Question

Los enteros del $1$ al $25$ se separan arbitrariamente en cinco grupos de $5$ números cada uno. Se identifica la mediana de cada grupo. Sea $M$ la mediana de las cinco medianas. ¿Cuál es el menor valor posible de $M$ ?

The integers from $1$ through $25$ are arbitrarily separated into five groups of $5$ numbers each. The median of each group is identified. Let $M$ equal the median of the five medians. What is the least possible value of $M?$

$9$

$10$

$12$

$13$

$14$

Solución en video:

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Solución escrita:

Si un grupo tiene mediana a lo sumo $8$ , entonces al menos $3$ números de ese grupo son a lo sumo $8$ . Para que la mediana de las cinco medianas sea a lo sumo $8$ , al menos $3$ grupos necesitarían tales medianas, requiriendo al menos $9$ números a lo sumo $8$ , lo cual es imposible. Así, $M\ge9$ . Esto se puede alcanzar, por ejemplo con medianas de grupo $5,8,9,12,17$ : $\{3,4,5,20,21\}$ , $\{6,7,8,22,23\}$ , $\{1,2,9,24,25\}$ , $\{10,11,12,13,14\}$ y $\{15,16,17,18,19\}$ . Por lo tanto, el menor valor posible es $9$ .

If a group has median at most $8$ , then at least $3$ numbers in that group are at most $8$ . For the median of the five medians to be at most $8$ , at least $3$ groups would need such medians, requiring at least $9$ numbers at most $8$ , impossible. Thus $M\ge9$ . This is attainable, for example with group medians $5,8,9,12,17$ : use groups $\{3,4,5,20,21\}$ , $\{6,7,8,22,23\}$ , $\{1,2,9,24,25\}$ , $\{10,11,12,13,14\}$ , and $\{15,16,17,18,19\}$ . Hence the least possible value is $9$ .

2026 AMC 8 Problema 22

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El Problema 22 en otros años