
Estima 2×402 \times 40 y ajusta ligeramente hacia abajo ya que 1.8<21.8 \lt 2
Estimate 2×402 \times 40 and adjust slightly downward since 1.8<21.8 \lt 2
Solución:
El segundo factor 40.3+0.07=40.3740.3 + 0.07 = 40.37 es aproximadamente 40,40, y 1.81.8 es aproximadamente 2.2. Una estimación rápida es 2(40)−0.2(40)=80−8=72,2(40) - 0.2(40) = 80 - 8 = 72, así que el producto es más cercano a 74.74.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The second factor 40.3+0.07=40.3740.3 + 0.07 = 40.37 is about 40,40, and 1.81.8 is about 2.2. A quick estimate is 2(40)−0.2(40)=80−8=72,2(40) - 0.2(40) = 80 - 8 = 72, so the product is closest to 74.74.
Thus, the correct answer is C .

5.

Un concurso comenzó al mediodía de cierto día y terminó 10001000 minutos después. ¿A qué hora terminó el concurso?
A contest began at noon one day and ended 10001000 minutes later. At what time did the contest end?
10 ⁣: ⁣0010\!:\!00 p.m.
medianoche
midnight
2 ⁣: ⁣302\!:\!30 a.m.
4 ⁣: ⁣404\!:\!40 a.m.
6 ⁣: ⁣406\!:\!40 a.m.
Conceptos:fecha y horaconversión de unidades
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
Convierte 10001000 minutos en horas y minutos dividiendo entre 6060
Convert 10001000 minutes into hours and minutes by dividing by 6060
Pista grande:
10001000 minutos son 1616 horas y 4040 minutos; suma eso al mediodía
10001000 minutes is 1616 hours and 4040 minutes; add that to noon
Solución:
Como 10001000 minutos =100060= \dfrac{1000}{60} horas =1623= 16\dfrac23 horas =16= 16 horas 4040 minutos, el concurso terminó 1616 horas 4040 minutos después del mediodía, es decir a las 4 ⁣: ⁣404\!:\!40 a.m.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since 10001000 minutes =100060= \dfrac{1000}{60} hours =1623= 16\dfrac23 hours =16= 16 hours 4040 minutes, the contest ended 1616 hours 4040 minutes past noon, which is 4 ⁣: ⁣404\!:\!40 a.m.
Thus, the correct answer is D .

6.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?
21−23\frac{2}{1 - \frac{2}{3}}
What is the value of the following expression?
21−23\frac{2}{1 - \frac{2}{3}}
−3-3
−43-\dfrac43
23\dfrac23
22
66
Conceptos:fracciónorden de las operaciones
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Primero simplifica el denominador 1−231 - \dfrac23
First simplify the denominator 1−231 - \dfrac23
Pista grande:
Dividir entre 13\dfrac13 es lo mismo que multiplicar por 33
Dividing by 13\dfrac13 is the same as multiplying by 33
Solución:
El denominador es 1−23=13,1 - \dfrac23 = \dfrac13, así que la expresión es 213=2×3=6.\dfrac{2}{\frac{1}{3}} = 2 \times 3 = 6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The denominator is 1−23=13,1 - \dfrac23 = \dfrac13, so the expression is 213=2×3=6.\dfrac{2}{\frac{1}{3}} = 2 \times 3 = 6.
Thus, the correct answer is E .

7.

¿Cuántos números enteros hay entre 8\sqrt{8} y 80\sqrt{80}?
How many whole numbers are between 8\sqrt{8} and 80?\sqrt{80}?
55
66
77
88
99
Conceptos:conteo de enteros en un rangocuadrado perfecto
Nivel de dificultad: 820
Pista pequeña:
Encuentra los cuadrados perfectos justo por encima de 88 y justo por debajo de 8080
Find perfect squares just above 88 and just below 8080
Pista grande:
8\sqrt{8} está entre 22 y 3,3, y 80\sqrt{80} está entre 88 y 99
8\sqrt{8} is between 22 and 3,3, and 80\sqrt{80} is between 88 and 99
Solución:
Como 2<8<32 \lt \sqrt{8} \lt 3 y 8<80<9,8 \lt \sqrt{80} \lt 9, los números enteros estrictamente entre 8\sqrt{8} y 80\sqrt{80} son 3,3, 4,4, 5,5, 6,6, 7,7, 8.8. Hay seis de ellos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since 2<8<32 \lt \sqrt{8} \lt 3 and 8<80<9,8 \lt \sqrt{80} \lt 9, the whole numbers strictly between 8\sqrt{8} and 80\sqrt{80} are 3,3, 4,4, 5,5, 6,6, 7,7, 8.8. There are six of them.
Thus, the correct answer is B .

