Question

En una sucesión de enteros positivos, cada término después del segundo es el producto de los dos términos anteriores. El sexto término de la sucesión es $4000.$ ¿Cuál es el primer término?

In a sequence of positive integers, each term after the second is the product of the previous two terms. The sixth term in the sequence is $4000.$ What is the first term?

$1$

$2$

$4$

$5$

$10$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el primer término y $y$ el segundo.

Entonces obtenemos la siguiente sucesión. $x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots$ De esto, obtenemos que $x^3y^5 = 4000.$

Factorizando $4000,$ obtenemos $4000 = 2^5 \cdot 5^3.$ Necesitamos que $x$ y $y$ sean enteros. Las únicas quintas potencias que dividen a $4000$ son $1$ y $32.$

Si $y = 1,$ entonces $x^3 = 4000,$ lo que no funciona ya que $4000$ no es un cubo perfecto. Por lo tanto, $y^5 = 32$ $y = 2.$

Esto obliga a que $x$ sea igual a $5.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the first term and $y$ be the second.

Then we get the following sequence. $x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots$ From this, we get that $x^3y^5 = 4000.$

Factoring $4000,$ we get $4000 = 2^5 \cdot 5^3.$ We need $x$ and $y$ to be integers. The only fifth powers that divides $4000$ are $1$ and $32.$

If $y = 1,$ then $x^3 = 4000,$ which doesn't work since $4000$ is not a perfect cube. Therefore, $y^5 = 32$ $y = 2.$

This forces $x$ to equal $5.$

Thus, D is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años