2026 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

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1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + {}$ $7 + 8 - 9 + 10 + 11 - 12$

What is the value of the following expression? $1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + {}$ $7 + 8 - 9 + 10 + 11 - 12$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Respuesta: A

Conceptos:operaciones con números enteros emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Agrupa los términos de tres en tres.

Group the terms in threes

Pista grande:

Los grupos son $(1+2-3), (4+5-6), \ldots$ .

$(1+2-3), (4+5-6), \ldots$

Solución en video:

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Solución escrita:

Agrupamos la expresión como $(1+2-3)$ $+(4+5-6)$ $+(7+8-9)$ $+(10+11-12)$ . Las sumas de estos grupos son $0,3,6,9$ , respectivamente, así que el total es $0+3+6+9=18$ .

Group the expression as $(1+2-3)$ $+(4+5-6)$ $+(7+8-9)$ $+(10+11-12)$ . These group sums are $0,3,6,9$ , respectively, so the total is $0+3+6+9=18$ .

2.

En el arreglo que se muestra abajo, tres $3$ están rodeados por $2$ , que a su vez están rodeados por un borde de $1$ . ¿Cuál es la suma de los números del arreglo?

$\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}$

In the array shown below, three $3$ s are surrounded by $2$ s, which are in turn surrounded by a border of $1$ s. What is the sum of the numbers in the array?

$\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}$

$49$

$51$

$53$

$55$

$57$

Respuesta: C

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Cuenta cuántas casillas son $1$ , $2$ y $3$ .

Count how many entries are $1$ , $2$ , and $3$

Pista grande:

Usa una suma ponderada: $1\cdot\#1+2\cdot\#2+3\cdot\#3$ .

Use a weighted sum: $1\cdot\#1+2\cdot\#2+3\cdot\#3$

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $20$ casillas en el borde iguales a $1$ , $12$ casillas iguales a $2$ y $3$ casillas iguales a $3$ . La suma es $20\cdot1+12\cdot2+3\cdot3$ $=20+24+9$ $=53$ .

There are $20$ border entries equal to $1$ , $12$ entries equal to $2$ , and $3$ entries equal to $3$ . The sum is $20\cdot1+12\cdot2+3\cdot3$ $=20+24+9$ $=53$ .

3.

Haruki tiene un trozo de alambre de $24$ centímetros de largo. Quiere doblarlo para formar cada una de las siguientes figuras, una a la vez.

Un hexágono regular de lado $5$ cm.

Un cuadrado de área $36$ cm².

Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6$ y $8$ cm.

¿Cuáles de las figuras puede formar Haruki?

Haruki has a piece of wire that is $24$ centimeters long. He wants to bend it to form each of the following shapes, one at a time.

A regular hexagon with side length $5$ cm.

A square of area $36$ cm².

A right triangle whose legs are $6$ and $8$ cm long.

Which of the shapes can Haruki make?

Solo el triángulo

Triangle only

Solo el hexágono y el cuadrado

Hexagon and square only

Solo el hexágono y el triángulo

Hexagon and triangle only

Solo el cuadrado y el triángulo

Square and triangle only

El hexágono, el triángulo y el cuadrado

Hexagon, triangle, and square

Respuesta: D

Conceptos:perímetro Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Compara el perímetro de cada figura con $24$ .

Compare each shape’s perimeter with $24$

Pista grande:

El triángulo rectángulo tiene hipotenusa $10$ .

The right triangle has hypotenuse $10$

Solución en video:

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Solución escrita:

El hexágono regular tendría perímetro $6\cdot5=30$ , demasiado largo para el alambre. El cuadrado tiene lado $6$ , así que su perímetro es $24$ . El triángulo rectángulo tiene hipotenusa $10$ , así que su perímetro es $6+8+10=24$ . Haruki solo puede formar el cuadrado y el triángulo.

The regular hexagon would have perimeter $6\cdot5=30$ , too long for the wire. The square has side length $6$ , so its perimeter is $24$ . The right triangle has hypotenuse $10$ , so its perimeter is $6+8+10=24$ . Haruki can make the square and the triangle only.

4.

Los ahorros de Brynn disminuyeron un $20\%$ en julio y luego aumentaron un $50\%$ en agosto. ¿Qué porcentaje del monto original son ahora los ahorros de Brynn?

Brynn’s savings decreased by $20\%$ in July, then increased by $50\%$ in August. Brynn’s savings are now what percent of the original amount?

$80$

$90$

$100$

$110$

$120$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Usa $100$ como el monto original.

Use $100$ as the original amount

Pista grande:

Después de julio, multiplica por $0.8$ ; después de agosto, multiplica por $1.5$ .

After July, multiply by $0.8$ ; after August, multiply by $1.5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Si el monto original es $100$ , entonces tras una disminución del $20\%$ Brynn tiene $80$ . Al aumentar un $50\%$ se obtiene $80\cdot1.5=120$ , así que los ahorros son el $120\%$ del monto original.

If the original amount is $100$ , then after a $20\%$ decrease Brynn has $80$ . Increasing by $50\%$ gives $80\cdot1.5=120$ , so the savings are $120\%$ of the original amount.

