Question

¿Cuántos números enteros entre $1$ y $1000$ no contienen el dígito $1$ ?

How many whole numbers between $1$ and $1000$ do not contain the digit $1?$

$512$

$648$

$720$

$728$

$800$

Cuenta según el número de dígitos, o rellena los números con ceros a la izquierda

Count by number of digits, or pad numbers with leading zeroes.

Para tres dígitos rellenados, cada posición tiene $9$ opciones si se prohíbe el dígito $1,$ pero excluye $000$

For three padded digits, each position has $9$ choices if digit $1$ is forbidden, but exclude $000.$

Podemos separar en casos según el número de dígitos.

Hay $8$ números de un dígito excluyendo el $1.$

Hay $8 \cdot 9 = 72$ números de dos dígitos que carecen del dígito $1.$

Hay $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$ números de tres dígitos que no incluyen el $1.$

Esto da un total de $8 + 72 + 648 = 728$ números que no contienen el dígito $1.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can case on the number of digits.

There are $8$ one digit numbers excluding $1.$

There are $8 \cdot 9 = 72$ two digit numbers that lack the digit $1.$

There are $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$ three digit numbers that do not include $1.$

This yields a total of $8 + 72 + 648 = 728$ numbers that do not contain the digit $1.$

Thus, D is the correct answer.