8.

En la multiplicación mostrada, BB representa un dígito. ¿Cuál es el valor de BB?
B2× 7B6396\begin{array}{r} B2 \\ \times\, 7B \\ \hline 6396 \end{array}
In the multiplication shown, BB represents a digit. What is the value of B?B?
B2× 7B6396\begin{array}{r} B2 \\ \times\, 7B \\ \hline 6396 \end{array}
33
55
66
77
88
Conceptos:criptoaritméticadígito de las unidades
Nivel de dificultad: 930
Pista pequeña:
El dígito de las unidades del producto es 6,6, y proviene de B×2B \times 2
The units digit of the product is 6,6, and it comes from B×2B \times 2
Pista grande:
B×2B \times 2 termina en 66 cuando B=3B = 3 o B=8;B = 8; el producto es grande, así que prueba qué valor funciona
B×2B \times 2 ends in 66 when B=3B = 3 or B=8;B = 8; the product is large, so test which value works
Solución:
El dígito de las unidades del producto proviene de B×2,B \times 2, que termina en 66 solo cuando B=3B = 3 o B=8.B = 8. Como el producto 63966396 supera 6000,6000, BB debe ser 8:8: en efecto 82×78=6396.82 \times 78 = 6396.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The units digit of the product comes from B×2,B \times 2, which ends in 66 only when B=3B = 3 or B=8.B = 8. Since the product 63966396 exceeds 6000,6000, BB must be 8:8: indeed 82×78=6396.82 \times 78 = 6396.
Thus, the correct answer is E .

9.

Usando solo los caminos y las direcciones mostradas, ¿cuántas rutas diferentes hay de MM a NN?
Using only the paths and the directions shown, how many different routes are there from MM to N?N?
22
33
44
55
66
Conceptos:conteo básicoenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Enumera las rutas según el primer paso: desde MM puedes ir a AA o a BB
List the routes by the first step: from MM you can go to AA or to BB
Pista grande:
Sigue las flechas con cuidado; desde BB puedes llegar a A,A, C,C, o NN directamente
Follow the arrows carefully; from BB you can reach A,A, C,C, or NN directly
Solución:
Siguiendo las flechas, las rutas posibles son MADCN,MADCN, MACN,MACN, MBADCN,MBADCN, MBACN,MBACN, MBCN,MBCN, y MBN.MBN. Hay seis de ellas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Following the arrows, the possible routes are MADCN,MADCN, MACN,MACN, MBADCN,MBADCN, MBACN,MBACN, MBCN,MBCN, and MBN.MBN. There are six of them.
Thus, the correct answer is E .

10.

Un cuadro de 33 pies de ancho se cuelga en el centro de una pared que mide 1919 pies de ancho. ¿A cuántos pies del extremo de la pared está el borde más cercano del cuadro?
A picture 33 feet across is hung in the center of a wall that is 1919 feet wide. How many feet from the end of the wall is the nearest edge of the picture?
1121\dfrac12
88
9129\dfrac12
1616
2222
Conceptos:simetría
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
El cuadro está centrado, así que los dos espacios a los lados son iguales
The picture is centered, so the two gaps on the sides are equal
Pista grande:
Resta el ancho del cuadro al ancho de la pared, luego reparte el resto entre los dos lados
Subtract the picture width from the wall width, then split the remainder between the two sides
Solución:
El cuadro deja 19−3=1619 - 3 = 16 pies de pared, repartidos por igual en dos espacios de 88 pies cada uno. Así que el borde más cercano del cuadro está a 88 pies del extremo de la pared.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The picture leaves 19−3=1619 - 3 = 16 feet of wall, split equally into two gaps of 88 feet each. So the nearest edge of the picture is 88 feet from the end of the wall.
Thus, the correct answer is B .

11.