5.

Casey hizo un viaje por carretera de $100$ millas, deteniéndose solo para almorzar en el camino. El viaje tomó $3$ horas en total y su velocidad promedio mientras conducía fue de $40$ millas por hora. ¿Cuántos minutos duró el descanso para almorzar?

Casey went on a road trip that covered $100$ miles, stopping only for a lunch break along the way. The trip took $3$ hours in total and her average speed while driving was $40$ miles per hour. In minutes, how long was the lunch break?

$15$

$30$

$40$

$45$

$60$

Respuesta: B

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Halla el tiempo de conducción a partir de la distancia y la velocidad.

Find the driving time from distance and speed

Pista grande:

El descanso para almorzar es el tiempo total menos el tiempo de conducción.

The lunch break is the total time minus the driving time

Solución en video:

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Solución escrita:

Conducir $100$ millas a $40$ millas por hora toma $\frac{100}{40}=2.5$ horas. Todo el viaje tomó $3$ horas, así que el descanso para almorzar duró $0.5$ horas, es decir, $30$ minutos.

Driving $100$ miles at $40$ miles per hour takes $\frac{100}{40}=2.5$ hours. The whole trip took $3$ hours, so the lunch break lasted $0.5$ hours, which is $30$ minutes.

6.

Peter vive cerca de un campo rectangular lleno de zarzamoras. El campo mide $10$ metros de largo y $8$ metros de ancho, y Peter puede alcanzar cualquier zarzamora que esté a menos de $1$ metro de un borde del campo. La parte del campo que puede alcanzar está sombreada en la figura de abajo. ¿Qué fracción del área del campo puede alcanzar Peter?

Peter lives near a rectangular field that is filled with blackberry bushes. The field is $10$ meters long and $8$ meters wide, and Peter can reach any blackberries that are within $1$ meter of an edge of the field. The portion of the field he can reach is shaded in the figure below. What fraction of the area of the field can Peter reach?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{2}{5}$

Respuesta: E

Conceptos:área fracción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Halla el rectángulo interior que no puede alcanzar.

Find the unreachable inner rectangle

Pista grande:

El área alcanzable es igual al área del campo menos el área interior.

Reachable area = field area - inner area

Solución en video:

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Solución escrita:

Todo el campo tiene área $10\cdot8=80$ . El rectángulo interior inalcanzable mide $8$ metros por $6$ metros, con área $48$ . Así, el área alcanzable es $80-48=32$ , y la fracción es $\frac{32}{80}=\frac{2}{5}$ .

The whole field has area $10\cdot8=80$ . The unreachable inner rectangle is $8$ meters by $6$ meters, with area $48$ . Thus the reachable area is $80-48=32$ , and the fraction is $\frac{32}{80}=\frac{2}{5}$ .

7.

Mika quiere estimar qué tan lejos puede llegar con un nuevo modelo de bicicleta eléctrica con la batería completamente cargada. Realizó dos recorridos que suman $40$ millas. El primer recorrido usó $\frac{1}{2}$ de la carga total de la batería, mientras que el segundo usó $\frac{3}{10}$ de la carga total. ¿Cuántas millas puede recorrer esta bicicleta eléctrica con la batería completamente cargada?

Mika would like to estimate how far she can ride a new model of electric bike on a fully charged battery. She completed two trips totaling $40$ miles. The first trip used $\frac{1}{2}$ of the total battery power, while the second trip used $\frac{3}{10}$ of the total battery power. How many miles can this electric bike go on a fully charged battery?

$45$

$48$

$50$

$52$

$55$

Respuesta: C

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Suma las fracciones de batería usadas en los dos recorridos.

Add the fractions of battery used on the two trips

Pista grande:

$40$ millas son $\frac45$ de una carga completa.

$40$ miles is $\frac45$ of a full charge

Solución en video:

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Solución escrita:

Los dos recorridos usaron $\frac12+\frac3{10}=\frac45$ de una batería completa. Como $\frac45$ del alcance son $40$ millas, una carga completa da $40\div\frac45=50$ millas.

The two trips used $\frac12+\frac3{10}=\frac45$ of a full battery. Since $\frac45$ of the range is $40$ miles, a full charge gives $40\div\frac45=50$ miles.

8.

Una encuesta preguntó a cierto número de personas si les gustaba resolver problemas de matemáticas. Exactamente el $74\%$ respondió “sí”. ¿Cuál es la menor cantidad posible de personas a las que se les pudo haber hecho la pregunta?

A poll asked a number of people if they liked solving mathematics problems. Exactly $74\%$ answered “yes.” What is the fewest possible number of people who could have been asked the question?

$10$

$20$

$25$

$50$

$100$

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje fracción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Escribe $74\%$ como una fracción del total.

Write $74\%$ as a fraction of the total

Pista grande:

Simplifica la fracción del porcentaje y usa su denominador.

Reduce the percentage fraction and use its denominator

Solución en video:

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Solución escrita:

Exactamente $74\%=\frac{74}{100}=\frac{37}{50}$ de las personas respondió que sí. Por lo tanto, el número total de personas debe ser un múltiplo de $50$ , y $50$ personas es posible.

