Question

En el triángulo rectángulo $ABC,$ $AC=12,$ $BC=5,$ y el ángulo $C$ es recto. Un semicírculo está inscrito en el triángulo como se muestra. ¿Cuál es el radio del semicírculo?

In the right triangle $ABC,$ $AC=12,$ $BC=5,$ and angle $C$ is a right angle. A semicircle is inscribed in the triangle as shown. What is the radius of the semicircle?

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{13}{5}$

$\dfrac{59}{18}$

$\dfrac{10}{3}$

$\dfrac{60}{13}$

Respuesta: D

Conceptos:recta tangente semejanza

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Traza el radio hasta el punto donde el semicírculo toca la hipotenusa.

Draw the radius to the point where the semicircle touches the hypotenuse.

Pista grande:

Usa las longitudes de las tangentes desde el mismo punto externo, luego plantea triángulos semejantes.

Use tangent lengths from the same external point, then set up similar triangles.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $O$ el centro del semicírculo inscrito y $D$ el punto de tangencia del semicírculo sobre $\overline{AB}.$ Entonces $BD = 5$ ya que $\overline{BD}$ y $\overline{BC}$ son tangentes al semicírculo. Entonces $AD = 8$ y $OD = r.$ $\overline{OD}$ es perpendicular a $\overline{AB}$ así que $\triangle ADO \sim \triangle BCA,$ por lo que $\dfrac{r}{8} = \dfrac{5}{12}.$ Resolviendo esto, obtenemos $r = \dfrac{10}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $O$ be the center of the inscribed semicircle and $D$ be the tangent point of the semicircle on $\overline{AB}.$ Then $BD = 5$ since $\overline{BD}$ and $\overline{BC}$ are tangents to the semicircle. Then $AD = 8$ and $OD = r.$ $\overline{OD}$ is perpendicular to $\overline{AB}$ so $\triangle ADO \sim \triangle BCA,$ so $\dfrac{r}{8} = \dfrac{5}{12}.$ Solving this, we get $r = \dfrac{10}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 8 Problema 22