Si A∗BA * B significa A+B2,\dfrac{A + B}{2}, entonces (3∗5)∗8(3 * 5) * 8 es
If A∗BA * B means A+B2,\dfrac{A + B}{2}, then (3∗5)∗8(3 * 5) * 8 is
66
88
1212
1616
3030
Conceptos:operación personalizada
Nivel de dificultad: 820
Pista pequeña:
La operación A∗BA * B da el promedio de AA y BB
The operation A∗BA * B gives the average of AA and BB
Pista grande:
Primero calcula 3∗5,3 * 5, luego combina ese resultado con 88
First compute 3∗5,3 * 5, then combine that result with 88
Solución:
Primero, 3∗5=3+52=4.3 * 5 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4. Luego 4∗8=4+82=6.4 * 8 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
First, 3∗5=3+52=4.3 * 5 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4. Then 4∗8=4+82=6.4 * 8 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6.
Thus, the correct answer is A .

12.

La tabla mostrada presenta la distribución de calificaciones de los 3030 estudiantes de una clase de matemáticas en las dos últimas pruebas. Por ejemplo, exactamente un estudiante obtuvo una ‘D’ en la Prueba 11 y una ‘C’ en la Prueba 22 (la casilla marcada con un círculo). ¿Qué porcentaje de los estudiantes obtuvo la misma calificación en ambas pruebas?
The table shown displays the grade distribution of the 3030 students in a mathematics class on the last two tests. For example, exactly one student received a ‘D’ on Test 11 and a ‘C’ on Test 22 (the circled entry). What percent of the students received the same grade on both tests?
12%12\%
25%25\%
3313%33\dfrac13\%
40%40\%
50%50\%
Conceptos:interpretación de datos y gráficasporcentaje
Nivel de dificultad: 860
Pista pequeña:
Un estudiante con la misma calificación en ambas pruebas está en la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha de la tabla
A student with the same grade on both tests lies on the diagonal running from the top-left to the bottom-right of the table
Pista grande:
Suma las casillas de la diagonal, luego divide entre 3030 y convierte a porcentaje
Add the diagonal entries, then divide by 3030 and convert to a percent
Solución:
Un estudiante obtuvo la misma calificación en ambas pruebas exactamente cuando se cuenta en la diagonal principal. Esas casillas son 2+4+5+1+0=12.2 + 4 + 5 + 1 + 0 = 12.
Así que la fracción es 1230=410=40%.\dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = 40\%.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
A student received the same grade on both tests exactly when counted on the main diagonal. Those entries are 2+4+5+1+0=12.2 + 4 + 5 + 1 + 0 = 12.
So the fraction is 1230=410=40%.\dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = 40\%.
Thus, the correct answer is D .

13.

El perímetro del polígono mostrado es
The perimeter of the polygon shown is
1414
2020
2828
4848
no se puede determinar con la información dada
cannot be determined from the information given
Conceptos:perímetrorectángulo
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Todos los ángulos son rectos, así que los lados horizontales y los lados verticales se pueden reagrupar por separado
All the angles are right angles, so the horizontal edges and the vertical edges can each be regrouped
Pista grande:
Los lados horizontales que van a la derecha y a la izquierda abarcan cada uno todo el ancho 8,8, y los lados verticales que suben y bajan abarcan cada uno toda la altura 66
The rightward and leftward horizontal edges each span the full width 8,8, and the upward and downward vertical edges each span the full height 66
Solución:
Como cada ángulo es recto, al deslizar los lados se ve que los lados horizontales juntos recorren el ancho dos veces y los lados verticales recorren la altura dos veces. Así que el perímetro es igual al del rectángulo completo de 88 por 66, 2(8+6)=28.2(8 + 6) = 28.
La respuesta no depende de dónde exactamente se corte la muesca.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Because every angle is a right angle, sliding the edges shows that the horizontal edges together traverse the width twice and the vertical edges traverse the height twice. So the perimeter equals that of the full 88 by 66 rectangle, 2(8+6)=28.2(8 + 6) = 28.
The answer does not depend on exactly where the notch is cut.
Thus, the correct answer is C .

14.