Exactly $74\%=\frac{74}{100}=\frac{37}{50}$ of the people answered yes. The total number of people must therefore be a multiple of $50$ , and $50$ people is possible.

9.

¿Cuál es el valor de esta expresión? $\frac{\sqrt{16\sqrt{81}}}{\sqrt{81\sqrt{16}}}$

What is the value of this expression? $\frac{\sqrt{16\sqrt{81}}}{\sqrt{81\sqrt{16}}}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{9}{4}$

Respuesta: B

Conceptos:radical

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Primero evalúa las raíces cuadradas interiores.

Evaluate the inner square roots first

Pista grande:

El numerador es $\sqrt{16\cdot9}$ , y el denominador es $\sqrt{81\cdot4}$ .

The numerator is $\sqrt{16\cdot9}$ , and the denominator is $\sqrt{81\cdot4}$

Solución en video:

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Solución escrita:

El numerador es $\sqrt{16\sqrt{81}}$ $=\sqrt{16\cdot9}$ $=\sqrt{144}$ $=12$ . El denominador es $\sqrt{81\sqrt{16}}$ $=\sqrt{81\cdot4}$ $=\sqrt{324}$ $=18$ . El valor es $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ .

The numerator is $\sqrt{16\sqrt{81}}$ $=\sqrt{16\cdot9}$ $=\sqrt{144}$ $=12$ . The denominator is $\sqrt{81\sqrt{16}}$ $=\sqrt{81\cdot4}$ $=\sqrt{324}$ $=18$ . The value is $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ .

10.

Cinco corredores completaron el agotador Xmaratón: Luke, Melina, Nico, Olympia y Pedro.

• Nico terminó $11$ minutos detrás de Pedro.

• Olympia terminó $2$ minutos antes que Melina, pero $3$ minutos detrás de Pedro.

• Olympia terminó $6$ minutos antes que Luke.

¿Qué corredor terminó en cuarto lugar?

Five runners completed the grueling Xmarathon: Luke, Melina, Nico, Olympia, and Pedro.

• Nico finished $11$ minutes behind Pedro.

• Olympia finished $2$ minutes ahead of Melina, but $3$ minutes behind Pedro.

• Olympia finished $6$ minutes ahead of Luke.

Which runner finished fourth?

Luke

Melina

Nico

Olympia

Pedro

Respuesta: A

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Mide todos los tiempos de llegada respecto a Pedro.

Measure all finish times relative to Pedro

Pista grande:

Olympia está $3$ minutos detrás de Pedro; Melina y Luke llegan después de Olympia.

Olympia is $3$ minutes behind Pedro; Melina and Luke are after Olympia

Solución en video:

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Solución escrita:

Mide los tiempos de llegada en minutos después de Pedro. Entonces Pedro está en $0$ , Olympia en $3$ , Melina en $5$ , Luke en $9$ y Nico en $11$ . El cuarto en llegar es Luke.

Measure finish times in minutes after Pedro. Then Pedro is at $0$ , Olympia is at $3$ , Melina is at $5$ , Luke is at $9$ , and Nico is at $11$ . The fourth finisher is Luke.

11.

Cuadrados de lado $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ y $5$ se disponen para formar el rectángulo que se muestra abajo. Se traza una curva inscribiendo un cuarto de circunferencia en cada cuadrado y uniendo los cuartos de circunferencia en orden, del más corto al más largo. ¿Cuál es la longitud de la curva?

Squares of side length $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ and $5$ are arranged to form the rectangle shown below. A curve is drawn by inscribing a quarter circle in each square and joining the quarter circles in order, from shortest to longest. What is the length of the curve?

$4\pi$

$6\pi$

$\dfrac{13}{2}\pi$

$8\pi$

$13\pi$

Respuesta: B

Conceptos:arco circunferencia

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Cada arco es un cuarto de circunferencia.

Each arc is one quarter of a circle

Pista grande:

Suma los radios $1+1+2+3+5$ y luego multiplica por $\frac{\pi}{2}$ .

Add the radii $1+1+2+3+5$ , then multiply by $\frac{\pi}{2}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada pieza de la curva es un cuarto de circunferencia. Los radios son $1,1,2,3,5$ , así que la longitud total es $\frac14\cdot2\pi(1+1+2+3+5)$ $=\frac{\pi}{2}\cdot12$ $=6\pi$ .

Each piece of the curve is a quarter circle. The radii are $1,1,2,3,5$ , so the total length is $\frac14\cdot2\pi(1+1+2+3+5)$ $=\frac{\pi}{2}\cdot12$ $=6\pi$ .

12.

En la figura de abajo, cada círculo se llenará con un dígito del $1$ al $6.$ Cada dígito debe aparecer exactamente una vez. La suma de los dígitos de círculos vecinos se muestra en la casilla entre ellos. ¿Qué dígito debe colocarse en el círculo superior?

In the figure below, each circle will be filled with a digit from $1$ to $6.$ Each digit must appear exactly once. The sum of the digits in neighboring circles is shown in the box between them. What digit must be placed in the top circle?

