Question

El punto $E$ es el punto medio del lado $\overline{CD}$ en el cuadrado $ABCD,$ y $\overline{BE}$ corta a la diagonal $\overline{AC}$ en $F.$ El área del cuadrilátero $AFED$ es $45.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

Point $E$ is the midpoint of side $\overline{CD}$ in square $ABCD,$ and $\overline{BE}$ meets diagonal $\overline{AC}$ at $F.$ The area of quadrilateral $AFED$ is $45.$ What is the area of $ABCD?$

$100$

$108$

$120$

$135$

$144$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $H$ el punto en $\overline{BC}$ donde la altura desde $F$ hacia $\overline{BC}$ corta a $\overline{BC}.$ Esta altura, $\overline{FH}$ , se ilustra arriba. Entonces, por semejanza ángulo-ángulo, vemos que $\triangle CAB \sim \triangle CFH$ y $\triangle BFH \sim \triangle BEC .$

Como los lados de triángulos semejantes son proporcionales, sabemos que $\dfrac{FH}{BH} = \dfrac{EC}{BC}$ y $\dfrac{FH}{HC} = \dfrac{AB}{BC} .$ Por lo tanto, $\dfrac{FH}{EC} = \dfrac{BH}{BC}$ y $\dfrac{FH}{AB} = \dfrac{HC}{BC} .$ Sumando estas ecuaciones se obtiene: $\begin{align*}\dfrac{FH}{EC} + \dfrac{FH}{AB} &= \dfrac{BH}{BC} + \dfrac{HC}{BC}\\ &= \frac{BH+HC}{BC} \\&= \frac{BC}{BC} \\&= 1.\end{align*}$ Esto, a su vez, muestra que $\frac{1}{EC} + \frac{1}{AB} = \frac{1}{FH} .$

Ahora, sea $s$ la longitud del lado del cuadrado. Sabemos que $AB = 2\cdot EC = s.$ Esto significa que $\begin{align*}\dfrac{1}{FH} &= \dfrac{1}{EC} + \frac{1}{AB} \\&= \frac{2}{s} + \frac{1}{s} \\&= \frac{3}{s} .\end{align*}$ Por lo tanto, $FH = \frac{s}{3} .$

Ahora, para calcular el área de $\triangle EFC,$ tomamos el área de $\triangle BCE$ y restamos el área de $\triangle BFC.$ Esto es igual a

$\begin{gathered} \dfrac{BC\cdot EC}{2} - \dfrac{BC\cdot FH}{2} \\ = \dfrac{BC\cdot(EC-FH)}{2} \\ = \dfrac{s\cdot\left(\dfrac{s}{2} - \dfrac{s}{3}\right)}{2} \\ = \dfrac{s\cdot\frac{s}{6}}{2} \\ = \dfrac{s^2}{12}. \end{gathered}$

El área de $AFED$ es el área de $\triangle ACD$ menos el área de $\triangle EFC,$ lo que es igual a $\begin{align*} \dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12} &= \dfrac{5s^2}{12} \\&= 45.\end{align*}$ Con $\frac{5}{12} s^2 = 45 ,$ obtenemos $s^2 = 108,$ que es el área del cuadrado completo.

Let $H$ be the point on $\overline{BC}$ where the altitude from $F$ to $\overline{BC}$ meets $\overline{BC}.$ This altitude, $\overline{FH}$ is illustrated above. Then, by angle-angle similarity, we can see that $\triangle CAB \sim \triangle CFH$ and $\triangle BFH \sim \triangle BEC .$

Since the sides of similar triangles are proportional, we know that $\dfrac{FH}{BH} = \dfrac{EC}{BC}$ and $\dfrac{FH}{HC} = \dfrac{AB}{BC} .$ Thus, $\dfrac{FH}{EC} = \dfrac{BH}{BC}$ and $\dfrac{FH}{AB} = \dfrac{HC}{BC} .$ Adding these equations yields: $\begin{align*}\dfrac{FH}{EC} + \dfrac{FH}{AB} &= \dfrac{BH}{BC} + \dfrac{HC}{BC}\\ &= \frac{BH+HC}{BC} \\&= \frac{BC}{BC} \\&= 1.\end{align*}$ This, in turn, shows that $\frac{1}{EC} + \frac{1}{AB} = \frac{1}{FH} .$

Now, let $s$ be the side length of the square. We know $AB = 2\cdot EC = s.$ This means $\begin{align*}\dfrac{1}{FH} &= \dfrac{1}{EC} + \frac{1}{AB} \\&= \frac{2}{s} + \frac{1}{s} \\&= \frac{3}{s} .\end{align*}$ Therefore, $FH = \frac{s}{3} .$

Now, to compute the area of $\triangle EFC,$ we take the area of $\triangle BCE$ and subtract the area of $\triangle BFC.$ This is equal to

$\begin{gathered} \dfrac{BC\cdot EC}{2} - \dfrac{BC\cdot FH}{2} \\ = \dfrac{BC\cdot(EC-FH)}{2} \\ = \dfrac{s\cdot\left(\dfrac{s}{2} - \dfrac{s}{3}\right)}{2} \\ = \dfrac{s\cdot\frac{s}{6}}{2} \\ = \dfrac{s^2}{12}. \end{gathered}$

The area of $AFED$ is the area of $\triangle ACD$ minus the area of $\triangle EFC,$ which is equal to $\begin{align*} \dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12} &= \dfrac{5s^2}{12} \\&= 45.\end{align*}$ With $\frac{5}{12} s^2 = 45 ,$ we get $s^2 = 108,$ which is the area of the full square.

2018 AMC 8 Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años