Si 200≤a≤400200 \le a \le 400 y 600≤b≤1200,600 \le b \le 1200, entonces el valor más grande del cociente ba\dfrac{b}{a} es
If 200≤a≤400200 \le a \le 400 and 600≤b≤1200,600 \le b \le 1200, then the largest value of the quotient ba\dfrac{b}{a} is
32\dfrac32
33
66
300300
600600
Conceptos:desigualdadoptimización
Nivel de dificultad: 820
Pista pequeña:
Un cociente es más grande cuando el numerador es lo más grande posible y el denominador lo más pequeño posible
A quotient is largest when the numerator is as large as possible and the denominator as small as possible
Pista grande:
Usa el mayor bb y el menor aa
Use the largest bb and the smallest aa
Solución:
El cociente ba\dfrac{b}{a} es más grande con el mayor bb y el menor a,a, dando 1200200=6.\dfrac{1200}{200} = 6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The quotient ba\dfrac{b}{a} is largest with the biggest bb and smallest a,a, giving 1200200=6.\dfrac{1200}{200} = 6.
Thus, the correct answer is C .

15.

Los precios de oferta en la tienda Ajax Outlet están 50%50\% por debajo de los precios originales. Los sábados se aplica un descuento adicional del 20%20\% sobre el precio de oferta. ¿Cuál es el precio de un abrigo el sábado si su precio original es $180\$180?
Sale prices at the Ajax Outlet Store are 50%50\% below original prices. On Saturdays an additional discount of 20%20\% off the sale price is given. What is the Saturday price of a coat whose original price is $180?\$180?
$54\$54
$72\$72
$90\$90
$108\$108
$110\$110
Conceptos:porcentaje
Nivel de dificultad: 860
Pista pequeña:
Un descuento del 50%50\% deja la mitad del precio original
A 50%50\% discount leaves half the original price
Pista grande:
Luego toma el 80%80\% de ese precio de oferta para aplicar el 20%20\% adicional de descuento
Then take 80%80\% of that sale price to apply the extra 20%20\% off
Solución:
El precio de oferta es el 50%50\% de $180,\$180, es decir $90.\$90. El precio del sábado descuenta otro 20%20\%, dejando el 80%80\% de $90,\$90, que es $72.\$72.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The sale price is 50%50\% of $180,\$180, or $90.\$90. The Saturday price takes another 20%20\% off, leaving 80%80\% of $90,\$90, which is $72.\$72.
Thus, the correct answer is B .

16.

Una gráfica de barras muestra la cantidad de hamburguesas que vende una cadena de comida rápida en cada estación. Sin embargo, la barra que indica la cantidad vendida durante el invierno está cubierta por una mancha. Si exactamente el 25%25\% de las hamburguesas de la cadena se venden en el otoño, ¿cuántos millones de hamburguesas se venden en el invierno?
A bar graph shows the number of hamburgers sold by a fast food chain each season. However, the bar indicating the number sold during the winter is covered by a smudge. If exactly 25%25\% of the chain’s hamburgers are sold in the fall, how many million hamburgers are sold in the winter?
2.52.5
33
3.53.5
44
4.54.5
Conceptos:porcentaje
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Las ventas de otoño de 44 millones son el 25%25\% del total anual, así que primero encuentra el total anual
The fall sales of 44 million are 25%25\% of the yearly total, so find the yearly total first
Pista grande:
Resta las ventas de primavera, verano y otoño al total anual
Subtract the spring, summer, and fall sales from the yearly total
Solución:
Si las ventas de otoño de 44 millones son el 25%25\% del total anual, entonces el total anual es 1616 millones.
Las ventas de invierno son 16−(4.5+5+4)=2.516 - (4.5 + 5 + 4) = 2.5 millones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
If the fall sales of 44 million are 25%25\% of the yearly total, then the yearly total is 1616 million.
The winter sales are 16−(4.5+5+4)=2.516 - (4.5 + 5 + 4) = 2.5 million.
Thus, the correct answer is A .

17.