$2$

$3$

$4$

$5$

es imposible llenar los círculos

it is impossible to fill the circles

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Sea $x$ el dígito superior.

Let the top digit be $x$

Pista grande:

Los dos dígitos adyacentes de arriba son $9-x$ y $6-x$ .

The two adjacent upper digits are $9-x$ and $6-x$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el dígito superior. Girando en sentido horario desde arriba, los demás dígitos son $9-x$ , $x-2$ , $7-x$ , $x+1$ y $6-x$ . Para que estos seis valores sean exactamente $1,2,3,4,5,6$ , el valor $x=5$ funciona y da el conjunto $5,4,3,2,6,1$ . Así, el dígito superior es $5$ .

Let the top digit be $x$ . Moving clockwise from the top, the other digits are $9-x$ , $x-2$ , $7-x$ , $x+1$ , and $6-x$ . For these six values to be exactly $1,2,3,4,5,6$ , the value $x=5$ works and gives the set $5,4,3,2,6,1$ . Thus the top digit is $5$ .

13.

La figura de abajo muestra un embaldosado con cuadrados unitarios de $1 \times 1$ . Cada fila de cuadrados unitarios está desplazada horizontalmente media unidad respecto a la fila de arriba. Se dibuja un cuadrado sombreado sobre el embaldosado. Cada vértice del cuadrado sombreado es un vértice de uno de los cuadrados unitarios. En unidades cuadradas, ¿cuál es el área del cuadrado sombreado?

The figure below shows a tiling of $1 \times 1$ unit squares. Each row of unit squares is shifted horizontally by half a unit relative to the row above it. A shaded square is drawn on top of the tiling. Each vertex of the shaded square is a vertex of one of the unit squares. In square units, what is the area of the shaded square?

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$\dfrac{32}{3}$

$11$

$\dfrac{34}{3}$

Respuesta: A

Conceptos:Teorema de Pitágoras cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Observa un lado del cuadrado sombreado.

Look at one side of the shaded square

Pista grande:

Ese lado se desplaza $3$ unidades horizontalmente y $1$ unidad verticalmente.

That side moves $3$ units horizontally and $1$ unit vertically

Solución en video:

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Solución escrita:

Un lado del cuadrado sombreado avanza $3$ unidades horizontalmente y $1$ unidad verticalmente en la cuadrícula. Por lo tanto, su longitud al cuadrado es $3^2+1^2=10$ . El área de un cuadrado es igual a su lado al cuadrado, así que el área sombreada es $10$ .

One side of the shaded square goes $3$ unit widths horizontally and $1$ unit vertically in the grid. Its length squared is therefore $3^2+1^2=10$ . The area of a square equals its side length squared, so the shaded area is $10$ .

14.

Jami eligió tres números enteros igualmente espaciados en la recta numérica. La suma del primero y el segundo números es $40,$ mientras que la suma del segundo y el tercero es $60.$ ¿Cuál es la suma de los tres números?

Jami picked three equally spaced integer numbers on the number line. The sum of the first and the second numbers is $40,$ while the sum of the second and third numbers is $60.$ What is the sum of all three numbers?

$70$

$75$

$80$

$85$

$90$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Sean los tres números $a-d, a, a+d$ .

Let the three numbers be $a-d, a, a+d$

Pista grande:

Las dos sumas dadas difieren en $20$ , así que $2d=20$ .

The two given sums differ by $20$ , so $2d=20$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean los tres números igualmente espaciados $a-d$ , $a$ y $a+d$ . Las sumas dadas son $2a-d=40$ y $2a+d=60$ . Sumándolas se obtiene $4a=100$ , así que $a=25$ . El total de los tres números es $3a=75$ .

Let the three equally spaced numbers be $a-d$ , $a$ , and $a+d$ . The given sums are $2a-d=40$ and $2a+d=60$ . Adding gives $4a=100$ , so $a=25$ . The total of the three numbers is $3a=75$ .

15.

Elijah tiene una gran colección de cubos de madera idénticos que son lisos en $4$ caras y sombreados en $2$ caras que comparten una arista. Pega algunos cubos cara con cara. La figura de abajo muestra $2$ cubos pegados, dejando $3$ caras sombreadas visibles. ¿Cuál es la menor cantidad de cubos que podría pegar para asegurar que ninguna cara sombreada sea visible, sin importar cómo gire la figura?

Elijah has a large collection of identical wooden cubes which are plain on $4$ faces and shaded on $2$ faces that share an edge. He glues some cubes together face-to-face. The figure below shows $2$ cubes being glued together, leaving $3$ shaded faces visible. What is the fewest number of cubes that he could glue together to ensure that no shaded faces are visible, no matter how he rotates the figure?

$4$

$6$

$8$

$9$

$27$

Respuesta: A

Conceptos:geometría del cubo Geometría 3D teoría de grafos

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Cada cara sombreada debe estar pegada a otro cubo.

Every shaded face must be glued to another cube

Pista grande:

Con solo $3$ cubos, algún cubo tiene a lo sumo un vecino por cara.

