Question

El 1 de junio, un grupo de estudiantes está de pie en filas, con $15$ estudiantes en cada fila. El 2 de junio, el mismo grupo está de pie con todos los estudiantes en una sola fila larga. El 3 de junio, el mismo grupo está de pie con un solo estudiante en cada fila. El 4 de junio, el mismo grupo está de pie con $6$ estudiantes en cada fila. Este proceso continúa hasta el 12 de junio con un número diferente de estudiantes por fila cada día. Sin embargo, el 13 de junio, no pueden encontrar una nueva forma de organizar a los estudiantes. ¿Cuál es el menor número posible de estudiantes en el grupo?

On June 1, a group of students is standing in rows, with $15$ students in each row. On June 2, the same group is standing with all of the students in one long row. On June 3, the same group is standing with just one student in each row. On June 4, the same group is standing with $6$ students in each row. This process continues through June 12 with a different number of students per row each day. However, on June 13, they cannot find a new way of organizing the students. What is the smallest possible number of students in the group?

$21$

$30$

$60$

$90$

$1080$

Solución en video:

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Solución escrita:

Los posibles números de estudiantes por fila son exactamente los divisores positivos del número total de estudiantes. Como del 1 al 12 de junio se dan disposiciones diferentes y el 13 de junio no hay ninguna nueva, el número total de estudiantes debe tener exactamente $12$ divisores positivos.

El número debe ser divisible entre $15$ y $6$ , por lo tanto entre $\operatorname{lcm}(15,6)=30=2\cdot3\cdot5$ . Este número tiene solo $8$ divisores.

El menor múltiplo de $30$ con $12$ divisores es $60=2^2\cdot3\cdot5$ , que tiene $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ divisores.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The possible numbers of students per row are exactly the positive divisors of the total number of students. Since June 1 through June 12 give different arrangements and June 13 gives no new one, the total number of students must have exactly $12$ positive divisors.

The number must be divisible by both $15$ and $6$ , hence by $\operatorname{lcm}(15,6)=30=2\cdot3\cdot5$ . This number has only $8$ divisors.

The smallest multiple of $30$ with $12$ divisors is $60=2^2\cdot3\cdot5$ , which has $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ divisors.

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 8 Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años