Sea oo un número entero impar y sea nn cualquier número entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el número entero o2+noo^2 + no es siempre verdadera?
Let oo be an odd whole number and let nn be any whole number. Which of the following statements about the whole number o2+noo^2 + no is always true?
siempre es impar
it is always odd
siempre es par
it is always even
es par solo si nn es par
it is even only if nn is even
es impar solo si nn es impar
it is odd only if nn is odd
es impar solo si nn es par
it is odd only if nn is even
Conceptos:paridadfactorización
Nivel de dificultad: 1000
Pista pequeña:
Factoriza: o2+no=o(o+n)o^2 + no = o(o + n)
Factor: o2+no=o(o+n)o^2 + no = o(o + n)
Pista grande:
Como oo es impar, la paridad de o(o+n)o(o + n) coincide con la paridad de o+no + n
Since oo is odd, the parity of o(o+n)o(o + n) matches the parity of o+no + n
Solución:
Factoriza o2+no=o(o+n).o^2 + no = o(o + n). Como oo es impar, el producto es impar exactamente cuando o+no + n es impar, lo cual ocurre solo cuando nn es par. Cuando nn es impar, o+no + n es par y el producto es par.
Así que el número es impar solo si nn es par.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Factor o2+no=o(o+n).o^2 + no = o(o + n). Because oo is odd, the product is odd exactly when o+no + n is odd, which happens only when nn is even. When nn is odd, o+no + n is even and the product is even.
So the number is odd only if nn is even.
Thus, the correct answer is E .

18.

Se va a cercar un área rectangular de pastoreo por tres lados usando parte de un muro de roca de 100100 metros como cuarto lado. Los postes de la cerca se colocan cada 1212 metros a lo largo de la cerca, incluyendo los dos postes donde la cerca se encuentra con el muro de roca. ¿Cuál es el menor número de postes necesarios para cercar un área de 3636 m por 6060 m?
A rectangular grazing area is to be fenced off on three sides using part of a 100100 meter rock wall as the fourth side. Fence posts are to be placed every 1212 meters along the fence, including the two posts where the fence meets the rock wall. What is the fewest number of posts required to fence an area 3636 m by 6060 m?
1111
1212
1313
1414
1616
Conceptos:perímetrooptimizaciónconteo de postes
Nivel de dificultad: 1030
Pista pequeña:
Para usar la menor cantidad de postes, deja que el lado de 6060 metros quede a lo largo del muro, así la longitud cercada es lo más corta posible
To use the fewest posts, let the 6060 meter side lie along the wall, so the fenced length is as short as possible
Pista grande:
El recorrido cercado es 36+60+36=13236 + 60 + 36 = 132 metros; coloca un poste cada 1212 metros, contando ambos extremos
The fenced path is 36+60+36=13236 + 60 + 36 = 132 meters; place a post every 1212 meters, counting both ends
Solución:
Se usan menos postes cuando el muro sirve como el lado más largo de 6060 metros, así que la cerca cubre dos lados de 3636 metros y un lado de 6060 metros, un recorrido de 36+60+36=13236 + 60 + 36 = 132 metros.
Colocando un poste cada 1212 metros, incluyendo ambos extremos, se usan 13212+1=12\dfrac{132}{12} + 1 = 12 postes.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The fewest posts are used when the wall serves as the longer 6060 meter side, so the fence covers two 3636 meter sides and one 6060 meter side, a path of 36+60+36=13236 + 60 + 36 = 132 meters.
Placing a post every 1212 meters, including both ends, uses 13212+1=12\dfrac{132}{12} + 1 = 12 posts.
Thus, the correct answer is B .

19.

Al comienzo de un viaje, el odómetro marcaba 56,20056{,}200 millas. El conductor llenó el tanque de gasolina con 66 galones de gasolina. Durante el viaje, el conductor volvió a llenar el tanque con 1212 galones de gasolina cuando el odómetro marcaba 56,560.56{,}560. Al final del viaje, el conductor volvió a llenar el tanque con 2020 galones de gasolina; el odómetro marcaba 57,060.57{,}060. Redondeando a la décima más cercana, ¿cuál fue el promedio de millas por galón del automóvil durante todo el viaje?
At the beginning of a trip, the mileage odometer read 56,20056{,}200 miles. The driver filled the gas tank with 66 gallons of gasoline. During the trip, the driver filled the tank again with 1212 gallons of gasoline when the odometer read 56,560.56{,}560. At the end of the trip, the driver filled the tank again with 2020 gallons of gasoline; the odometer read 57,060.57{,}060. To the nearest tenth, what was the car’s average miles-per-gallon for the entire trip?
22.522.5
22.622.6
24.024.0
26.926.9
27.527.5
Conceptos:tasa
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
La gasolina usada durante el viaje es solo la que se agregó después del inicio: 12+2012 + 20 galones
The gas used during the trip is only what was added after the start: 12+2012 + 20 gallons
Pista grande:
Divide el total de millas recorridas entre los galones usados durante el viaje
Divide the total miles driven by the gallons used during the trip
Solución:
El viaje fue de 57,060−56,200=86057{,}060 - 56{,}200 = 860 millas. Los 66 galones iniciales solo llenaron el tanque antes del viaje; la gasolina realmente usada durante el viaje son los 12+20=3212 + 20 = 32 galones agregados después para reponerla.
Así que el promedio es 86032≈26.9\dfrac{860}{32} \approx 26.9 millas por galón.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The trip was 57,060−56,200=86057{,}060 - 56{,}200 = 860 miles. The initial 66 gallons only topped off the tank before the trip; the gas actually used during the trip is the 12+20=3212 + 20 = 32 gallons later added to replace it.
So the average is 86032≈26.9\dfrac{860}{32} \approx 26.9 miles per gallon.
Thus, the correct answer is D .