With only $3$ cubes, some cube has at most one face-neighbor

Solución en video:

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Solución escrita:

Para que ninguna cara sombreada sea visible, cada cubo debe tener sus dos caras sombreadas pegadas a cubos vecinos, así que cada cubo necesita dos vecinos por cara. Con solo tres cubos, el grafo de adyacencia por caras es un camino, así que un cubo del extremo tiene solo un vecino por cara. Cuatro cubos dispuestos como un cuadrado de $2\times2$ pueden orientarse cada uno con sus dos caras sombreadas apuntando hacia adentro, así que $4$ cubos bastan.

For no shaded face to be visible, each cube must have both of its shaded faces glued to neighboring cubes, so each cube needs two face-neighbors. With only three cubes, the face-adjacency graph is a path, so an end cube has only one face-neighbor. Four cubes arranged as a $2\times2$ square can each be oriented with its two shaded faces pointing inward, so $4$ cubes suffice.

16.

Considera todos los enteros positivos de cuatro dígitos formados solo por dígitos pares. ¿Qué fracción de estos enteros es divisible entre $4$ ?

Consider all positive four-digit integers consisting of only even digits. What fraction of these integers are divisible by $4?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{3}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

La divisibilidad entre $4$ depende solo de los dos últimos dígitos.

Divisibility by $4$ depends only on the last two digits

Pista grande:

Para cada dígito de las decenas, el dígito de las unidades debe ser $0$ , $4$ u $8$ .

For each tens digit, the ones digit must be $0$ , $4$ , or $8$

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $4$ opciones para el dígito de los millares y $5$ opciones para cada otro dígito. La divisibilidad entre $4$ depende solo de los dos últimos dígitos. Entre las $25$ terminaciones de dígitos pares, para cada dígito de las decenas $0,2,4,6,8$ , el de las unidades puede ser $0,4,8$ , así que $15$ terminaciones funcionan. La fracción buscada es $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ .

There are $4$ choices for the thousands digit and $5$ choices for each other digit. Divisibility by $4$ depends only on the last two digits. Among the $25$ even digit endings, for each tens digit $0,2,4,6,8$ , the ones digit can be $0,4,8$ , so $15$ endings work. The desired fraction is $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ .

17.

Cuatro estudiantes se sientan en una fila. Conversan con las personas sentadas a su lado y luego se reacomodan de modo que ya no queden sentados junto a ninguna de las mismas personas. ¿Cuántos reacomodos son posibles?

Four students are seated in a row. They chat with the people sitting next to them, then rearrange themselves so that they are no longer seated next to any of the same people. How many rearrangements are possible?

$2$

$4$

$9$

$12$

$24$

Respuesta: A

Conceptos:arreglos con restricciones permutaciones

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Nombra el orden original $A,B,C,D$ .

Name the original order $A,B,C,D$

Pista grande:

Los pares vecinos permitidos son $AC$ , $AD$ , $BD$ .

The allowed neighboring pairs are $AC$ , $AD$ , and $BD$

Solución en video:

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Solución escrita:

Nombra el orden original $A,B,C,D$ . Los pares vecinos prohibidos son $AB$ , $BC$ , $CD$ , así que los únicos pares permitidos son $AC$ , $AD$ , $BD$ . Para sentar a los cuatro estudiantes en una fila, las tres adyacencias de la fila deben ser exactamente estas tres aristas, dando $C,A,D,B$ o su inverso. Hay $2$ reacomodos.

Name the original order $A,B,C,D$ . The forbidden neighboring pairs are $AB$ , $BC$ , and $CD$ , so the only allowed pairs are $AC$ , $AD$ , and $BD$ . To seat all four students in a row, the three row-adjacencies must be exactly these three edges, giving $C,A,D,B$ or its reverse. There are $2$ rearrangements.

18.

¿De cuántas maneras se puede escribir $60$ como la suma de dos o más enteros positivos impares consecutivos ordenados de manera creciente?

In how many ways can $60$ be written as the sum of two or more consecutive odd positive integers that are arranged in increasing order?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Escribe los términos como $a,a+2,\ldots,a+2(k-1)$ .

Write the terms as $a,a+2,\ldots,a+2(k-1)$

Pista grande:

Su suma es $k(a+k-1)$ , así que $k$ debe dividir a $60$ .

Their sum is $k(a+k-1)$ , so $k$ must divide $60$

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que hay $k\ge2$ términos, comenzando con el entero positivo impar $a$ . La suma es $a+(a+2)+\cdots+(a+2k-2)$ $=k(a+k-1)$ $=60$ . Probando los divisores $k$ de $60$ , los inicios impares positivos ocurren para $k=2$ , dando $29+31$ , y para $k=6$ , dando $5+7+9+11+13+15$ . Así, hay $2$ maneras.

Suppose there are $k\ge2$ terms, starting with odd positive integer $a$ . The sum is $a+(a+2)+\cdots+(a+2k-2)$ $=k(a+k-1)$ $=60$ . Testing divisors $k$ of $60$ , the positive odd starts occur for $k=2$ , giving $29+31$ , and for $k=6$ , giving $5+7+9+11+13+15$ . Thus there are $2$ ways.

