Question

En el triángulo rectángulo $ABC,$ $AC=12,$ $BC=5,$ y el ángulo $C$ es recto. Un semicírculo está inscrito en el triángulo como se muestra. ¿Cuál es el radio del semicírculo?

In the right triangle $ABC,$ $AC=12,$ $BC=5,$ and angle $C$ is a right angle. A semicircle is inscribed in the triangle as shown. What is the radius of the semicircle?

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{13}{5}$

$\dfrac{59}{18}$

$\dfrac{10}{3}$

$\dfrac{60}{13}$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sea $O$ el centro del semicírculo inscrito y $D$ el punto de tangencia del semicírculo sobre $\overline{AB}.$ Entonces $BD = 5$ ya que $\overline{BD}$ y $\overline{BC}$ son tangentes al semicírculo. Entonces $AD = 8$ y $OD = r.$ $\overline{OD}$ es perpendicular a $\overline{AB}$ así que $\triangle ADO \sim \triangle BCA,$ por lo que $\dfrac{r}{8} = \dfrac{5}{12}.$ Resolviendo esto, obtenemos $r = \dfrac{10}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $O$ be the center of the inscribed semicircle and $D$ be the tangent point of the semicircle on $\overline{AB}.$ Then $BD = 5$ since $\overline{BD}$ and $\overline{BC}$ are tangents to the semicircle. Then $AD = 8$ and $OD = r.$ $\overline{OD}$ is perpendicular to $\overline{AB}$ so $\triangle ADO \sim \triangle BCA,$ so $\dfrac{r}{8} = \dfrac{5}{12}.$ Solving this, we get $r = \dfrac{10}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 8 Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años