Question

Las siguientes figuras están compuestas de cuadrados y círculos. ¿Cuál figura tiene una región sombreada con el área más grande?

The following figures are composed of squares and circles. Which figure has a shaded region with largest area?

solo $A$

$A$ only

solo $B$

$B$ only

solo $C$

$C$ only

tanto $A$ como $B$

both $A$ and $B$

todas son iguales

all are equal

Respuesta: C

Conceptos:área del círculo área

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Las figuras $A$ y $B$ dejan la misma área sombreada

Figures $A$ and $B$ leave the same shaded area.

Pista grande:

Para $C,$ compara $\pi-2$ con $4-\pi$

For $C,$ compare $\pi-2$ with $4-\pi.$

Solución:

En la figura $A,$ el área sombreada es el área de un cuadrado de $2$ por $2$ menos un círculo de radio $1,$ así que es $4-\pi.$

La figura $B$ está formada por cuatro copias de la figura $A$ con lados de la mitad de longitud, por lo que cada copia tiene un cuarto del área y el área sombreada total también es $4-\pi.$

En la figura $C,$ el círculo tiene radio $1,$ y el cuadrado inscrito tiene diagonal $2,$ así que su área es $2.$ El área sombreada es $\pi-2.$

Como $\pi>3,$ tenemos $\pi-2>4-\pi,$ así que la figura $C$ tiene la mayor área sombreada.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

In figure $A,$ the shaded area is the area of a $2$ by $2$ square minus a circle of radius $1,$ so it is $4-\pi.$

Figure $B$ is made of four copies of figure $A$ with half the side length, so each copy has one-fourth the area and the total shaded area is also $4-\pi.$

In figure $C,$ the circle has radius $1,$ and the inscribed square has diagonal $2,$ so its area is $2.$ The shaded area is $\pi-2.$

Since $\pi>3,$ we have $\pi-2>4-\pi,$ so figure $C$ has the largest shaded area.

Thus, C is the correct answer.

2003 AMC 8 Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años