19.

Miguel pasea con su perra, Luna. Cuando llegan a la entrada de un parque, Miguel lanza una pelota hacia adelante y sigue caminando a paso constante. Luna corre hacia la pelota, que se detiene junto a un árbol. En cuanto la perra alcanza la pelota, se la lleva de vuelta a Miguel. Luna corre $5$ veces más rápido de lo que Miguel camina. ¿Qué fracción de la distancia entre la entrada y el árbol recorre Miguel para cuando Luna le trae la pelota?

Miguel is walking with his dog, Luna. When they reach the entrance to a park, Miguel throws a ball straight ahead and continues to walk at a steady pace. Luna sprints toward the ball, which stops by a tree. As soon as the dog reaches the ball, she brings it back to Miguel. Luna runs $5$ times faster than Miguel walks. What fraction of the distance between the entrance and the tree does Miguel cover by the time Luna brings him the ball?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

Respuesta: D

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Sea $D$ la distancia de la entrada al árbol.

Let the entrance-to-tree distance be $D$

Pista grande:

Después de que Luna llega al árbol, Miguel y Luna se mueven uno hacia el otro.

After Luna reaches the tree, Miguel and Luna move toward each other

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $D$ la distancia de la entrada al árbol, y sea $1$ la velocidad de Miguel. La velocidad de Luna es $5$ . Luna llega al árbol en un tiempo $\frac{D}{5}$ , durante el cual Miguel camina $\frac{D}{5}$ . La distancia restante entre Luna y Miguel es $\frac{4D}{5}$ , y la cierran a una velocidad combinada de $6$ , tomando un tiempo $\frac{2D}{15}$ . Miguel camina una distancia total de $\frac{D}{5}+\frac{2D}{15}=\frac{D}{3}$ , que es $\frac{1}{3}$ de la distancia de la entrada al árbol.

Let the entrance-to-tree distance be $D$ , and let Miguel’s speed be $1$ . Luna’s speed is $5$ . Luna reaches the tree in time $\frac{D}{5}$ , during which Miguel walks $\frac{D}{5}$ . The remaining distance between Luna and Miguel is $\frac{4D}{5}$ , and they close it at combined speed $6$ , taking time $\frac{2D}{15}$ . Miguel walks a total distance $\frac{D}{5}+\frac{2D}{15}=\frac{D}{3}$ , which is $\frac{1}{3}$ of the entrance-to-tree distance.

20.

El país de Catania usa monedas de oro y monedas de plata. Las monedas de oro tienen $1$ mm de grosor y las de plata $3$ mm. ¿De cuántas maneras puede Taylor formar una pila de monedas de $8$ mm de altura usando cualquier disposición de monedas de oro y plata, suponiendo que el orden importa?

The land of Catania uses gold coins and silver coins. Gold coins are $1$ mm thick and silver coins are $3$ mm thick. In how many ways can Taylor make a stack of coins that is $8$ mm tall using any arrangement of gold and silver coins, assuming order matters?

$3$

$7$

$10$

$13$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:particiones y composiciones combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Cuenta según el número de monedas de plata.

Count by the number of silver coins

Pista grande:

Con $k$ monedas de plata, ordena $k$ letras S y $8-3k$ letras G.

With $k$ silver coins, arrange $k$ S’s and $8-3k$ G’s

Solución en video:

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Solución escrita:

Cuenta según el número de monedas de plata. Sin monedas de plata, hay $1$ pila. Con una moneda de plata, hay $5$ monedas de oro y $1$ de plata, así que $6$ disposiciones. Con dos monedas de plata, hay $2$ de oro y $2$ de plata, así que $\binom42=6$ disposiciones. Más monedas de plata son demasiado gruesas. El total es $1+6+6=13$ .

Count by the number of silver coins. With no silver coins, there is $1$ stack. With one silver coin, there are $5$ gold coins and $1$ silver coin, so $6$ arrangements. With two silver coins, there are $2$ gold coins and $2$ silver coins, so $\binom42=6$ arrangements. More silver coins are too thick. The total is $1+6+6=13$ .

21.

La araña Charlotte camina por una telaraña con forma de estrella de $5$ puntas, como se muestra en la figura de abajo. La telaraña tiene $5$ puntos exteriores y $5$ puntos interiores. Cada vez que Charlotte llega a un punto, elige al azar un punto vecino y se mueve hacia él. Charlotte comienza en uno de los puntos exteriores y hace $3$ movimientos (se permite volver a visitar puntos). ¿Cuál es la probabilidad de que ahora esté en uno de los puntos exteriores de la estrella?

Charlotte the spider is walking along a web shaped like a $5$ -pointed star, shown in the figure below. The web has $5$ outer points and $5$ inner points. Each time Charlotte reaches a point, she randomly chooses a neighboring point and moves to that point. Charlotte starts at one of the outer points and makes $3$ moves (re-visiting points is allowed). What is the probability she is now at one of the outer points of the star?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

Respuesta: B

Conceptos:camino aleatorio probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Registra solo si está en un punto exterior o interior.

