Question

Los semicírculos $POQ$ y $ROS$ pasan por el centro $O.$ ¿Cuál es la razón entre las áreas combinadas de los dos semicírculos y el área del círculo $O$ ?

Semicircles $POQ$ and $ROS$ pass through the center $O.$ What is the ratio of the combined areas of the two semicircles to the area of circle $O?$

$\dfrac{\sqrt 2}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{\pi}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt 2}{2}$

Solución:

El área de cada uno de los semicírculos es $\pi \dfrac {r^2}{2}$ . Cada uno de ellos tiene radio $1,$ así que su área combinada es $\pi \frac{1}{2} + \pi \frac 12 = \pi$ .

Luego, el radio del círculo mayor es igual a la longitud de $OQ,$ que es igual a $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt 2$ . Su área es $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi$ .

Esto significa que la razón es $\dfrac{\pi}{2\pi} = \frac 12$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

The area of each of the semicircles is $\pi \dfrac {r^2}{2} .$ Each of them has a radius of $1,$ so their combined area is $\pi \frac{1}{2} + \pi \frac 12 = \pi.$

Next, the radius of the larger circle is equal to the length of $OQ,$ which is equal to $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt 2.$ Its area is $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi.$

This means the ratio is $\dfrac{\pi}{2\pi} = \frac 12.$

Thus, the answer is B .

2010 AMC 8 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años