Question

Elijah tiene una gran colección de cubos de madera idénticos que son lisos en $4$ caras y sombreados en $2$ caras que comparten una arista. Pega algunos cubos cara con cara. La figura de abajo muestra $2$ cubos pegados, dejando $3$ caras sombreadas visibles. ¿Cuál es la menor cantidad de cubos que podría pegar para asegurar que ninguna cara sombreada sea visible, sin importar cómo gire la figura?

Elijah has a large collection of identical wooden cubes which are plain on $4$ faces and shaded on $2$ faces that share an edge. He glues some cubes together face-to-face. The figure below shows $2$ cubes being glued together, leaving $3$ shaded faces visible. What is the fewest number of cubes that he could glue together to ensure that no shaded faces are visible, no matter how he rotates the figure?

$4$

$6$

$8$

$9$

$27$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Para que ninguna cara sombreada sea visible, cada cubo debe tener sus dos caras sombreadas pegadas a cubos vecinos, así que cada cubo necesita dos vecinos por cara. Con solo tres cubos, el grafo de adyacencia por caras es un camino, así que un cubo del extremo tiene solo un vecino por cara. Cuatro cubos dispuestos como un cuadrado de $2\times2$ pueden orientarse cada uno con sus dos caras sombreadas apuntando hacia adentro, así que $4$ cubos bastan.

For no shaded face to be visible, each cube must have both of its shaded faces glued to neighboring cubes, so each cube needs two face-neighbors. With only three cubes, the face-adjacency graph is a path, so an end cube has only one face-neighbor. Four cubes arranged as a $2\times2$ square can each be oriented with its two shaded faces pointing inward, so $4$ cubes suffice.

2026 AMC 8 Problema 15

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 15 en otros años