Track only outer versus inner points

Pista grande:

Desde un punto interior, la mitad de los puntos vecinos son exteriores.

From an inner point, half of the neighboring points are outer

Solución en video:

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Solución escrita:

Desde un punto exterior, Charlotte debe moverse a un punto interior. Desde un punto interior, $2$ de los $4$ puntos vecinos son exteriores, así que la probabilidad de moverse a un punto exterior es $\frac{1}{2}$ . Tras un movimiento está en un punto interior. Tras dos movimientos está en un exterior con probabilidad $\frac{1}{2}$ y en un interior con probabilidad $\frac{1}{2}$ . Tras el tercer movimiento, solo el caso interior puede pasar a exterior, con probabilidad $\frac{1}{2}$ , así que la probabilidad final es $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ .

From an outer point, Charlotte must move to an inner point. From an inner point, $2$ of the $4$ neighboring points are outer, so the probability of moving to an outer point is $\frac{1}{2}$ . After one move she is inner. After two moves she is outer with probability $\frac{1}{2}$ and inner with probability $\frac{1}{2}$ . After the third move, only the inner case can move to outer, with probability $\frac{1}{2}$ , so the final probability is $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ .

22.

Los enteros del $1$ al $25$ se separan arbitrariamente en cinco grupos de $5$ números cada uno. Se identifica la mediana de cada grupo. Sea $M$ la mediana de las cinco medianas. ¿Cuál es el menor valor posible de $M$ ?

The integers from $1$ through $25$ are arbitrarily separated into five groups of $5$ numbers each. The median of each group is identified. Let $M$ equal the median of the five medians. What is the least possible value of $M?$

$9$

$10$

$12$

$13$

$14$

Respuesta: A

Conceptos:mediana (datos)principio del palomar argumento extremal

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Una mediana de grupo a lo sumo $m$ requiere al menos $3$ números a lo sumo $m$ .

A group median at most $m$ needs at least $3$ numbers at most $m$

Pista grande:

Tres medianas pequeñas requerirían demasiados números pequeños.

Three small medians would require too many small numbers

Solución en video:

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Solución escrita:

Si un grupo tiene mediana a lo sumo $8$ , entonces al menos $3$ números de ese grupo son a lo sumo $8$ . Para que la mediana de las cinco medianas sea a lo sumo $8$ , al menos $3$ grupos necesitarían tales medianas, requiriendo al menos $9$ números a lo sumo $8$ , lo cual es imposible. Así, $M\ge9$ . Esto se puede alcanzar, por ejemplo con medianas de grupo $5,8,9,12,17$ : $\{3,4,5,20,21\}$ , $\{6,7,8,22,23\}$ , $\{1,2,9,24,25\}$ , $\{10,11,12,13,14\}$ y $\{15,16,17,18,19\}$ . Por lo tanto, el menor valor posible es $9$ .

If a group has median at most $8$ , then at least $3$ numbers in that group are at most $8$ . For the median of the five medians to be at most $8$ , at least $3$ groups would need such medians, requiring at least $9$ numbers at most $8$ , impossible. Thus $M\ge9$ . This is attainable, for example with group medians $5,8,9,12,17$ : use groups $\{3,4,5,20,21\}$ , $\{6,7,8,22,23\}$ , $\{1,2,9,24,25\}$ , $\{10,11,12,13,14\}$ , and $\{15,16,17,18,19\}$ . Hence the least possible value is $9$ .

23.

Lakshmi tiene $5$ monedas redondas de diámetro $4$ centímetros. Acomoda las monedas en $2$ filas sobre una mesa, como se muestra abajo, y las envuelve ajustadamente con una banda elástica. En centímetros, ¿cuál será la longitud de la banda?

Lakshmi has $5$ round coins of diameter $4$ centimeters. She arranges the coins in $2$ rows on a table top, as shown below, and wraps an elastic band tightly around them. In centimeters, what will be the length of the band?

$2\pi + 20$

$\dfrac{5}{2}\pi + 20$

$4\pi + 20$

$\dfrac{9}{2}\pi + 20$

$5\pi + 20$

Respuesta: C

Conceptos:perímetro circunferencia trapecio

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Traza la trayectoria que siguen los centros de las monedas.

Trace the path followed by the centers of the coins

Pista grande:

Suma el perímetro de la envolvente de los centros y una circunferencia completa de radio $2$ .

Add the center-hull perimeter and one full circumference of radius $2$

Solución en video:

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Solución escrita:

Traza la trayectoria de los centros de las monedas. Su envolvente convexa es un trapecio con lado inferior $8$ , lado superior $4$ y dos lados inclinados de longitud $4$ , así que su perímetro es $20$ . Envolver la banda alrededor de monedas de radio $2$ añade una circunferencia completa, $2\pi\cdot2=4\pi$ . La longitud de la banda es $20+4\pi$ .