20.

El valor de la expresión
(304)5(29.7)(399)4\frac{(304)^5}{(29.7)(399)^4}
es más cercano a
The value of the expression
(304)5(29.7)(399)4\frac{(304)^5}{(29.7)(399)^4}
is closest to
0.0030.003
0.030.03
0.30.3
33
3030
Conceptos:estimaciónexponente
Nivel de dificultad: 980
Pista pequeña:
Redondea los números: 304≈300,304 \approx 300, 29.7≈30,29.7 \approx 30, y 399≈400399 \approx 400
Round the numbers: 304≈300,304 \approx 300, 29.7≈30,29.7 \approx 30, and 399≈400399 \approx 400
Pista grande:
Simplifica 300530⋅4004=10(34)4\dfrac{300^5}{30 \cdot 400^4} = 10 \left(\dfrac34\right)^4
Simplify 300530⋅4004=10(34)4\dfrac{300^5}{30 \cdot 400^4} = 10 \left(\dfrac34\right)^4
Solución:
Estimando:
300530⋅4004=10(300400)4=10(34)4=10⋅81256≈3. \begin{aligned} \dfrac{300^5}{30 \cdot 400^4} &= 10 \left(\dfrac{300}{400}\right)^4 \\ &= 10 \left(\dfrac34\right)^4 \\ &= 10 \cdot \dfrac{81}{256} \approx 3. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Estimating,
300530⋅4004=10(300400)4=10(34)4=10⋅81256≈3. \begin{aligned} \dfrac{300^5}{30 \cdot 400^4} &= 10 \left(\dfrac{300}{400}\right)^4 \\ &= 10 \left(\dfrac34\right)^4 \\ &= 10 \cdot \dfrac{81}{256} \approx 3. \end{aligned}
Thus, the correct answer is D .

21.

Supón que uno de los ocho cuadrados idénticos con letras se incluye con los cuatro cuadrados sombreados en la figura en forma de T mostrada. ¿Cuántas de las figuras resultantes se pueden doblar para formar una caja cúbica sin tapa?
Suppose one of the eight lettered identical squares is included with the four shaded squares in the T-shaped figure shown. How many of the resulting figures can be folded into a topless cubical box?
22
33
44
55
66
Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)análisis por casos
Nivel de dificultad: 1220
Pista pequeña:
Una caja sin tapa tiene 55 caras, así que los cuatro cuadrados sombreados más el cuadrado agregado deben doblarse en un cubo al que le falta la cara superior
A topless box has 55 faces, so the four shaded squares plus the one added square must fold into a cube missing its top
Pista grande:
Prueba cada cuadrado con letra como la quinta cara; una colocación falla cuando al doblar dos caras quedarían en el mismo lugar
Try each lettered square as the fifth face; a placement fails when folding would force two faces into the same spot
Solución:
Los cuatro cuadrados sombreados se doblan en cuatro caras de una caja abierta, y el cuadrado agregado aporta la quinta cara. Imaginando los dobleces, los cuadrados A,A, E,E, H,H, B,B, D,D, y FF completan cada uno una caja sin tapa válida.
Los cuadrados CC y GG no funcionan, porque al doblar cuatro caras se encontrarían en una sola esquina. Eso deja 66 figuras válidas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The four shaded squares fold into four faces of an open box, and the added square supplies the fifth face. Picturing the folds, the squares A,A, E,E, H,H, B,B, D,D, and FF each complete a valid topless box.
The squares CC and GG do not work, because folding would force four faces to meet at a single corner. That leaves 66 valid figures.
Thus, the correct answer is E .

