Question

Un rollo de cinta tiene $4$ pulgadas de diámetro y está enrollado alrededor de un anillo de $2$ pulgadas de diámetro. En la figura de abajo se muestra una sección transversal de la cinta. La cinta tiene $0.015$ pulgadas de grosor. Si la cinta se desenrolla por completo, ¿aproximadamente qué tan larga sería? Redondea tu respuesta a las $100$ pulgadas más cercanas.

A roll of tape is $4$ inches in diameter and is wrapped around a ring that is $2$ inches in diameter. A cross section of the tape is shown in the figure below. The tape is $0.015$ inches thick. If the tape is completely unrolled, approximately how long would it be? Round your answer to the nearest $100$ inches.

$300$

$600$

$1200$

$1500$

$1800$

Solución en video:

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Solución escrita:

Tenemos un margen de error enorme en este problema, así que podemos estimar los valores libremente. Primero, notamos que todo el rollo de cinta tiene 1 pulgada de grosor y, dado que una sola cinta tiene $0.015$ pulgadas de grosor, entonces hay $\dfrac{1}{0.015}= \dfrac{2}{0.03} = \dfrac{200}{3}$ capas de cinta en todo el rollo.

Luego, debemos estimar la circunferencia de una capa de cinta. Cerca del centro, una capa de cinta tendrá una circunferencia de $2\pi$ , mientras que las capas cerca de la parte exterior tendrán una circunferencia de aproximadamente $4\pi$ . Una buena estimación es tomar la circunferencia promedio, que es $3\pi$ . Con esto, podemos estimar la longitud total de todo el rollo: $\begin{gathered} \dfrac{200}{3}(3\pi) = 200\pi \\ \approx 200(3) \approx 600. \end{gathered}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We have a huge margin of error for this problem so we can freely estimate values. Firstly, we note that the entire roll of tape is 1-inch thick, and given that a single tape is $0.015$ inches thick, then there are $\dfrac{1}{0.015}= \dfrac{2}{0.03} = \dfrac{200}{3}$ layers of tape in the entire roll.

Then, we must identify an estimate for the circumference of one layer of tape. Near the center, one layer of tape will have a circumference of $2\pi$ while the layers near the outer section will have a circumference of about $4\pi$ . A good estimate would be to take the average circumference which is $3\pi$ . With this, we can estimate the total length for the entire roll: $\begin{gathered} \dfrac{200}{3}(3\pi) = 200\pi \\ \approx 200(3) \approx 600. \end{gathered}$

Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años