Question

Cada casilla de una cuadrícula de $3 \times 3$ se llena aleatoriamente con una de las $4$ fichas sombreadas y sin sombrear que se muestran a la derecha, abajo.

¿Cuál es la probabilidad de que el mosaico contenga un gran rombo sombreado en una de las cuadrículas menores de $2 \times 2$ ? Abajo se muestra un ejemplo de tal mosaico.

Each square in a $3 \times 3$ grid is randomly filled with one of the $4$ shaded-and-unshaded tiles shown below on the right.

What is the probability that the tiling will contain a large shaded diamond in one of the smaller $2 \times 2$ grids? Below is an example of such a tiling.

$\dfrac{1}{1024}$

$\dfrac{1}{256}$

$\dfrac{1}{64}$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $4^9$ mosaicos posibles. Hay $4$ cuadrículas de $2\times2$ posibles donde podría aparecer un gran rombo sombreado.

Después de elegir una de estas cuadrículas de $2\times2$ , las orientaciones de las cuatro fichas dentro de ella quedan determinadas, y las otras $5$ casillas se pueden llenar de cualquier manera. Esto da $4^5$ mosaicos para cada cuadrícula de $2\times2$ elegida.

Dos cuadrículas de $2\times2$ diferentes no pueden contener ambas un gran rombo sombreado, porque sus casillas superpuestas requerirían orientaciones de fichas incompatibles. Por lo tanto, el número de mosaicos favorables es $4\cdot4^5=4^6.$

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are $4^9$ possible tilings. There are $4$ possible $2\times2$ grids where a large shaded diamond could appear.

After one of these $2\times2$ grids is chosen, the four tile orientations inside it are forced, and the other $5$ squares can be filled in any way. This gives $4^5$ tilings for each chosen $2\times2$ grid.

Two different $2\times2$ grids cannot both contain a large shaded diamond, because their overlapping squares would require incompatible tile orientations. Therefore the number of favorable tilings is $4\cdot4^5=4^6.$

The desired probability is then $\dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}.$

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 23

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 23 en otros años