22.

Alan, Beth, Carlos y Diana estaban discutiendo las posibles calificaciones que podrían obtener en la clase de matemáticas en este periodo de evaluación. Alan dijo: “Si yo saco una A, entonces Beth sacará una A.” Beth dijo: “Si yo saco una A, entonces Carlos sacará una A.” Carlos dijo: “Si yo saco una A, entonces Diana sacará una A.” Todas estas afirmaciones eran verdaderas, pero solo dos de los estudiantes sacaron una A. ¿Cuáles dos obtuvieron una A?
Alan, Beth, Carlos, and Diana were discussing their possible grades in mathematics class this grading period. Alan said, “If I get an A, then Beth will get an A.” Beth said, “If I get an A, then Carlos will get an A.” Carlos said, “If I get an A, then Diana will get an A.” All of these statements were true, but only two of the students received an A. Which two received A’s?
Alan, Beth
Beth, Carlos
Carlos, Diana
Alan, Diana
Beth, Diana
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
Si un estudiante anterior en la cadena saca una A, todos los que están después de él en la cadena también deben sacar una A
If a student earlier in the chain gets an A, everyone after them in the chain must also get an A
Pista grande:
Para tener exactamente dos A, esos dos deben ser los últimos estudiantes de la cadena
For exactly two A’s, the two must be the last students in the chain
Solución:
Las afirmaciones forman una cadena: la A de Alan obliga la de Beth, la de Beth obliga la de Carlos, y la de Carlos obliga la de Diana. Si Alan sacara una A, los cuatro la sacarían; si Beth sacara una A, tres la sacarían.
La única forma de tener exactamente dos A es que sean los dos últimos de la cadena, Carlos y Diana.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The statements form a chain: Alan’s A forces Beth’s, Beth’s forces Carlos’s, and Carlos’s forces Diana’s. If Alan got an A, all four would; if Beth got an A, three would.
The only way to have exactly two A’s is for them to be the last two in the chain, Carlos and Diana.
Thus, the correct answer is C .

23.

El círculo grande tiene diámetro AC.AC. Los dos círculos pequeños tienen sus centros sobre ACAC y apenas se tocan en O,O, el centro del círculo grande. Si cada círculo pequeño tiene radio 1,1, ¿cuál es el valor de la razón entre el área de la región sombreada y el área de uno de los círculos pequeños?
The large circle has diameter AC.AC. The two small circles have their centers on ACAC and just touch at O,O, the center of the large circle. If each small circle has radius 1,1, what is the value of the ratio of the area of the shaded region to the area of one of the small circles?
entre 12\dfrac12 y 11
between 12\dfrac12 and 11
11
entre 11 y 32\dfrac32
between 11 and 32\dfrac32
entre 32\dfrac32 y 22
between 32\dfrac32 and 22
no se puede determinar con la información dada
cannot be determined from the information given
Conceptos:área del círculodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1090
Pista pequeña:
El círculo grande tiene radio 2,2, ya que ACAC es igual a dos diámetros pequeños
The large circle has radius 2,2, since ACAC equals two small diameters
Pista grande:
Por simetría, la región sombreada es la mitad de la diferencia entre el área del círculo grande y el área de los dos círculos pequeños
By symmetry the shaded region is half the difference between the large circle’s area and the two small circles’ area
Solución:
El círculo grande tiene radio 2,2, así que su área es π(2)2=4π,\pi(2)^2 = 4\pi, y cada círculo pequeño tiene área π.\pi.
Por simetría, la región sombreada es la mitad de la diferencia de las áreas: 12(4π−2π)=π.\dfrac12(4\pi - 2\pi) = \pi. La razón de esto respecto al área π\pi de un círculo pequeño es 1.1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The large circle has radius 2,2, so its area is π(2)2=4π,\pi(2)^2 = 4\pi, and each small circle has area π.\pi.
By symmetry the shaded region is half the difference of the areas: 12(4π−2π)=π.\dfrac12(4\pi - 2\pi) = \pi. The ratio of this to one small circle’s area π\pi is 1.1.
Thus, the correct answer is B .

24.