Trace the path of the centers of the coins. Their convex hull is a trapezoid with bottom side $8$ , top side $4$ , and two slanted sides of length $4$ , so its perimeter is $20$ . Wrapping the band around coins of radius $2$ adds one full circumference, $2\pi\cdot2=4\pi$ . The band length is $20+4\pi$ .

24.

La notación $n!$ (que se lee “ $n$ factorial”) se define como el producto de los primeros $n$ enteros positivos. (Por ejemplo, $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.$ ) Define el superfactorial de un entero positivo, denotado por $n^!,$ como el producto de los factoriales de los primeros $n$ enteros. (Por ejemplo, $3^! = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 12.$ ) ¿Cuántos factores $7$ aparecen en la factorización en primos de $51^!,$ el superfactorial de $51$ ?

The notation $n!$ (read “ $n$ factorial”) is defined as the product of the first $n$ positive integers. (For example, $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.$ ) Define the superfactorial of a positive integer, denoted by $n^!,$ to be the product of the factorials of the first $n$ integers. (For example, $3^! = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 12.$ ) How many factors of $7$ appear in the prime factorization of $51^!,$ the superfactorial of $51?$

$147$

$150$

$156$

$168$

$171$

Respuesta: E

Conceptos:Fórmula de Legendre factorial

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Cuenta cuántas veces aparecen múltiplos de $7$ en los factoriales.

Count how many times multiples of $7$ appear in the factorials

Pista grande:

Usa $\sum_{n=1}^{51}(\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor)$ .

Use $\sum_{n=1}^{51}(\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor)$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para cada $n!$ , el número de factores $7$ es $\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor$ . Por lo tanto, el exponente de $7$ en $51^{!}$ es $\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{49}\rfloor$ . La primera suma es $7(1+2+3+4+5+6)+3\cdot7$ $=168$ , y la segunda suma es $3$ . El total es $171$ .

For each $n!$ , the number of factors of $7$ is $\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor$ . Therefore the exponent of $7$ in $51^{!}$ is $\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{49}\rfloor$ . The first sum is $7(1+2+3+4+5+6)+3\cdot7$ $=168$ , and the second sum is $3$ . The total is $171$ .

25.

En un hexágono equiángulo, todos los ángulos interiores miden $120^\circ.$ Abajo se muestra un ejemplo de tal hexágono con lados $2,$ $3,$ $1,$ $3,$ $2,$ y $2$ , inscrito en el triángulo equilátero $ABC.$ Considera todos los hexágonos equiángulos con lados enteros positivos que se pueden inscribir en $\triangle ABC,$ con los seis vértices sobre los lados del triángulo. ¿Cuál es el número total de tales hexágonos? Los hexágonos que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales.

In an equiangular hexagon, all interior angles measure $120^\circ.$ An example of such a hexagon with side lengths of $2,$ $3,$ $1,$ $3,$ $2,$ and $2$ is shown below, inscribed in equilateral triangle $ABC.$ Consider all equiangular hexagons with positive integer side lengths that can be inscribed in $\triangle ABC,$ with all six vertices on the sides of the triangle. What is the total number of such hexagons? Hexagons that differ only by a rotation or a reflection are considered the same.

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Sean $x,y,z$ las longitudes pequeñas de las esquinas en $A,B,C$ .

Let $x,y,z$ be the small corner lengths at $A,B,C$

Pista grande:

El lado del triángulo es $6$ , así que $x+y$ , $y+z$ , $z+x$ son todos menores que $6$ .

The triangle side is $6$ , so $x+y$ , $y+z$ , and $z+x$ are all less than $6$

Solución en video:

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Solución escrita:

El ejemplo muestra que cada lado de $\triangle ABC$ tiene longitud $6$ . Sean $x,y,z$ las longitudes pequeñas recortadas en las esquinas $A,B,C$ , respectivamente. Entonces los otros tres lados del hexágono son $6-x-y$ , $6-y-z$ y $6-z-x$ . Los seis lados son enteros positivos exactamente cuando $x,y,z$ son enteros positivos y la suma de cada par es menor que $6$ . Salvo rotación y reflexión, esto significa contar las ternas no ordenadas $x\le y\le z$ con $y+z\lt6$ : $(1,1,1)$ , $(1,1,2)$ , $(1,1,3)$ , $(1,1,4)$ , $(1,2,2)$ , $(1,2,3)$ , $(2,2,2)$ y $(2,2,3)$ . Hay $8$ tales hexágonos.

The example shows that each side of $\triangle ABC$ has length $6$ . Let $x,y,z$ be the small corner lengths cut off at $A,B,C$ , respectively. Then the other three side lengths of the hexagon are $6-x-y$ , $6-y-z$ , and $6-z-x$ . All six side lengths are positive integers exactly when $x,y,z$ are positive integers and each pair sum is less than $6$ . Up to rotation and reflection, this means counting unordered triples $x\le y\le z$ with $y+z\lt6$ : $(1,1,1)$ , $(1,1,2)$ , $(1,1,3)$ , $(1,1,4)$ , $(1,2,2)$ , $(1,2,3)$ , $(2,2,2)$ , and $(2,2,3)$ . There are $8$ such hexagons.

Problemas del 2026 AMC 8

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B