Question

En el diagrama de abajo, un diámetro de cada uno de los dos círculos más pequeños es un radio del círculo más grande. Si los dos círculos más pequeños tienen un área combinada de $1$ unidad cuadrada, ¿cuál es el área de la región sombreada, en unidades cuadradas?

In the diagram below, a diameter of each of the two smaller circles is a radius of the larger circle. If the two smaller circles have a combined area of $1$ square unit, then what is the area of the shaded region, in square units?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{\pi}{2}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $A$ el área del círculo grande.

Como el diámetro de cada uno de los dos círculos pequeños es precisamente el radio del círculo grande, el radio de cada círculo pequeño es la mitad del radio del círculo grande.

Simbólicamente, si dejamos que $r_l$ sea el radio del círculo grande y $r_s$ el radio de cada círculo pequeño: $r_s = \dfrac12 r_l$ Como el área del círculo grande es igual a $A=\pi r_l^2,$ el área de los círculos pequeños es igual a $\begin{align*}\pi r_s^2 &= \pi \left(\dfrac12 r_l\right)^2 \\&= \dfrac14 (\pi r_l^2)\\&=\dfrac14 A.\end{align*}$ Como el área combinada de dos de estos círculos pequeños es igual a 1 unidad cuadrada, se sigue que $2\cdot \dfrac14 A=1$ unidad cuadrada, lo que implica que $A=2$ unidades cuadradas.

Como el área de la región sombreada es igual al área del círculo grande $(A)$ menos el área combinada de los dos círculos pequeños $(1),$ el área de la región sombreada es $A - 1=2-1=1$ unidad cuadrada.

Así, la respuesta correcta es D

Let $A$ be the area of the large circle.

Since the diameter of each of the two smaller circles is itself the radius of the larger circle, the radius of each smaller circle is half that of the larger circle.

Symbolically, if we allow $r_l$ to be the radius of the large circle and $r_s$ to be the radius of each of the smaller circles: $r_s = \dfrac12 r_l$ As the area of the larger circle is equal to $A=\pi r_l^2,$ the area of the smaller circles are equal to $\begin{align*}\pi r_s^2 &= \pi \left(\dfrac12 r_l\right)^2 \\&= \dfrac14 (\pi r_l^2)\\&=\dfrac14 A.\end{align*}$ As the area of two of these smaller circles combined is equal to 1 square unit, then it follows that $2\cdot \dfrac14 A=1$ square unit, implying that $A=2$ square units.

As the area of the shaded region is equal to the area of the larger circle $(A)$ minus the combined area of the two smaller circles $(1),$ the area of the shaded region is $A - 1=2-1=1$ square unit.

Thus, the correct answer is D

2018 AMC 8 Problema 15

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 15 en otros años