Los 600600 estudiantes de la Escuela Secundaria King se dividen en tres grupos del mismo tamaño para el almuerzo. Cada grupo almuerza a una hora diferente. Una computadora asigna aleatoriamente a cada estudiante a uno de los tres grupos de almuerzo. La probabilidad de que tres amigos, Al, Bob y Carol, sean asignados al mismo grupo de almuerzo es aproximadamente
The 600600 students at King Middle School are divided into three groups of equal size for lunch. Each group has lunch at a different time. A computer randomly assigns each student to one of the three lunch groups. The probability that three friends, Al, Bob, and Carol, will be assigned to the same lunch group is approximately
127\dfrac{1}{27}
19\dfrac19
18\dfrac18
16\dfrac16
13\dfrac13
Conceptos:probabilidad condicionalmuestreo sin reemplazo
Nivel de dificultad: 1120
Pista pequeña:
Fija el grupo de Al; luego encuentra la probabilidad de que Bob caiga en ese mismo grupo
Fix Al’s group; then find the chance that Bob lands in that same group
Pista grande:
Una vez fijado el grupo de Al, la probabilidad de que Bob esté en ese grupo es 199599\frac{199}{599}, y después la de Carol es 198598\frac{198}{598}
After Al’s group is fixed, Bob’s chance is 199599\frac{199}{599} and then Carol’s is 198598\frac{198}{598}
Solución:
Sea cual sea el grupo de Al, Bob se une a ese mismo grupo con probabilidad 199599.\dfrac{199}{599}. Si Bob lo hace, Carol se une a ellos con probabilidad 198598.\dfrac{198}{598}.
Así que los tres comparten grupo con probabilidad aproximada de 199599⋅198598≈0.110,\dfrac{199}{599} \cdot \dfrac{198}{598} \approx 0.110, cuyo valor más cercano es 19.\dfrac19.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Whatever group Al is in, Bob joins that same group with probability 199599.\dfrac{199}{599}. If Bob does, Carol joins them with probability 198598.\dfrac{198}{598}.
Thus all three share a group with probability 199599⋅198598≈0.110,\dfrac{199}{599} \cdot \dfrac{198}{598} \approx 0.110, closest to 19.\dfrac19.
Thus, the correct answer is B .

25.

¿Cuál de los siguientes conjuntos de números enteros tiene el mayor promedio?
Which of the following sets of whole numbers has the largest average?
múltiplos de 22 entre 11 y 101101
multiples of 22 between 11 and 101101
múltiplos de 33 entre 11 y 101101
multiples of 33 between 11 and 101101
múltiplos de 44 entre 11 y 101101
multiples of 44 between 11 and 101101
múltiplos de 55 entre 11 y 101101
multiples of 55 between 11 and 101101
múltiplos de 66 entre 11 y 101101
multiples of 66 between 11 and 101101
Conceptos:sucesión aritméticamedia
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
Para números igualmente espaciados, el promedio es igual al promedio del más pequeño y el más grande
For evenly spaced numbers, the average equals the average of the smallest and largest
Pista grande:
Sean a1a_1 y ana_n, respectivamente, el primer término y el último; calcula a1+an2\dfrac{a_1 + a_n}{2} para cada conjunto y compara
Let a1a_1 and ana_n be the first and last terms; compute a1+an2\dfrac{a_1 + a_n}{2} for each set and compare
Solución:
Para un conjunto de números enteros igualmente espaciados, el promedio es el promedio del más pequeño y el más grande. Los promedios son: A: 2+1002=51,\dfrac{2 + 100}{2} = 51, B: 3+992=51,\dfrac{3 + 99}{2} = 51, C: 4+1002=52,\dfrac{4 + 100}{2} = 52, D: 5+1002=52.5,\dfrac{5 + 100}{2} = 52.5, E: 6+962=51.\dfrac{6 + 96}{2} = 51.
El mayor promedio es 52.5,52.5, el de los múltiplos de 5.5.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
For a set of evenly spaced whole numbers, the average is the average of the smallest and largest. The averages are: A: 2+1002=51,\dfrac{2 + 100}{2} = 51, B: 3+992=51,\dfrac{3 + 99}{2} = 51, C: 4+1002=52,\dfrac{4 + 100}{2} = 52, D: 5+1002=52.5,\dfrac{5 + 100}{2} = 52.5, E: 6+962=51.\dfrac{6 + 96}{2} = 51.
The largest average is 52.5,52.5, from the multiples of 5.5.
Thus, the correct answer is D .